關于非線性系統辨識的恢復力曲面法和希爾伯特變換法

袁天辰 ， 楊 儉， 陳立群

(1. 上海工程技術大學 城市軌道交通學院， 上海 201620； 2. 上海大學 理學院力學系， 上海 200444;3. 上海大學 上海市應用數學和力學研究所， 上海 200072；4. 上海大學 上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室， 上海 200072)

非線性系統辨識受到越來越多的研究者的關注，通過系統辨識可以獲得結構在大幅振動下的精確模型，這些方法主要分為頻域方法和時域方法兩大類。典型的非線性系統的頻域辨識方法有Volterra和Wiener級數[1]、多尺度法MMS[2]和諧波平衡法HBM[3]。與頻域方法相比，時域方法需要的數據量較少，但容易受到數據噪聲的干擾[4]。時域方法中的恢復力曲面法(或稱為力-狀態映射法)[5]和基于希爾伯特變換的辨識方法[6-7]不需要事先確定非線性恢復力的形式，是純粹的非參數識別方法，在系統辨識的過程中得到較廣泛的應用。

恢復力曲面法通過構建恢復內力、速度和位移之間的三維點集，利用切比雪夫多項式擬合恢復力曲面或者利用截面法分離出其中的彈性恢復力和阻尼恢復力?；谙柌刈儞Q的辨識方法，利用系統的自由振動或受迫振動響應，通過解析信號得到待辨識系統剛度和阻尼函數的表達式，構建響應信號的包絡幅值和待識別系統剛度或阻尼函數之間的關系，達到辨識系統非線性剛度或阻尼函數的目的。然而該方法在辨識強非線性系統時，會受到響應信號中高階諧波的干擾。由Braun等[8]提出的希爾伯特振動分解(Hilbert Vibration Decomposition, HVD)可以有效解決這一問題。鄧楊等[9]提出了基于參數化時頻分析的非線性振動系統參數辨識方法，改進了希爾伯特變換方法易受實驗數據噪聲干擾的缺點。Feldman[10]基于仿真數據對比了恢復力曲面法和希爾伯特變換法的區別，研究指出如果利用切比雪夫多項式擬合辨識結果，其模型系數的物理意義并不明確，且可能造成較大的累計誤差。本文基于均勻薄板和壓電雙晶薄板的實驗數據，進一步研究了兩種方法在形成位移-剛度數據機制上的區別。結果表明，在有噪聲的實驗情況下，希爾伯特變換法能夠得到更為平滑和精確的位移-剛度數據，在數值上更為穩定。

在通過非參數方法辨識得到系統的非線性特性曲線之后，就可以利用一個預設的函數模型(例如多項式函數)去擬合系統辨識得到結果，系統辨識問題也就轉化為模型的參數估計問題，這一過程最常用的方法是最小二乘法。閆蓓等[11]提出一種帶有投票機制的改進最小二乘法，成功剔除了異常值。以上研究成果均沒有涉及對擬合目標數據選擇的問題，Worden等在擬合時均選用位移-彈性或阻尼恢復力數據。本文從均勻薄板和壓電雙晶薄板的實驗辨識問題出發，針對辨識數據的擬合問題，提出以位移-剛度函數為目標數據進行擬合，提高了小位移下數據擬合的精度。此外，還發現位移-剛度函數能比位移-恢復力函數更好的展現系統的非線性特性，為函數模型的選擇提供更多參考和依據。

1 實驗裝置

本文對兩種薄板進行了系統辨識，如圖1所示：一種為均勻的黃銅薄板，厚度為0.2 mm；另一種為黃銅薄板和壓電陶瓷圓片組成的雙晶板，其中壓電陶瓷的厚度為0.2 mm、直徑為40 mm。兩種薄板均由內徑為56 mm的鋼環夾緊，構成固定邊界，中心均配有質量為74.4 g的倒錐形質量塊。在實驗中，鋼環安裝于激振臺的臺面上，臺面加速度和中心質量塊加速度由動態數據采集儀記錄。

2 系統非參數辨識結果的數據擬合

2.1 恢復力曲面法的辨識過程

(1)

(a) 均勻薄板

(b) 壓電雙晶薄板

(2)

(3)

(4)

