基于齒根圓角圓心所在位置的時(shí)變嚙合剛度修正模型

張珂銘, 邵毅敏, 許 晉, 何 融, 李 亮

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044； 2.北方車(chē)輛研究所，北京 100072)

齒輪廣泛地應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備，其振動(dòng)噪聲越來(lái)越受到各方關(guān)注。眾所周知，嚙合齒對(duì)變化產(chǎn)生周期性的剛度激勵(lì)是主要的內(nèi)部激勵(lì)，對(duì)研究時(shí)變嚙合剛度對(duì)于齒輪振動(dòng)控制具有十分重要的意義。

目前對(duì)于嚙合剛度的研究，可分為有限元法(FEM)和解析法(AM)。有限元法是借助有限元分析軟件來(lái)計(jì)算齒輪的嚙合剛度[1-3]，計(jì)算精度較高，但計(jì)算量巨大，結(jié)構(gòu)參數(shù)改變后需花費(fèi)大量的時(shí)間建模與計(jì)算。相較于有限元法(FEM)的復(fù)雜性和耗時(shí)性，解析法(AM)為計(jì)算嚙合剛度提供了一個(gè)更高效的途徑，被廣泛應(yīng)用于嚙合剛度計(jì)算。

目前，很多學(xué)者對(duì)解析法計(jì)算輪齒嚙合剛度進(jìn)行了相應(yīng)研究，Yang等[4]考慮了彎曲、軸向壓縮、赫茲接觸剛度，提出用勢(shì)能法來(lái)計(jì)算外直齒圓柱齒輪的嚙合剛度。 Tian等[5-6]在勢(shì)能法中加入了剪切剛度，Saxena等[7]考慮了齒輪輪體變形來(lái)完善嚙合剛度的算法，計(jì)算了齒根有剝落或裂紋時(shí)的嚙合剛度，Ma等[8]提出了修緣齒輪的嚙合剛度改進(jìn)算法?，F(xiàn)有的研究一般都是將輪齒考慮為一個(gè)基圓開(kāi)始的懸臂梁。但是，實(shí)際齒輪對(duì)的嚙合，因齒數(shù)、變位系數(shù)、齒根圓角等參數(shù)的不同，其齒輪齒廓線(xiàn)存在不開(kāi)始于基圓的情況，如圖1所示。當(dāng)基圓大于齒根圓時(shí)，目前的嚙合剛度解析模型忽略了齒根圓與基圓之間的輪齒部分的勢(shì)能，將導(dǎo)致計(jì)算嚙合剛度相對(duì)偏大；當(dāng)基圓小于齒根圓時(shí)，因多考慮了基圓與齒根圓之間的變形能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算所得嚙合剛度偏小。陳再剛等[9-11]近年來(lái)的針對(duì)嚙合剛度的進(jìn)行了大量的研究，其研究主要考慮了修形參數(shù)以及空間裂紋嚙合剛度的影響，提出了‘切片式’裂紋嚙合剛度的算法，其研究都考慮了齒根圓與基圓不重合的情況，但并未涉及到齒根倒角以及齒根倒角圓心位置對(duì)嚙合剛度影響。

針對(duì)存在的問(wèn)題，Liang等[12]提出了考慮了齒根圓半徑小于基圓半徑，齒根圓半徑大于基圓半徑兩種情況，采用一條直線(xiàn)來(lái)表示基圓與齒根圓之間的齒廓，對(duì)現(xiàn)有的解析模型進(jìn)行了修正，如圖1所示。但是，由于大多數(shù)情況下，齒輪齒根部分都有切于齒廓線(xiàn)與齒根圓的齒根圓角，簡(jiǎn)單地將其倒有圓角的齒廓曲線(xiàn)用一條直線(xiàn)替代會(huì)對(duì)剛度計(jì)算造成一定誤差。萬(wàn)志國(guó)等[13]考慮了齒根圓角半徑，對(duì)嚙合剛度進(jìn)行了修正，但其考慮的為齒根圓圓心恰好位于過(guò)基圓與齒廓線(xiàn)交點(diǎn)做z軸垂線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖1文獻(xiàn)[13]中假定倒角圓所示，且認(rèn)為齒根圓角半徑r大于基圓與齒根圓之間齒形在z軸距離x1。然而，實(shí)際情況中，齒根圓角半徑的圓心位置由齒數(shù)，模數(shù)，壓力角，倒角圓半徑和變位系數(shù)等決定，且存在倒角圓圓心位于基圓內(nèi)與基圓外兩種情況。同時(shí)，齒根圓角的位置也會(huì)對(duì)輪齒剛度計(jì)算造成一定影響，且圓角半徑r并不一定大于x1，當(dāng)r

