在幾何畫板中繪制分段函數(shù)圖象的方法之探究

陳 峰

（江蘇省蘇州市蘇州大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 蘇州）

幾何畫板（The Geomter’s Sketchpad，簡(jiǎn)稱 GSP）是一款適用于數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科，可以進(jìn)行矢量分析、作圖、函數(shù)作圖等操作的動(dòng)態(tài)幾何工具．由于它能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出函數(shù)圖象和幾何對(duì)象的位置關(guān)系及運(yùn)行變化規(guī)律，深受廣大教師的青睞，也是不少數(shù)學(xué)教師在備課、上課中不可或缺的教學(xué)軟件之一．然而，即便是功能如此強(qiáng)大的幾何畫板，仍舊在繪制分段函數(shù)這一方面顯得不夠“體貼”和“人性化”，這也或多或少地限制了教師對(duì)它的開(kāi)發(fā)與使用．因此，本文基于5.04版的幾何畫板，針對(duì)如何在幾何畫板中繪制分段函數(shù)的圖象進(jìn)行研究．

一、在幾何畫板中作限定定義域的初等函數(shù)的圖象

類型1 初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)

操作步驟：

（1）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對(duì)話框中直接輸入函數(shù)表達(dá)式得到函數(shù)在R上的圖象．

（2）點(diǎn)擊函數(shù)圖象選中，右擊選擇“屬性”（如圖1），可在欄目“繪圖”內(nèi)設(shè)置函數(shù)的定義域邊界的數(shù)值（如圖2），點(diǎn)擊確定可得到函數(shù)的圖象．

上述操作步驟的優(yōu)勢(shì)在于操作比較便捷，只要在幾何畫板內(nèi)對(duì)函數(shù)圖象進(jìn)行簡(jiǎn)單設(shè)置便可實(shí)現(xiàn)，主要適用于在定義域上連續(xù)的初等函數(shù)．

圖1

圖2

類型2 初等函數(shù)在定義域內(nèi)不連續(xù)

操作步驟：

（2）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對(duì)話框中輸入函數(shù)表達(dá)式x^2-2*x+1/2+0*sqrt［-x*（x-1）*（x-2）*（x-3）］，點(diǎn)擊確定可得到函數(shù)的圖象（如圖 3）．

圖3

一般地，對(duì)于限定定義域的初等函數(shù)f（x），通過(guò)構(gòu)造得到函數(shù)f（x）的相同函數(shù)F（x）的方式有下列8種情況：

1．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋踑，b］，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·

2．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，b］，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·

3．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋踑，b），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·

4

．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，b），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·ln［-（x-a）（x-b）］或

5．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝，+∞），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·ln（x-a）或

6．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋踑，+∞］，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·

7．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，b），可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·ln（b-x）或

8．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，b］，可構(gòu)造函數(shù)：F（x）=f（x）+0·

二、在幾何畫板中作分段函數(shù)的圖象

方法1先將分段函數(shù)f（x）拆分為兩個(gè)函數(shù)，即f1（x）=2x-1（x≤1）和f2（x）=3-x（x>1），然后再分別作上述兩個(gè)函數(shù)的圖象．

操作步驟：

（2）在幾何畫板的同一文檔頁(yè)面內(nèi)的“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對(duì)話框中分別輸入函數(shù)表達(dá)式2^x-1+0*sqrt（1-x）和3-x+0*ln（x-1），分別點(diǎn)擊確定后可得到函數(shù)f1（x）和f2（x）的圖象，兩者可組成函數(shù)的圖象（如圖4）．

圖4

方法1的本質(zhì)是拼接了函數(shù)f1（x）和f2（x）的圖象，雖然可以使人在視覺(jué)上感覺(jué)在同一坐標(biāo)系下作出了f（x）的圖象，但其缺陷也是顯而易見(jiàn)的，比如說(shuō)函數(shù)f（x）圖象并非一次成圖，函數(shù)圖象也不能被整體選中，并且在圖象上任取的一點(diǎn)更不可以在分段函數(shù)f（x）各段的圖象上自由移動(dòng)．因此，方法1所繪制的函數(shù)圖象有較大的局限性，不適合用以研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)．

操作步驟：

（2）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對(duì)話框中輸入函數(shù)表達(dá)式（2^x-1）*［1+sgn（1-x）］/2+（3-x）*［1+sgn（x-1）］/2，點(diǎn)擊確定后可得到函數(shù)的圖象．

