探究一元微積分中幾大定義及應用

（大連財經學院基礎教育學院 遼寧 大連 116600）

數學中的定義是人類智慧的結晶，是對實際問題的一種精確表達，它來源于實際問題并應用到實際生活當中，它講究嚴密性，完美性。正確理解并靈活運用數學中的每一個定義，是掌握數學基礎知識和運算技巧、也是學好數學這門學科的重要前提。極限、連續、導數與定積分是一元微分學中最基礎也是最重要的研究內容，掌握好它們的定義及定義的應用至關重要，下面主要以它們為研究對象，探討一下它們的定義及其應用實例。

1.極限定義及其應用

極限是微分學中非常重要的概念之一，它包括數列極限和函數極限，其中函數極限是高等數學教學的重點研究對象，它貫穿微積分教學的始終，因該說微積分中幾乎所有重要概念都是通過極限來定義的，如連續，導數，定積分，重積分，級數的斂散性等等的定義都與極限有關，因此學好極限對學好微積分是至關重要的，這也就要求我們無論是對極限的定義還是求解方法都要熟練掌握，從而為學好微積分的打下良好的理論基礎.首先我們先回顧一下數列極限的定義及其應用。

1.1 數列極限

定義：設數列{an}，若對任意的ε＞0，存在正整數N以及常數A，使當 n＞N時，恒有，則稱{an}的極限為 A(n→∞)，記為。

數列極限定義是學習極限理論時第一個接觸的概念，這種數學語言的定量定性定義，對于初學者來講很難理解，在教學中，為了達到更好的教學效果，在講解極限定義時，最好先講解一下極限的漫長發展史，介紹一些典型的例子，從而讓學生更好的理解極限的這種數學語言定義，并激發他們的學習興趣。數列極限定義的一個最主要的應用就是驗證極限的存在性，這也是教學中的難點，只有理解好定義，才能熟練掌握這種驗證方法。

分析：利用極限的定義驗證極限值，最關鍵就是要把定義理解好，在ε-N語言中，ε是預先給定的，主要是將N找到，而N的取值一般由ε決定。

1.2 函數極限定義

（1）x→x0時函數 f(x)的極限。

設函數f(x)和常數A，如果對于任意給定的ε＞0，必存在δ＞0，使當時，總有不等式成立，則稱常數A為x→x0時函數f(x)的極限，記為，或 f(x)→A(x→x0)。

（2）x→∞ 時函數 f(x)的極限。

設函數f(x)和常數A，如果對于任意給定的ε＞0，必存在 X＞0，使當時，總有不等式成立，則稱常數A為x→∞時函數f(x)的極限，記為，或 f(x)→A(x→∞)。

以上兩個定義均為函數的雙側極限定義，同理可以定義單側極限，分別為時的函數 f(x)的極限.接下來，我們看一下關于極限定義應用的一個典型例子。

例 1：設函數 f(x)在(-∞，+∞)上可導，并且滿足 f(0)≤0，證明：存在 ξ1∈(-∞,0)和 ξ2∈(0，+∞)，使得 f(ξ1)=2019=f(ξ2)。

分析：本題從問題出發，初步判定是零點存在問題，先構造函數，但直接可利用的條件只有一條，即條件不充足，所以從極限這個條件出發創造條件，從而應用零點存在定理即可得出想要的結論，具體如下。

證：令 F(x)=f(x)-2019，函數 f(x)在(-∞，+∞)上可導，所以 F(x)在(-∞，+∞)上連續，且 F(0)=f(0)-2019＜0，因，由極限的定義，必定存在 X＞0，當時，使得 f(x)＞2019，即 F(-X)=f(-X)-2019＞0，F(0)＜0。

由零點存在定理，存在 ξ1∈(-X，0)∈(-∞，0)，

使得 F(ξ1)=f(ξ1)-2019=0，即 f(ξ1)=2019，

同理，F(X)=f(X)-2019＞0，F(0)＜0 存在 ξ2∈(0，X)∈(0，+∞)，

使得 F(ξ2)=f(ξ2)-2019=0，即 f(ξ2)=2019。

所以存在 ξ1∈(-∞，0)和 ξ2∈(0，+∞)，使得 f(ξ1)=2019=f(ξ2)。

分析：函數f(x)是分段函數，在分段點處的極限通常采用單側極限定義進行討論，當左右極限都存在且相等時，可得出函數在該點極限存在且為同一個數，否則，極限不存在。

2.連續定義及其應用

連續是微積分中繼極限之后的一個重要研究對象，極限是它定義的一個基礎性條件.連續是可導，可微分的必要條件，也是極限存在，可積的充分條件，所以學好函數的連續問題，是學好高等數學至關重要的一個環節.關于函數連續的定義主要有以下幾種：

函數f(x)在點x0及其鄰域內有定義，則函數在點處連續的定義有如下四種互相等價的描述：

這個式子有三層含義：一是蘊含著函數f(x)在點x0有定義；二是表示極限存在；三是極限值等于函數值f(x0).這三層意思缺一不可，否則就是間斷點。

（3）在 x=x0處連續是指：既（左連續），又（右連續）。

這幾個定義是等價的，一般情況下，第一個定義在實際問題計算和討論時應用的較多，而證明函數的連續性問題時往往用第二個定義多些，分段函數在分段點處的連續性的討論與判定多數采用第三個定義，即討論左右連續與連續的關系。