圖1 各文獻(xiàn)研究中擬定輪齒幾何圖形

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出了一種考慮倒角圓心位置的嚙合剛度修正算法，考慮齒根圓角在基圓內(nèi)與基圓外兩種情況，對(duì)以往剛度模型進(jìn)行了改進(jìn)，精確計(jì)算了齒根圓與基圓之間的勢(shì)能，減小了目前解析法計(jì)算剛度的存在的誤差，適合不同齒輪參數(shù)，具有更廣泛的適用性。

1 基于齒根圓角圓心位置的嚙合剛度計(jì)算方法

本文基于勢(shì)能法將輪齒簡(jiǎn)化為齒根圓上的變截面懸臂梁，如圖2所示。圖中，F(xiàn)為垂直于齒面的嚙合力，d為嚙合力在輪齒上的有效作用長(zhǎng)度，h代表嚙合力作用點(diǎn)位置處的半齒厚，hx為有效作用長(zhǎng)度上的齒廓線(xiàn)上任意位置處的半齒厚，齒輪形變等效為懸臂梁在F作用下的彈簧形變存儲(chǔ)在齒輪中，其儲(chǔ)存的勢(shì)能有3部分，分別為彎曲勢(shì)能Ub，剪切勢(shì)能Us，徑向壓縮勢(shì)能Ua。分別可表示為

(1)

式中：ks、kb、ka分別為輪齒在嚙合力F的作用下沿剪切、彎曲、沿齒高方向軸壓縮變形方向上的等效剛度。

圖2 直齒輪變截面懸臂梁模型

傳統(tǒng)算法大都假設(shè)輪齒齒廓線(xiàn)起始于基圓，即齒根圓即基圓重合，如圖2所示，忽略了齒根圓與基圓之間的勢(shì)能對(duì)嚙合剛度的影響，且在大多數(shù)情況下齒根圓與基圓并不重合，導(dǎo)致計(jì)算嚙合剛度的誤差較大。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[12]雖考慮了齒根圓與基圓之間存在的勢(shì)能，但僅用近似的齒廓線(xiàn)進(jìn)行模擬，提高了計(jì)算嚙合剛度的精度。然而，這種算法在某些參數(shù)條件下會(huì)產(chǎn)生誤差，為了更為精確計(jì)算在各種參數(shù)條件下輪齒嚙合剛度，本文提出了基于齒根圓角圓圓心位置的輪齒時(shí)變嚙合剛度的算法，根據(jù)齒根圓角圓心在基圓內(nèi)與基圓外兩種情況，改進(jìn)了傳統(tǒng)算法。

1.1 倒角圓圓心位于基圓外嚙合剛度算法

圖3 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖1

倒角圓圓心位于基圓外部，倒角圓與齒廓線(xiàn)切點(diǎn)位于基圓以上，存在齒根圓半徑小于基圓半徑Rd

第一積分項(xiàng)為嚙合點(diǎn)到齒廓線(xiàn)與倒角圓切點(diǎn)之間的輪齒部分，(以往方法為嚙合點(diǎn)到基圓與齒廓線(xiàn)交點(diǎn)之間的輪齒部分)，如圖4中陰影部分①所示，在z軸上積分區(qū)間為[0,d′]，根據(jù)輪齒幾何關(guān)系，積分上限d′可表示為

d′=Rb[cosα1+(α1+α2)sinα1]-

(2)

式中，Rb為基圓半徑。

圖4 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖2

如圖3,4所示，根據(jù)齒輪嚙合角、齒廓曲線(xiàn)等幾何關(guān)系

(3)

