微型諧振氣體傳感器多場耦合非線性振動特性分析

付曉瑞，黨亞輝，許立忠

(燕山大學 機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

微機電系統(Micro-Electro-Mechanical System，MEMS)主要包括微傳感器、微執行器和處理電路三部分[1-2]。微傳感器作為MEMS器件中的一個重要組成部分，在機器人、智能設備、醫療設備等高科技領域中得到廣泛應用，已成為國內外微機電系統領域中一個重要研究方向。傳感器根據其工作原理又可分為電容式、電阻式和諧振式三種，其中微諧振傳感器輸出的為不易失真的頻率信號，不受距離因素的影響，因此受到廣泛關注。微型諧振氣體傳感器尺寸小、結構簡單、靈敏度高、穩定性好，更符合氣體傳感器智能化、高靈敏化、集成化、微型化的發展方向。

近年來，國內外學者對微諧振氣體傳感器進行了大量的研究工作。20世紀60年代，ZnO半導體氣體傳感器研制成功并作為一種新興產品投入市場[3-4]。2001年，Lange等[5]開發了一種集成在芯片上的熱激勵共振氣體檢測系統，其中熱敏電阻用作諧振驅動器，惠斯通電橋用于懸臂梁振動的檢測。Fadel等[6]開發了用于檢測揮發性有機化合物(Volatile Organic Compound，VOC)的質量敏感性氣體傳感器，驗證了毫米尺寸和微米尺寸懸臂之間的噪聲在集成傳感器設計中不可忽略。Thomas等[7]開發了微懸臂梁陣列，進行亞微摩爾濃度下細菌病毒T5的定量質量測量實驗。李鵬等[8]設計了一種高分辨率壓阻檢測式硅微懸臂梁諧振式傳感器。張建等[9]研究了范德華力對硅基微懸臂梁抗黏附穩定性的影響。Zimmermann等[10]設計制作出用于檢測具有揮發性的有機氣體的高度集成氣體傳感器。李強等[11]利用旋轉涂膠的方法制備了酞菁銅薄膜材料，經研究發現酞菁銅具有良好的氣敏特性。劉麗麗等[12]研究了一種新型微氣體傳感器結構,并利用仿真軟件對該結構的傳感器進行了優化與相關研究。Xu等[13]引入氣體吸附的化學反應動力學方程，建立了機械-化學耦合動力學模型，研究了微型諧振氣體傳感器的時變特征。總之，國內外已經取得一系列有關微型諧振氣體傳感器的研究成果。然而，隨著諧振式傳感器尺寸的不斷減小，極板間的分子力、尺寸效應和熱應力對微諧振梁振動特性的影響變得不能忽略[14]，同時，諧振子處于多場耦合的環境下，因此對懸臂梁多場耦合振動的研究具有重要意義。目前，國內外對于考慮溫度影響的微型諧振氣體傳感器多場耦合動力學問題的研究較少。為此，本文建立微型諧振氣體傳感器的機械-化學-分子力-溫度四場耦合動力學方程，分析分子力和溫度對氣敏傳感器固有頻率、瞬時頻率以及時域動態響應的影響規律，為該種傳感器進一步的微型化和智能化奠定理論基礎。

1 動力學方程

本文采用的微諧振子多場耦合動力學模型，如圖1所示。分為底座和懸臂梁兩個部分，底座和懸臂梁由單晶硅制成，懸臂梁單晶硅部分厚度為h；懸臂梁表面蒸發鍍導電層，厚度為h2；在導電層表面利用旋轉法涂上厚為h1的酞菁銅敏感層。當傳感器的周圍環境內含有被測氣體時，被測氣體分子以速度K1附著在被敏感層上，同時被測氣體分子以速度K2從附著層脫落，最后與環境中氣體濃度達到平衡狀態，如圖1所示。K1為氣體附著在敏感層速度常數，K2為氣體脫離敏感層速度常數。

將梁的中軸線作x軸，將對稱面內與x軸垂直向上的方向取作y軸。由于采用的懸臂梁是細長梁，可以忽略其剪切變形和截面繞中性軸旋轉的慣性效應。梁只有在y軸方向的位移y(x,t)，底座和懸臂梁下表面距離為u。懸臂梁長為l，寬為b，密度為ρ，彈性模量為E，截面面積為S，作用在梁上沿y軸的單位長度動載荷為Δq(x,t)。

根據振動理論得到梁的動態彎曲振動方程[15]

(1)

Δq包括電場力和分子力，即

Δq=Δq0+Δqr

(2)

其中動態單位長度的范德華力為[16]

(3)

式中：A為Hamaker常數，A=10-19J。

真空下動態單位長度開西米爾力為

(4)

因位移變化引起單位長度動態電場力為

(5)

當將傳感器放在含有被測氣體環境中時，氣體吸附的化學反應動態平衡方程為

(6)

