黏彈性阻尼隔振系統動力分析與優化設計

蓋盼盼， 徐趙東， 呂令毅， 黃興淮， 戴 軍

(東南大學 土木工程學院，南京 210096)

基礎隔振(震)是目前技術最為成熟、應用最為廣泛的結構振動控制策略之一，隔振裝置的作用機制相當于高頻濾波器，只將一定范圍的低頻振動信號輸入上部結構中，從而降低結構的動力響應[1-3]?，F有的隔振裝置常用碟形彈簧、螺旋彈簧或者橡膠墊作為主要的工作原件，以提供足夠低的剛度，但隨之帶來隔振裝置的過大變形及隔振系統的不穩定性，尤其對于豎向隔振[4]。為此，各類阻尼部件被設置在隔振裝置內部提高隔振系統的整體性能。

賈俊峰等[5]通過設置菱形鋼板阻尼器提高隔震裝置的豎向阻尼性能，試驗驗證了裝置的有效性。趙亞敏等[6]采用不同碟形彈簧的組合，實現了裝置剛度降低和阻尼比提高的雙重目標。Xu等[7]設計了含有黏彈性阻尼器的多維隔減震支座并進行了振動臺實驗，試驗結果表明，設置的黏彈性阻尼器可以有效降低結構在共振頻率下的豎向加速度響應。朱俊濤[8]設計了含有磁流變彈性體的精密平臺復合隔振系統，實現了寬頻激勵下平臺響應的有效抑制。Fujita等[9]使用軟鋼阻尼器作為豎向隔振機制中的阻尼元件，振動臺試驗表明隔振結構的豎向加速度峰值得到有效的控制。Chae等[10]設計了含有磁流變阻尼器的隔振床臺，試驗結果表明該系統可以顯著減小振動幅值。

相比其他阻尼部件，黏彈性阻尼器不僅能夠提供充足的阻尼，還能貢獻一定的剛度，在隔振裝置設計中有著獨特的優勢。黏彈性材料的力學性能存在著顯著的頻率依賴性，進而對隔振系統的動力特性產生影響，但此影響并沒有得到足夠的重視，相關的研究成果較少。本文基于黏彈性材料的分數階導數開爾文模型，建立了考慮頻率依賴性的隔振系統單自由度模型，定義黏彈性影響系數確定了隔振系統的自振頻率和等效阻尼比，提出了通過優化彈性單元與黏彈性單元的剛度比來實現最優隔振的設計方法。

1 隔振系統理論模型

1.1 隔振裝置

本文所研究的隔振裝置由彈性單元和黏彈性單元組成，其構成的隔振系統力學模型如圖1(a)所示，其實際構造參照圖1(b)。隔振裝置在系統重力作用下會產生一定的靜位移，該位移與隔振系統的靜態頻率存在如下關系

(1)

式中，α為荷載安全系數，g為重力加速度，wo為隔振系統的靜態頻率。從中可以看出，靜態頻率越低，裝置產生的靜位移越大，由于構造形式的特點，圓筒式黏彈性阻尼器不能提供和螺旋彈簧相當的變形空間。所以，通過設計螺旋彈簧與圓筒黏彈性阻尼器的高度差，將靜位移分為兩部分Δ1和Δ2，前者為螺旋彈簧單獨產生的靜位移，后者為彈簧和圓筒阻尼器共同承擔的靜位移，與設計靜位移的關系表示如下

(2)

式中，κ為螺旋彈簧與黏彈性阻尼器的剛度比，決定了Δ1和Δ2如何分配，κ的取值取決于隔振目標。這樣的構造設計彌補了圓筒阻尼器的變形空間有限的缺陷，在實際工程中，當靜荷載施加完成，可通過擰上螺桿上的緊固螺栓進而實現動力荷載下螺旋彈簧和圓筒黏彈性阻尼器的共同變形，如圖1(b)所示。

1.2 數學模型建立

螺旋彈簧在動力荷載作用下產生豎向變形，產生的恢復力與位移幅值呈正比；而圓筒黏彈性阻尼器在動力荷載下產生剪切變形，其提供恢復力的頻域表達形式為

(a) 力學模型

(b) 裝置簡圖

(3)

(4)

(5)

αt=10-12(t-t0)/[525+(t-t0)]

(6)

式中，q0、q1和r為黏彈性材料的彈性系數、黏性系數和分數階的階數；αt、t和t0為溫度轉換系數、環境溫度和參考溫度；w為激勵頻率。從式(4)和(5)中看出，G1和η均是激勵頻率的函數，表現為典型的頻率依賴性，而q0可以看作是靜載下黏彈性材料的剪切儲能模量。為了后續分析的統一性，可以將螺旋彈簧等效為阻尼比為零的黏彈性阻尼器，根據力和位移的協調關系，并聯的多個黏彈性阻尼器又可以等效為新的黏彈性阻尼器，等效的材料參數可以寫為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