2.2 均勻薄板的辨識與數據擬合

實驗中，均勻薄板裝置受到60 Hz的正弦基礎激勵，激勵幅值在5 s內從0自由地增加到2g。中心質量振動速度和位移時間歷程通過數值積分得到，并應用低通濾波去除趨勢項的干擾。采用恢復力曲面法辨識得到均勻薄板的位移-彈性恢復力如圖2(a)中的散點所示。以彈性恢復力數據為擬合的目標，以三次多項式為函數模型，得到擬合曲線如圖2(a)中的實線所示，其三次多項式系數見表1中“均勻薄板恢復力”行。其中，k1為線性項，k2表示系統的對稱性，k3為立方非線性項。結果顯示系統主要是含有三次立方剛度非線性，并具有輕微的平方項，可能是由裝配中的輕微誤差引起的。圖2(a)中的點劃線為彈性恢復力的線性部分k1。

表1 多項式擬合結果

圖2(b)中的散點為利用公式fs(x)/x得到的位移-剛度離散數據點，實線是利用表1中“均勻薄板恢復力”行的k1、k2和k3系數繪制得到的擬合曲線，點劃線為線性項k1。結果顯示，在小位移處的擬合曲線和數據散點相差較大，線性剛度與實驗數據也有明顯偏離。該現象在圖2(a)中的位移-彈性恢復力曲線中沒有體現，然而在圖2(b)中位移-剛度曲線中卻非常明顯。重新以位移-剛度數據為目標，同樣以三次多項式為函數模型，擬合結果如圖2 (b)中的虛線所示。其三次多項式系數見表1中“均勻薄板剛度”行。從圖中可以看出小位移處的準確性得到了提高。在數據擬合過程中采用是是最小二乘法，其殘差Q的公式為

(5)

式中，yei是三次多項式的計算值，yi是待擬合的數據。當yei和yi均接近0時(例如恢復力接近0時)，無論估計是否準確，其殘差Q可能依然很小，由此造成了擬合失真。因此，在擬合辨識實驗數據時，應優先考慮對位移-剛度數據進行擬合，以提高準確性。

由圖4可以看出,系統的頻率偏差值維持在±0.2 Hz之內,能夠使柴儲混合電力系統穩定運行,由此證明所提出的負荷頻率協調控制策略能夠保證系統頻率穩定運行。

(a) 彈性恢復力-位移辨識結果

(b) 剛度-位移辨識結果

2.3 壓電雙晶薄板的辨識與數據擬合

下面通過壓電雙晶薄板的例子，進一步展示位移恢復力數據和位移-剛度數據在非線性系統辨識中的區別。采用與均勻板相同的質量配重和實驗流程，壓電雙晶薄板裝置受到110 Hz的正弦基礎激勵，激勵幅值在5 s內從0自由地增加到3.5g。圖片3(a)中的散點為位移-彈性恢復力的辨識結果，從曲線形狀來看，表現出一種硬剛度特性，類似于圖2中的均勻薄板，其三次多項式擬合結果如圖3(a)中實線所示，其三次多項式系數見表1中“壓電雙晶薄板恢復力”行。然而，圖3(b)所顯示的位移-剛度曲線卻表現出更加復雜的非線性特性：當位移較小時，剛度數值較大，隨著位移的增大剛度值迅速減??；接著，隨著位移的繼續增大，剛度值又緩緩上升。由此可見，通過研究位移—剛度函數曲線，可以比位移-彈性恢復力曲線展現更多細節。對于圖3(b)所示的非線性特性，即便增加多項式階數，也無法準確擬合實驗數據，反而會引起嚴重的龍格現象，可見多項式函數已經不適合此類系統。本文在文獻[12]提出的雙曲正切模型的基礎上，提出了含有立方項的改進函數形式

fs(x)=k1x+k3x3+αs[tanh(βsx+γs)-

tanh(γs)]

(6)

利用最小二乘法，得到式(6)中的各項系數為k1=2.566 5×104，k3=4.926 0×1010，βs=7.847 4×104，γs=0.033 4，其結果如圖3(b)中的虛線所示?？梢娺@類函數能較好表征這類復雜的非線性剛度。這種軟硬特性共存的情況已經被作者在之前的研究中通過頻響曲線加以證實[13]，在物理結構上是由于壓電陶瓷層和黃銅基板之間膠水所產生的軟化作用，造成了薄板剛度在小位移處降低，當位移較大時，薄板的中面應力又造成剛度上升。