(4)

(5)

式中：r為齒根圓角半徑，Rd為齒根圓半徑，Rp為分度圓直徑，x0為齒輪的變位系數(shù)。

第二積分項(xiàng)為齒廓線(xiàn)與倒角圓切點(diǎn)到齒根圓部分，如圖4中陰影部分②所示，在z軸上的積分區(qū)間為[0,d1](需要注意的是，當(dāng)Rd≥Rb，r=0,時(shí)，d1=0，即齒根圓半徑為0時(shí)得到第二積分項(xiàng)的積分區(qū)間為0，此時(shí)在嚙合力作用下，由剪切、彎曲、沿齒高方向徑向壓縮變形所儲(chǔ)存的形變能的第二積分項(xiàng)Ub2,Us2,Ua2均等于0)。

考慮基圓與齒根圓之間輪齒的勢(shì)能，當(dāng)?shù)菇菆A圓心位于基圓外時(shí)，在嚙合力作用下，由剪切、彎曲、沿齒高方向徑向壓縮變形所儲(chǔ)存的形變能可表示為

(6)

(7)

(8)

式中：Fb為嚙合力沿直齒輪齒厚方向上的分力，F(xiàn)a為嚙合力沿垂直于齒厚方向上的分力，M為Fa作用在微截面上的力矩，E為材料彈性模量，G為材料剪切模量，Ix、Ax分別為距離倒角圓與齒廓線(xiàn)切點(diǎn)x處輪齒截面的慣性矩與截面面積，Ix1為距離倒角圓與齒廓線(xiàn)切點(diǎn)x1處輪齒截面的慣性矩與截面面積。

Ax=2hxL,Ax1=2hx′L

(9)

(10)

x=Rb[cosα+(α+α2)sinα-cosα2]

x1=rsinβ-rsinβ0

(11)

hx=Rb[(α+α2)cosα-sinα]

hx1=he+r[1-cosβ]

(12)

dx=Rb(α+α2)cosαdα, dx1=rcosβdβ

(13)

式中：r為倒角圓半徑，β為x1對(duì)應(yīng)點(diǎn)與倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角，β0為x1=0時(shí)，x1對(duì)應(yīng)齒廓線(xiàn)的點(diǎn)與倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角，βend為x1=d1時(shí)，x1對(duì)應(yīng)點(diǎn)跟倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角，根據(jù)齒廓曲線(xiàn)與各參數(shù)之間的幾何關(guān)系可知

(14)

根據(jù)式(13)和(14)，第一段積分項(xiàng)的積分單元dx可用dα來(lái)替代，積分區(qū)間[0,d]可用嚙合角區(qū)間[α1,α1]來(lái)表示。第二段積分項(xiàng)的積分單元dx1可用dβ來(lái)替代，積分區(qū)間[0,d2]可用x1對(duì)應(yīng)齒廓線(xiàn)上的點(diǎn)跟倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角表區(qū)間[β0,βend]來(lái)表示。

考慮式(6)～(14)，嚙合點(diǎn)處的彎曲勢(shì)能、剪切勢(shì)能以及軸向壓縮勢(shì)能可改寫(xiě)為(設(shè)α位于z軸左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù))

(15)

(16)

(17)

將式(15)～(17)代入式(1)，即可求得可得當(dāng)Rd+r-Rb>0時(shí)，在嚙合力F的作用下沿剪切、彎曲、沿齒高方向軸壓縮變形方向上的等效剛度kb、ks、ka

(18)

(19)

(20)

嚙合時(shí)，應(yīng)考慮赫茲接觸剛度，其表達(dá)式為

(21)

式中，E為齒輪彈性模量，L為齒寬，v為泊松比，根據(jù)Muskhelishvili理論，齒根圓部分受到恒定的隨時(shí)間變化的作用力，在該作用力下，齒輪輪體變形量為δf

(22)

若忽略齒輪基體的柔性變形，將會(huì)造成所求嚙合剛度偏大。其式(22)的各參數(shù)定義，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[10]。