由敏感層中材料分子個數不變可知

ns+Δns=ns0

(7)

聯立式(6)和式(7)，并積分可得敏感層吸附質量密度變化表達式為

(8)

梁上各點的非線性位移應變關系為

(9)

y(x,y,t)=y(x,0,t)=y(x,t)

(10)

梁上的任一點的格林應變為

(11)

當考慮溫度載荷時，梁中沿軸向的正應力

σ=E(ε-αT)

(12)

式中：ε為格林應變；α為熱膨脹系數；T為溫度變化量。

將軸向的正應力沿y軸進行積分，求和得到軸向合力和合力矩

(13)

(14)

式中：hp≈h1+h2；hb=h；Eb=E,Ep為復合層彈性模量，由參考文獻[17]可得。

將式(13)和式(14)代入彎曲振動方程可得

(15)

將式(15)簡化為

(16)

其中，

F=bT(Epαphp+Ebαbhb)

考慮范德華力情況下動態方程為

(17)

考慮開西米爾力情況下動態方程為

(18)

令Δy=φ(x)q(t)代入式(8)并進行變換可得

(19)

(20)

其中，

ρl0=ρbh+ρtbht+ρs0bh1

解模態方程式(19)，得各階固有頻率為

(21)

同理得考慮開西米爾力時的各階固有頻率為

(22)

式中：λ1l=1.875;λ2l=4.694;λ3l=7.855;λ4l=10.996。

與之對應的各階模態函數為

φi(x)=cosλix-chλix+ηi(sinλix-shλix) (i=1,2,3,4,L)

(23)

其中，參數ηi定義為

式(20)舍去化學項得到

(24)

將q(t)展開成ε的冪級數如下

q=q0+εq1+ε2q2+L

(25)

將系統自由振動頻率ω展開成ε的冪級數如下

(26)

引入變量τ=ωt得

(27)

(28)

將τ=ωt代入式(28)中得

(29)

可得

(30)

令ε的同次冪項的系數化和為零，可得

(31a)

(31b)

(31c)

各方程的初始條件如下，A為廣義坐標初值

(32)

從零次近似方程式(31a)和初始條件式(32)解出

q0=Acosτ

(33)

將式(33)代入式(31b)，可得

(34)

為避免式(34)的解中有久期項，使cosτ系數等于零，可得

σ1=0

(35)

將式(32)和式(33)代入式(34)中，可得

(36)

將式(33)和式(36)代入(31c) ，可得

(37)

為避免次式(37)的解中有久期項，使cosτ的系數等于零，可得

(38)

將式(36)和式(38)代入式(37)，可得

(39)

將式(33)、式(36)和式(39)代入式(25)，可得

(40)

將式(35)和式(38)代入式(26)，可得

(41)

懸臂梁上任意一點某時刻的位移表達式為

y=y0+Δy=y0+φ(x)q(t)

(42)

式中：y0為初始靜態位移。

為求解瞬時頻率，可引入Hilbert變換，對任意的時間序列x(t)，它的Hilbert變換為

對q(t)做Hilbert變換，得到

(43)

將瞬時頻率定義為

(44)

可得到懸臂梁瞬時頻率表達式為

ω=(1+εC1+ε2C2)ω0

(45)

2 實例計算與分析

2.1 頻率特性

微型諧振氣體傳感器主要參數，如表1所示。待測乙醇氣體濃度ρg=0.000 1 kg/m3，利用式(21)、式(22)可得傳感器在考慮與不考慮分子力情況下各階固有頻率，如表2所示。其中ω1為不考慮分子力時固有頻率，ω2為考慮范德華力時固有頻率，ω3為考慮開西米爾力時固有頻率，η1為考慮范德華力時與不考慮分子力時相對偏差，η2為考慮開西米爾力時與不考慮分子力時相對偏差。將第一階固有頻率代入式(45)可以得到不同情況下的瞬時頻率響應曲線，如圖2所示。假設環境溫度30 ℃，比較考慮和不考慮熱應力情況下瞬時頻率與初始固有頻率差值隨時間t的變化，圖3(a)為考慮范德華力情況下的變化曲線，圖3(b)為考慮開西米爾力情況下的變化曲線，由表2、圖2和圖3可知：

表1 系統計算參數Tab.1 System parameters

表2 各階固有頻率Tab.2 The natural frequency of each order Hz

圖2 瞬時頻率響應曲線Fig.2 Instantaneous frequency response curve

圖3 瞬時頻率差變化曲線Fig.3 Difference of instantaneous frequency

(1)考慮分子力時，微型諧振氣體傳感器的固有頻率比不考慮分子力時要小，而且考慮開西米爾力的情況比考慮范德華力情況時固有頻率下降更為明顯。隨著階次的增加范德華力對傳感器的固有頻率的影響減弱，第一階時考慮范德華力時的相對偏差為1.76%，而考慮開西米爾力時相對偏差為2.94%。而第四階相對偏差分別為0.003 9%和0.004 3%，因此對于低階次固有頻率，分子力的影響不可忽略。