方法2巧妙地利用了分段函數(shù)的特點(diǎn)，彌補(bǔ)了方法1中不能一次成圖、無(wú)法整體選中、取點(diǎn)無(wú)法自由移動(dòng)等缺陷．函數(shù)F（x）中所構(gòu)造的用于匹配其所乘函數(shù)的定義域的范圍．具體地，當(dāng)x<1時(shí)分別為1 和 0，則此時(shí) F（x）=2x-1，同理，當(dāng) x>1 時(shí)，F(xiàn)（x）=3-x．因而，類似地，對(duì)于分段函數(shù)一般地可構(gòu)造 G（x）

較之方法1，方法2已有明顯的改進(jìn)，彌補(bǔ)了方法1的諸多缺陷，同時(shí)也是目前較為普遍的一種處理方式．但即便如此，方法2仍存在不完美之處．對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取x=1時(shí)，f（1）=0，而對(duì)于函數(shù)當(dāng)取 x=1 時(shí)由于幾何畫板中孤立的點(diǎn)不被顯示，這使得上述問(wèn)題常常被忽略．其實(shí)通過(guò)觀察和分析不難發(fā)現(xiàn)，造成上述偏差的主要原因是函數(shù)雖然可以在x>1和x<1時(shí)分別取得1和0，但當(dāng)x=1時(shí)的取值卻是，而非0，從而使得F（1）≠（f1）．因此，要想借助符號(hào)函數(shù)sgn（x）得到分段函數(shù)f（x）的相同函數(shù)，就必須重新構(gòu)造3-x所乘函數(shù)的關(guān)系式．

方法3 對(duì)方法2進(jìn)行改進(jìn)，重新構(gòu)造2x-1和3-x的所乘函數(shù)，分別為k1（x）=sgn［1+sgn（1-x）］和k2（x）=sgn［1+sgn（x-1）］·sgn|x-1|．

操作步驟：

（1）構(gòu)造函數(shù) F（x）=（2x-1）·sgn［1+sgn（1-x）］+（3-x）·sgn［1+sgn（x-1）］·sgn|x-1|．

（2）在“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對(duì)話框中輸入函數(shù)表達(dá)式，（2^x-1）*sgn［1+sgn（1-x）］+（3-x）*sgn［1+sgn（x-1）］*sgn［abs（x-1）］點(diǎn)擊確定后可得到函數(shù)的圖象．

方法3構(gòu)造了y=k1（x）和y=k2（x）兩個(gè)函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，由于1+sgn（x-1）=0，所以k1（x）恒等于0，由于1+sgn（x-1）>0，|x-1|>0，k2（x）恒等于1；同理可得，當(dāng)x<1時(shí)，k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0，而當(dāng)x=1時(shí)，1+sgn（x-1）>0，|x-1|=0，仍能保證k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0．

類似地，利用相同的原理，根據(jù)不同定義域下的函數(shù)，可構(gòu)造出其所對(duì)應(yīng)的不同的所乘函數(shù)k（x），具體如下：

1．當(dāng) x≤a 時(shí)，構(gòu)造 k（x）=sgn［1+sgn（a-x）］．

2．當(dāng) x

3．當(dāng) x≥b 時(shí)，構(gòu)造 k（x）=sgn［1+sgn（x-b）］．

4．當(dāng) x>b 時(shí)，構(gòu)造 k（x）=sgn［1+sgn（x-b）］·sgn|x-b|．

5．當(dāng) a≤x≤b 時(shí)，構(gòu)造 k（x）=sgn［1+sgn（x-a）（b-x）］．

6．當(dāng)a

7．當(dāng) a≤x

8．當(dāng) a

對(duì)于一個(gè)含有n（n∈N*）段的分段函數(shù)f（x），其每一段所對(duì)應(yīng)的解析式為fi（x）（1≤i≤n，i∈N*），根據(jù)上述方法，可以構(gòu)造出fi（x）所對(duì)應(yīng)的所乘函數(shù)ki（x），再令，則f（x）與F（x）為相同函數(shù)．因此，只需在幾何畫板“繪圖”——“繪制新函數(shù)”的對(duì)話框中輸入函數(shù)表達(dá)式后再點(diǎn)擊確定，即可得到函數(shù)f（x）的圖象．至此，在幾何畫板中繪制分段函數(shù)圖象這一問(wèn)題才最終得以真正解決．