齒輪輪體變形引起的嚙合線(xiàn)上等效剛度為

(23)

綜合輪齒彎曲變形、剪切變形、軸向壓縮變形、赫茲接觸變形以及輪體變形，其對(duì)應(yīng)的嚙合線(xiàn)上等效剛度，可表示為各個(gè)變形所對(duì)應(yīng)剛度的串聯(lián)形式。單齒嚙合剛度可表示為

(24)

采用式(24)，可計(jì)算倒角圓圓心位于基圓外時(shí)的輪齒單齒嚙合剛度。

1.2 倒角圓圓心位于基圓內(nèi)嚙合剛度算法

齒根圓角圓圓心在基圓內(nèi)，即Rd+rr，且倒角圓半徑大于等于零，因此此種條件下只包含了齒根圓半徑小于Rd

圖5 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖1

為了更為精確計(jì)算嚙合剛度，與現(xiàn)有算法不同，新算法采用三段積分法來(lái)計(jì)算時(shí)變嚙合剛度，第一段積分項(xiàng)為嚙合點(diǎn)到基圓與齒廓線(xiàn)交點(diǎn)所代表的區(qū)間，如圖6中陰影部分①所示。

圖6 倒角圓圓心在基圓外輪齒示意圖2

在z軸上積分區(qū)間為[0,d]，根據(jù)齒廓曲線(xiàn)與各個(gè)參數(shù)之間的幾何關(guān)系，積分上限d可表示式為

d=Rb[cosα1+(α1+α2)sinα1-cosα2]

(25)

第二積分項(xiàng)為基圓與齒廓線(xiàn)交點(diǎn)到齒根圓角圓圓心與z軸垂線(xiàn)與齒廓線(xiàn)交點(diǎn)，如圖6中陰影部分②所示，在z軸上積分區(qū)間為[0,d1]

(26)

式中，Ra為齒頂圓半徑，dmax為齒廓線(xiàn)與齒頂圓交點(diǎn)處的交點(diǎn)處的嚙合點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的d。he為第一積分區(qū)間積分終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的嚙合點(diǎn)到z軸的距離，當(dāng)Rd+r

he=Rbsinα2

(27)

第三積分項(xiàng)為齒根圓角圓圓心與z軸垂線(xiàn)與齒廓線(xiàn)交點(diǎn)到倒角圓與齒根圓切點(diǎn), 如圖6中陰影部分②所示，在z軸上積分區(qū)間為[0,d2]。

考慮基圓與齒根圓之間輪齒的勢(shì)能，當(dāng)?shù)菇菆A圓心位于基圓內(nèi)時(shí)，基于如上所述的三段積分法，在嚙合力作用下，由剪切、彎曲、沿齒高方向徑向壓縮變形所儲(chǔ)存的形變能可表示為

Ub=

(28)

(29)

(30)

式中，E為齒輪彈性模量，Ix、Ax分別為距離基圓x處輪齒截面的慣性矩與截面面積，Ix1、Ax1為第二積分項(xiàng)中距離基圓x1處輪齒截面的慣性矩與截面面積。Ix2、Ax2為第三積分項(xiàng)中距離倒角圓與齒廓線(xiàn)切點(diǎn)x2處輪齒截面的慣性矩與截面面積。

Ax=2hxL,Ax1=2hx1L,Ax2=2hx2L

(31)

(32)

x=Rb[cosα+(α+α2)sinα]-

x2=rsinβ

(33)

hx=Rb[(α+α2)cosα-sinα],hx1=he

hx2=he+r(1-cosβ)

(34)

dx=Rb(α+α2)cosαdα, dx2=rcosβdβ

(35)

式中，r為倒角圓半徑，β為x1對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)與倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角，β0為x2=0時(shí)，x2對(duì)應(yīng)嚙合點(diǎn)與倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角，βend為x2=d2時(shí)，x2對(duì)應(yīng)點(diǎn)與倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角，根據(jù)倒角圓與齒廓曲線(xiàn)之間的幾何關(guān)系可知，

(36)