(2)傳感器的固有頻率隨著時間的延長，逐漸下降。這是由于諧振子不斷吸附酒精氣體分子而導致的諧振子質量不斷增加的結果。考慮分子力與不考慮分子力情況相比，諧振子固有頻率變化趨勢一致，但是每一時刻對應的固有頻率不同。

(3)考慮熱激勵時諧振子固有頻率隨時間下降的速度更快，頻率下降幅度更大。其中考慮開西米爾力情況下諧振子固有頻率受熱激勵的影響更為顯著。

2.2 時域分析

為了研究范德華力和開西米爾力對懸臂梁振動時域動態響應的影響，將懸臂梁頂端處分別將考慮范德華力和開西米爾力時的動態響應與不考慮分子力時的動態響應進行求差。圖4為動態響應差隨懸臂梁長度變化規律，圖5為動態響應差隨懸臂梁與基體間隙變化規律。可以得知：

圖4 響應差隨懸臂梁長度變化Fig.4 Difference of the vibrating amplitudes as length

(1) 分別考慮范德華力和考慮開西米爾力時的響應差隨著時間的增加，響應差幅值先增大后減小，表明兩種分子力對懸臂梁多場耦合時的時域動態響應的影響隨時間變化成周期性變化。

(2) 隨著懸臂梁長度增大，兩種情況的響應差的幅值增大，且當長度變化時響應差的幅值變化較大，因此，響應差對于懸臂梁長度的變化敏感。

(3) 隨著懸臂梁與基體的間隙變小時兩種情況的響應差幅值變大，且隨著初始間隙變化時響應差變化劇烈，因此對于初始間隙較小時，兩種分子力對懸臂梁多場耦合時的時域動態響應影響較大，不可忽略。

圖5 響應差隨懸臂梁間隙變化Fig.5 Difference of the vibrating amplitudes as gap

2.3 實驗分析

懸臂梁振動頻率是諧振式氣體傳感器的關鍵參數，直接決定了氣體傳感器的性能，因此，研究懸臂梁的頻率特性非常重要。為了驗證上述關于懸臂梁振動頻率理論分析的正確性，利用光刻、腐蝕以及鍍膜等其他微機械加工工藝，制作出懸臂梁諧振子以及微諧振氣體傳感器，如圖6 所示。利用自行設計研發的測試系統進行振動頻率測試。

圖6 微型諧振子及氣體傳感器Fig.6 Micro resonator and gas sensor

本實驗采用靜電激勵-電容檢測的方法進行振動頻率的測量，當靜電驅動的頻率接近懸臂梁固有頻率時，懸臂梁發生共振，此時位移響應出現極值，從而輸出的電壓信號也最大，通過觀察輸出的幅頻圖中極值點所對應的頻率來確定懸臂梁的固有頻率。靜電激勵-電容檢測電路如圖7所示，試驗現場照片如圖8所示，試驗結果如圖9所示。得到掃描頻率等于11.579 kHz時信號幅值最大，可以判斷諧振子固有頻率在11.579 kHz附近，表3為實驗結果與與理論分析結果的比較，由表3可以得知，考慮范德華力時，理論結果與實驗結果相對偏差為1.34%，考慮開西米爾力時相對偏差為1.67%，不考慮分子力時相對偏差為1.74%，從而驗證了理論分析的正確性，同時驗證了當傳感器尺寸足夠小時，分子力的影響不可忽略。

圖7 開環檢測系統Fig.7 Open loop detection system

圖8 實驗現場圖Fig.8 Experimental site map

圖9 開環掃頻曲線Fig.9 Open loop sweep curve表3 實驗結果與理論值比較Tab.3 Comparison of experimental results and theoretical values

理論值f0/Hz實驗值f1/Hz相對偏差δ/%考慮范德華力11 734.5011 5791.34考慮開西米爾力11 772.1311 5791.67不考慮分子力11 780.1711 5791.74

3 結 論

本文建立了微型諧振氣體傳感器機械-化學-分子力-熱應力四場耦合動力學方程，并利用多尺度法求出諧振子固有頻率表達式。研究了諧振子固有頻率隨分子力、吸附氣體濃度以及溫度的變化規律，分析了系統參數對懸臂梁時域響應差的影響，得知，當傳感器中諧振子尺寸足夠小時，分子力的影響不可忽略且當懸臂梁間隙較小、長度較大時，分子力對傳感器低階次固有頻率和時域響應的影響較大。利用微機械加工技術制造出的微型氣體傳感器，并研發出開環測試系統，進行了掃頻實驗，得到微傳感器的固有頻率，與分析結果接近，驗證了理論分析的正確性。