(a) 彈性恢復力-位移辨識結果

(b) 剛度-位移辨識結果

由以上兩個例子可以發現，剛度-位移曲線能夠展現系統非線性的更多細節，并有助于選擇合適的函數進行逼近并提高曲線擬合精度。然而，觀察基于恢復力曲面法得到的位移-剛度散點可以發現，當位移極小時，剛度散點有不規則的振蕩現象出現。這是由于在恢復力曲面法中，位移-剛度數據是通過fs(x)/x得到的，由于實驗樣本數據不可避免的存在噪聲，導致數據發生不規則的振蕩。下章介紹的基于希爾伯特變換法可以克服以上問題。

3 希爾伯特變換法與恢復力曲面法的比較

3.1 希爾伯特變換法的辨識過程

(7)

式中：cn是非線性阻尼函數，kn是非線性剛度函數，則系統動力學方程(1)改寫為

(8)

在系統質量m和外激勵F已知的情況下，非線性剛度函數的辨識公式為

(9)

(10a)

(10b)

該方法的重要特點是可以直接得到剛度函數knEOE(AdEOE)，有助于提高剛度函數的數據質量。而位移-彈性恢復力則可以通過公式fs(x)=AdEOE×knEOE(AdEOE)計算得到。

3.2 系統辨識結果比較

直接利用3.1節中實驗的原始數據，進行希爾伯特變換法的辨識。首先，利用HVD分解將振動位移信號分解為2個分量(N=2)。圖4顯示了對兩種薄板的振動位移各分量的三維時-頻響應。其中，深色實線是第一個分量(i=1)的包絡線；淺色實線是第二個分量(i=2)的包絡線。該空間曲線在時間-頻率平面上的投影，則展示了該信號的瞬時頻率變化規律。第一個分量的瞬時頻率是外激勵頻率，是系統響應的基頻。對于均勻薄板來說，除了微小幅值處的噪聲區域，第二分量的瞬時頻率是基頻的3倍；對于壓電雙晶薄板來說，第二個分量的瞬時頻率則有先減小再增大的現象，這顯示壓電雙晶薄板可能含有其他非線性特性。

(a) 均勻薄板

(b) 壓電雙晶薄板

根據3.1節中的辨識過程，分別對以上兩種薄板的進行辨識計算，位移-剛度函數的辨識結果如圖5中的實線所示，淺色的散點為恢復力曲面法所得到的結果。經過對比可以發現，希爾伯特變換法的辨識結果，基本不存在小位移處的振蕩問題，小位移處的曲線也更加平滑，有利于函數逼近。

在數據利用方面，希爾伯特變換法要優于恢復力曲面法。以均勻圓薄板的辨識為例：實驗中采樣率為10 240 Hz，共采集數據47 464點。在希爾伯特變換法中，在去除由于HVD變換造成的端點失真數據之后，有效辨識數據尚有26 964點；在恢復力曲面法中，提取完成后的辨識數據則僅有559點。產生以上結果的原因是：恢復力曲面法采用截面原理產生位移-彈性恢復力數據對，只利用了速度為零時的數據，其他數據則被棄之不用，造成了數據利用率低下。而希爾伯特變換法的所有數據均參與位移-剛度數據的構成(其中的端點效應可以通過數據延拓來克服)，所以希爾伯特變換法產生的數據量要大大高于恢復力曲面法。

(a) 均勻薄板

(b) 壓電雙晶薄板

4 結 論

本文基于均勻薄板和壓電雙晶薄板的非線性辨識實驗，比較了恢復力曲面法和希爾伯特變換法在函數逼近的準確性、數據處理精度和數據利用率方面的區別，得到以下結論：

(1) 位移-剛度函數比位移-彈性恢復力函數更能準確展現辨識得到的系統非線性特性，并能提高小位移幅值處函數逼近的精度。

(2) 基于希爾伯特變換的辨識方法，能更加準確得到位移-剛度函數，尤其在小位移處可以明顯減少數據的不規則振蕩。

(3) 基于希爾伯特變換的辨識方法，數據利用率遠遠高于恢復力曲面法，這在數據總量受限的情況下將非常有益。