根據(jù)式(35)和(36)，第一段積分項(xiàng)的積分單元dx可用dα來(lái)替代，積分區(qū)間[0,d]可用嚙合角區(qū)間[α1,α2]來(lái)表示。第三段積分項(xiàng)的積分單元dx2可用dβ來(lái)替代，積分區(qū)間[0,d2]可用倒角到倒角圓心連線(xiàn)與水平方向夾角表區(qū)間[0,βend]來(lái)表示。

因此嚙合點(diǎn)處的彎曲勢(shì)能、剪切勢(shì)能以及軸向壓縮勢(shì)能可改寫(xiě)為(設(shè)α位于z軸左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù))

(37)

(38)

(39)

將式(37)～(39)代入式(1)，即可求得可得當(dāng)Rd+r

(40)

(41)

(42)

基于赫茲接觸剛度與輪體變形剛度的計(jì)算，運(yùn)用式(21)～(23)即可求得當(dāng)齒根圓角圓圓心位于基圓外時(shí)的輪齒時(shí)變嚙合剛度，再通過(guò)式(24)可計(jì)算倒角圓圓心位于基圓外時(shí)的輪齒單齒嚙合剛度。

當(dāng)有兩對(duì)齒輪同時(shí)參與嚙合時(shí)，綜合嚙合剛度可表示為

(43)

式中，i=1表示第一對(duì)齒輪嚙合，i=2表示第二對(duì)齒輪嚙合。

2 基于齒根圓位置的嚙合剛度算法的驗(yàn)證

如表1所示，為倒角圓圓心在基圓外(Rd+r>Rb)的兩對(duì)相互嚙合齒輪1,2的基本參數(shù)，表2所示為倒角圓圓心在基圓內(nèi)(Rd+r

表1 倒角圓圓心在基圓外(Rd+r>Rb)齒輪基本參數(shù)

表2 倒角圓圓心在基圓內(nèi)(Rd+r

Tab.2 The basic parameters of the gear for center ofchamfer circle is inside of the base circle

采用表1所示參數(shù)，建立有限元法算剛度模型，如圖7所示。綜合考慮求解精度及計(jì)算消耗量，細(xì)化接觸區(qū)域的單元尺寸，主動(dòng)輪1與從動(dòng)輪2對(duì)共有299 213個(gè)單元，300 587個(gè)節(jié)點(diǎn)，單位類(lèi)型為shell181,并建立齒輪1和2有限元模型的嚙合接觸對(duì)。約束被驅(qū)動(dòng)齒輪2內(nèi)圈上所有節(jié)點(diǎn)x,y,z方向的平動(dòng)以及轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，在驅(qū)動(dòng)齒輪1內(nèi)孔周向各個(gè)節(jié)點(diǎn)上施加切向力，以此施以順時(shí)驅(qū)動(dòng)力矩，提取內(nèi)孔所有節(jié)點(diǎn)的切向位移并求取平均Uy，根據(jù)式(44)可計(jì)算得到此嚙合位置的嚙合剛度

(44)

式中，T為輸入轉(zhuǎn)矩，Rb(drive)為驅(qū)動(dòng)齒輪的基圓半徑，θ為驅(qū)動(dòng)齒輪基于初始嚙合位置的轉(zhuǎn)角位移，接觸點(diǎn)繞中心的轉(zhuǎn)角，Uy為內(nèi)孔所有節(jié)點(diǎn)沿切線(xiàn)方向的位移，Rhub(drive)為驅(qū)動(dòng)輪軸孔半徑。

依次改變模型嚙合位置，根據(jù)式(44)可分別求得各個(gè)嚙合位置處的嚙合剛度，即可得到通過(guò)有限元法求得的表1所示參數(shù)下的輪齒嚙合剛度。表2所示齒輪參數(shù)亦通過(guò)同樣算法獲得其輪齒嚙合剛度。

圖7 有限元法計(jì)算嚙合剛度模型示意圖

圖8、圖9分別為三種算法的輪齒嚙合剛度結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比。即：表1、表2所示齒輪參數(shù)，分別采用文獻(xiàn)[7](未考慮齒根圓與基圓之間的輪齒部分，考慮了基體變形)和文獻(xiàn)[12](將齒根圓與基圓之間的輪齒部分的齒廓用一條直線(xiàn)替代)及本文新算法的結(jié)果，與有限元法的對(duì)比。