例1：設函數f(x)在x=0處連續，且對x,y任意有關系式f(x+y)=f(x)+f(y)，

求證：f(x)在上連續(-∞，+∞)。

證明：對任意 x,y∈(-∞，+∞)有關系式 f(x+y)=f(x)+f(y)，令 x=y=0，則f(0)=2f(0)，即 f(0)=0.進而，任意 x∈(-∞，+∞)，作改變量△x，則有：，

所以 f(x)在(-∞，+∞)上連續。

例2：設函數f(x)是定義在[a,b]上的嚴格單調增加函數，對點x0∈(a,b)，極限存在，證明：函數f(x)在x0處連續。

證明：已知函數f(x)在[a,b]上的嚴格單調增加，根據極限保號性分別有：

當 x＜x0時，f(x)＜f(x0)，從而，

當 x＞x0時，f(x)＞f(x0)，從而，

所以函數f(x)在x0處連續。

解：（1）f(1)=12=1，又，右連續，(2x-1)=1=f(1)，左連續，所以函數f(x)在點x=1處連續。

（2）f(2)=22=4，又，右不連續，

3.導數定義及其應用

導數是微積分的重要研究對象，它是研究變化率的問題，有著非常廣泛的應用，為我們解決實際問題提供了很好的研究工具。

定義：設函數f(x)在點x0的某鄰域內有定義，當自變量在x0處取得改變量△x(△x≠0)時，函數相應地取得改變量△y=f(x0+△x)-f(x0)，如果極限存在，則稱函數f(x)在點x處0可導，記為。

若將變化趨勢x→△x改為相應的x→△x+(x→△x-)，則稱為相應的右導數（左導數），分別記為，且有函數在x0處可導的充要條件：f'(x0)存在，通常用該定理判斷分段函數在分段點處是否可導。

在微積分中，我們知道導數的應用非常廣泛，如利用導數可以研究函數的單調性、圖像的凹凸性、極值與最值等問題.除此之外導數定義本身的應用也是非常重要的，如下面的實例。

例1：已知f'(x0)=5，求解極限①；②。

分析：利用導數定義求相應的極限問題是導數定義應用的一個典型。

②分解變形

例 2：設函數 f(x)=(x2018-1)g(x)，其中 g(x)在 x=1處連續，且 g(1)=1，求f'(1)。

分析：因為此題不知道f(x)的解析式，所以不能利用先求導函數，再帶入1求f'(1)，故只能從導數定義出發進行求解。

解：根據導數定義可得：

例3：設函數 f(x)在點x0處連續，且在點x0處可導，證明：函數f(x)在點x0處可導，并求f'(x)。（第18屆大連市數學競賽）

（2）若 f(x0)=0，

綜上，函數f(x)在點x0處可導，且：

4.定積分的定義及其應用

定積分是積分學中一個重要研究對象，在實際問題中有著非常廣泛的應用，特別是在幾何學和物理學中，如可以求解不規則圖形的面積、旋轉體的體積、變力沿直線所作的功、水壓力、引力等實際問題，而定積分的定義本身也有一定的研究價值和應用。

定義：設函數f(x)在區間[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n-1個分點，記作 a=x0＜x1＜x2＜···＜xn-1＜xn=b。

這樣就把區間[a,b]任意分成個 n小區間[x0,x1],[x1,x2],···[xn-1,xn]，每個小區間的長度為△xi=xi-xi-1，其中i=1,2···n，在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點 ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作乘積 f(ξi)△xi(i=1,2···n)，在求和，令 λ=max{△x1,△x2,···△xn}，若當 λ→0 時，無論區間怎樣分割，無論ξi怎樣選取，若上述和式的極限都存在，則稱此極限值就是函數f(x)在區間[a,b]的定積分，記作：。

定積分研究的是一種特殊和式的極限問題，因此我們可以逆向思考，如果碰到類似這樣的和式極限問題，我們可以將其轉化為定積分求解，這也是微積分中求解極限的一個典型方法.利用定積分定義求解極限關鍵之處在于通過和式結構確定定積分的被積函數和積分上下限，因此要求學生們對定積分的定義要理解透徹，這樣才能夠準確地求解出極限來。

解：首先將上述和式轉化為黎曼和式，即定積分定義中和式結構。

分析：相比較，此題的難度大些，但處理方法同上，首先將給出的和式變形再進行分析求解。

這里的和式，可以看成是函數sinx在區間[1,b]上按分劃，即：

綜上，我們通過對一元微積分中重要概念的研究和典型例子分析可知，在學習微積分的過程中，對于每個新接觸的概念定義，我們不僅要掌握它的一般形式，更應懂得它的內涵，將其理解透徹，只有這樣，才能掌握怎樣應用定義去解決相應的問題的方法，并舉一反三，從而學好微積分，也為后續的學習打下良好的基礎。