圖2 隔振系統的隔振效率曲線

2 頻率依賴性的影響

2.1 黏彈性影響系數

(12)

(13)

隔振系統的自振頻率和截止頻率需要求解如下非線性方程

(14)

式中，μ=w/w0為所求解的無量綱量。為了簡化方程(14)的求解，定義β=μ/φ來代替μ作為所求量代入式(14)得

(15)

(16)

將上式代入式(15)得到式(17)，將非線性方程的求解簡化為了關于β的一元二次方程的求解

(17)

2.2 數值驗證

為了驗證和分析所定義的黏彈性影響系數，選取文獻[11]中的黏彈性材料作為設計材料，其分數階導數開爾文模型的參數為q0=6.2×105Pa、q1=9×104Pa、r=0.5、t0=100 ℃和t=25 ℃，暫不考慮螺旋彈簧的貢獻，即κ=0。圖3為該黏彈性材料在不同加載頻率下力學性能指標。從圖中看出，G1和η均隨著激勵頻率的增大而明顯增大，同時發現η在低頻區域內具有較大的數值，可以提供足夠的阻尼比，提高隔振系統的整體穩定性。

圖3 不同加載頻率下黏彈性材料的力學指標

圖4 不同靜態名義頻率下黏彈性影響系數的解析解與近似解

為了進一步體現頻率依賴性的影響，圖5給出了考慮、部分考慮和不考慮頻率依賴性的隔振效率曲線。從圖中看出，G1的頻率依賴性會使隔振效率曲線的變寬，這與圖4給出結果一致；另一方面，η的頻率依賴性促使了共振峰值的降低，但此效應的實現是建立在G1的頻率依賴性的基礎上，其原因是η會隨著加載頻率的增大而增大，而共振峰值的大小是由共振頻率下的η所決定的，共振頻率則會受到G1的頻率依賴性所影響。

圖5 考慮與不考慮頻率依賴性時隔振效率曲線對比圖

3 剛度比優化分析

基于上述分析，可以認為黏彈性影響系數的大小實際上表征著G1和η隨激勵頻率變化的劇烈程度。從式(7)、(8)和(9)可以看出，在隔振系統的靜態頻率保持不變的前提下，當彈性單元與黏彈性單元的靜態剛度比κ增大時，G1和η的頻率依賴性減弱，即黏彈性影響系數減小，同時隔振系統的阻尼比也相應減??；當剛度比κ減小時，黏彈性影響系數和隔振系統的阻尼比則會增大。也就是說，剛度比κ的取值決定了隔振效率曲線的形狀以及峰值的大小。

本節討論輸入基底激勵為寬頻白噪聲的最優剛度比，隔振目標分為整體性目標和局部性目標。整體性目標是指隔振系統在全頻率帶下的隔振效果最優；局部性目標是指隔振效率曲線的峰值最小。本文，整體性目標的目標函數定義如下

(18)

(19)

圖6以目標函數值/目標最小值作為歸一化函數值，比較了不同剛度比κ取值下的整體目標函數和局部目標函數。從圖中可以看出，式(18)和式(19)給出了相近的最優剛度比的數值，為3～4左右，說明式(19)可以用來評估含有黏彈性單元的隔振裝置的整體隔振效率，同時該式的計算量很小，所用的參數均可以通過求解黏彈性影響系數獲得；在獲得整體隔振效率下最優剛度比的同時，也能給出局部隔振效率下最優剛度比。對于局部隔振效率，黏彈性阻尼器所占比例越大，峰值越小，但不可避免地帶來放大區域拓寬的缺陷，在某些特殊窄頻帶的激勵下，可以采用此種隔振目標函數。

圖6 不同剛度比下的整體目標函數和局部目標函數

4 結 論

本文基于分數階導數開爾文模型，建立了含有黏彈性單元的隔振系統單自由度模型；定義了黏彈性影響系數表征黏彈性材料頻率依賴性對隔振系統性能參數的影響程度；提出通過優化線性單元與黏彈性單元的剛度比實現隔振系統的較優隔振，得到如下結論：

(1) 相比于彈性隔振系統，加入的黏彈性單元顯著提高了隔振系統的阻尼比，增大了隔振系統的自振頻率，拓寬了隔振效率曲線中的放大區域。

(2) 黏彈性材料的剪切儲能模量的頻率依賴性是使隔振效率曲線的變寬的主要原因，損耗因子的頻率依賴性促使了曲線峰值的降低，但此效應的實現是建立在剪切儲能模量的頻率依賴性的基礎上。

(3) 彈性單元與黏彈性單元的剛度比決定了系統的隔振效率，當輸入激勵為寬頻白噪聲，剛度比取為3～4左右可以獲得較優的整體隔振效率。