圖8顯示，表1所示齒輪參數(shù)，倒角圓圓心在基圓外時(shí)(Rd+r>Rb)，本文算法的結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，單齒嚙合區(qū)嚙合剛度最大誤差值為0.92×107N/m，雙齒嚙合區(qū)所算得的嚙合剛度最大誤差值小于0.75×107N/m，單雙齒區(qū)的結(jié)果誤差在1%以?xún)?nèi)。文獻(xiàn)[12]將基圓與齒根圓的齒廓曲線(xiàn)近似考慮為一構(gòu)造直線(xiàn)，與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比，所得的剛度偏大，剛度最大差值達(dá)5×107N/m。文獻(xiàn)[7]由于并未考慮基圓與齒根圓部分的因素，輪齒嚙合剛度誤差明顯偏大，最大誤差值可達(dá)11×107N/m。

圖8 表1參數(shù)下各算法嚙合剛度對(duì)比

圖9顯示，表2所示齒輪參數(shù)下，當(dāng)?shù)菇菆A圓心在基圓內(nèi)時(shí)(Rd+r

圖9 表2參數(shù)下各算法嚙合剛度對(duì)比

3 動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真

為研究不同剛度算法對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，本文建立了一個(gè)考慮齒面摩擦的6自由度集中質(zhì)量模型，如圖10所示，其動(dòng)力學(xué)方程可表示為

(45)

動(dòng)態(tài)嚙合力Fp(t)與齒面摩擦力Ff(t)可分別表示為

(46)

Ff(t)=λfFp

(47)

式中，Rp，Rg分別為主被動(dòng)輪的基圓半徑，mp，mg為主被動(dòng)輪質(zhì)量，Jp，Jg為主被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kmi為齒對(duì)i的嚙合剛度，cmi為齒對(duì)i的嚙合阻尼，kgx，kgy，kpx，kpy為兩齒輪軸承的支撐剛度，ei為齒對(duì)i的誤差。λ為齒輪摩擦力方向系數(shù)，F(xiàn)f做功與Tp同向時(shí)取‘+1’，反之取為‘-1’(即嚙合點(diǎn)過(guò)節(jié)點(diǎn)之前取‘-1’，位于節(jié)點(diǎn)取‘0’，過(guò)節(jié)點(diǎn)后取‘+1’),H為嚙合點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的距離。f為等效摩擦因數(shù)，由于摩擦因數(shù)在嚙合線(xiàn)上隨著運(yùn)行條件的變化只有輕微的變化，可取其平均值以達(dá)到近似目的，其取值計(jì)算按照國(guó)家指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)GB/Z 22559.1—2008進(jìn)行

(48)

其式(48)的各參數(shù)定義，請(qǐng)參考文獻(xiàn)照國(guó)家指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)GB/Z 22559.2—2008。

圖10 兩對(duì)齒輪嚙合的6自由度非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型

在表1,2所示參數(shù)下，將各方法所求得的離散的剛度擬合為函數(shù)，再在動(dòng)力學(xué)方程中根據(jù)主動(dòng)輪所轉(zhuǎn)過(guò)的角度從嚙合剛度函數(shù)中取出對(duì)應(yīng)嚙合位置處的剛度，將帶入動(dòng)力學(xué)方程(支撐剛度為2×108N/m，輸入力矩為2 000 Nm,輸入轉(zhuǎn)速1 000 r/min)，采用Runge-Kutta法求解微分方程，得到表1,2所示參數(shù)下，輪齒1扭轉(zhuǎn)方向上振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分別如圖11,12所示。

圖11,12顯示，基于本文嚙合剛度算法的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與有限元法結(jié)果基本一致，誤差都小于1%。采用文獻(xiàn)[12]嚙合剛度算法的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，在單齒嚙合區(qū)與有限元法較為接近，但在雙齒嚙合區(qū)存在一定誤差。采用文獻(xiàn)[7]算法，齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的振動(dòng)幅值，在單雙齒嚙合區(qū)較其他三種方法明顯偏小。為了定量分析圖11,12中三種解析算法與有限元算法所求得的扭轉(zhuǎn)方向的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的誤差，利用差分法進(jìn)行量化，即把兩種參數(shù)下三種解析算法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與有限元法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)作差，再求取其RMS值，結(jié)果如圖13所示。

圖11 參數(shù)1下輪齒1扭轉(zhuǎn)方向上振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

圖12 參數(shù)2下輪齒1扭轉(zhuǎn)方向上振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

圖13 各種解析算法與有限元法的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)差分值

圖13顯示，在表1參數(shù)下，基于本文嚙合剛度算法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的差分誤差為文獻(xiàn)[12]算法求得的差分誤差的47.53%, 為文獻(xiàn)[7]的17.61%。在表2參數(shù)下，基于本文嚙合剛度算法所求得的齒輪1扭轉(zhuǎn)方向的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的差分誤差為文獻(xiàn)[12]的29.11%, 僅為文獻(xiàn)[7]的10.01%，以上結(jié)果說(shuō)明了基于本文算法減小了以往算法在動(dòng)力學(xué)分析中求解的誤差。

為了進(jìn)一步研究各種解析法對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，基于表1，2參數(shù)的各種剛度算法以及輸入力矩為2 000 Nm的輸入條件下，輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動(dòng)位移去均值RMS值隨輸入轉(zhuǎn)速上升變化如圖14，15所示。

圖14 參數(shù)1下輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動(dòng)位移去均值 RMS值隨速度上升變化圖

Fig.14 The relation between the mean removal RMS value of torsional vibration of gear 1 and the rising speed (parameter 1)

圖15 參數(shù)2下輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動(dòng)位移去均值RMS值隨速度上升變化圖

Fig.15 The relation between the mean removal RMS value of torsional vibration of gear 1 and the rising speed (parameter 2)

圖14,15顯示，在本文所求得嚙合剛度與基于有限元所求得剛度下，輪齒1旋轉(zhuǎn)方向振動(dòng)位移去均值RMS值隨轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)基本一致，只在幅值上有微小差異。在同轉(zhuǎn)速，參數(shù)1條件下，最大誤差小于8%；參數(shù)2條件下，最大誤差小于6%，但基于文獻(xiàn)[7]與[12]剛度所求得的隨轉(zhuǎn)速變化的RMS值與有限元法相比在幅值和趨勢(shì)上都存在著一定的誤差，且在各轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)存在不一致現(xiàn)象，未考慮齒根圓與基圓之間勢(shì)能的文獻(xiàn)[7]相對(duì)其他算法誤差最大。

以上結(jié)果表明，忽略或粗略考慮齒根圓與基圓之間的勢(shì)能，會(huì)對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)造成一定影響，為更精確計(jì)算嚙合齒對(duì)的振動(dòng)特性，應(yīng)根據(jù)不同參數(shù)條件下的嚙合齒對(duì)，精確考慮齒根圓與基圓之間的勢(shì)能，進(jìn)行嚙合剛度的計(jì)算。

4 結(jié) 論

(1) 本文基于齒根圓角在基圓內(nèi)與基圓外兩種情況(Rf>Rb和Rf

(2) 本文通過(guò)與傳統(tǒng)算法及有限元仿真結(jié)果對(duì)比，表明：本文提出的修正算法能更為精確地計(jì)算輪齒的時(shí)變嚙合剛度與有限元法所求得的嚙合剛度最大誤差小于2%，減小了以往解析法計(jì)算嚙合剛度的誤差，并適用于不同齒輪參數(shù)，具有更廣泛的適用性。

(3) 動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果顯示，不同的剛度算法會(huì)對(duì)分析結(jié)果造成一定影響，基于本文算法的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的結(jié)果誤差較此前算法至少降低了50%，為了更精確地分析齒對(duì)的嚙合振動(dòng)特性，應(yīng)基于齒根圓角圓心所在位置，精確考慮齒根圓與基圓之間的勢(shì)能。