雙關(guān)節(jié)機(jī)械手軌跡跟蹤控制方法研究

北京信息科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，北京 100192

一、引言

雙關(guān)節(jié)機(jī)械手主要由兩個(gè)關(guān)節(jié)共同操作，通過抓取、移動(dòng)物體來完成指定的各項(xiàng)工作。雙關(guān)節(jié)機(jī)械手可靠性高、靈活性強(qiáng)、運(yùn)行速度快、處理能力強(qiáng)，極大地提高勞動(dòng)生產(chǎn)率。因此，將模糊理論、魯棒控制與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制方法，提出基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的雙關(guān)節(jié)機(jī)械手魯棒控制方法，具體是利用魯棒控制消除系統(tǒng)不確定性的影響，并通過PD控制來實(shí)現(xiàn)軌跡的跟蹤與控制，魯棒控制器的不確定上界由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近特點(diǎn)來逼近，在魯棒控制器的不確定性上界附近，模糊邏輯控制實(shí)現(xiàn)了魯棒控制器有界層寬度的自動(dòng)調(diào)整，實(shí)現(xiàn)了雙關(guān)節(jié)機(jī)械手高精度軌跡跟蹤控制，具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。

二、動(dòng)力學(xué)模型

拉格朗日函數(shù)L均可定義為其總的動(dòng)能K與總的勢能P之差，即：

其中，K—系統(tǒng)動(dòng)能；

P—總勢能；

T—作用于系統(tǒng)的廣義力向量，T=[t1t2……tn]T∈Rn。

一般可以采用兩種方法對剛性機(jī)械手?jǐn)?shù)學(xué)模型進(jìn)行構(gòu)建：

1、n自由度剛性連桿機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

其中，q—雙關(guān)節(jié)機(jī)械手關(guān)節(jié)的位置矢量；

—雙關(guān)節(jié)機(jī)械手關(guān)節(jié)的速度矢量；

˙—雙關(guān)節(jié)機(jī)械手關(guān)節(jié)的加速度矢量；

M(q) —n×n階對稱正定的慣量矩陣；

C(˙) —n×n階離心力和哥氏力矩陣；

G(q) —n×1 階重力矢量；

τ—關(guān)節(jié)的控制矩陣；

d—位置的外部干擾和建模動(dòng)態(tài)向量。

2、n自由度旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)剛性機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

其中，F(xiàn)d—n×n對角動(dòng)態(tài)摩擦力矩陣；

Fs() —n×1階的靜態(tài)摩擦力向量。

三、基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒控制

1、問題描述

假設(shè)已經(jīng)熟知機(jī)械手模型的相關(guān)知識(shí)，在無外界因素干擾的情況下，設(shè)計(jì)控制力矩為：

其中，e—位置跟蹤誤差，e=q-qd；

—速度跟蹤誤差，

kv—微分控制器增益矩陣；

kp—微分控制器增益比例。

將式（5）代入到（3），推導(dǎo)得出：

可以發(fā)現(xiàn)，公式（6）中，當(dāng)對增益矩陣kv和kp進(jìn)行合理的選擇控制時(shí)，能夠使跟蹤誤差漸近收斂到0。計(jì)算轉(zhuǎn)矩控制器就是對控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)。

在式（5）中，如果kp和kv為正定對稱的常數(shù)矩陣，那么就能夠輕易的證明系統(tǒng)具有全局漸近穩(wěn)定性。在已經(jīng)熟知機(jī)械手模型相關(guān)知識(shí)的情況下，計(jì)算轉(zhuǎn)矩控制具有適用性。對于雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)，M(q)、和G(q)這一類參數(shù)矩陣可以分為標(biāo)稱模型參數(shù)矩陣和模型誤差矩陣。其中，標(biāo)稱模型參數(shù)矩陣是模型誤差矩陣為G(q)，表示參數(shù)的不確定性。各部分滿足如下關(guān)系：

在實(shí)踐應(yīng)用中，由于外在環(huán)境的影響，各種干擾將不可避免。針對這種情況，對控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)：

由式（3）、式（7）到式（10）可推出系統(tǒng)的誤差動(dòng)態(tài)方程：

其中，Δf—由于不確定參數(shù)而引起的建模誤差；

Δu—系統(tǒng)的建模誤差以及外部擾動(dòng)的誤差；

u—非線性魯棒補(bǔ)償器，主要是用來增強(qiáng)系統(tǒng)對外部干擾的魯棒性。

2、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器設(shè)計(jì)

考慮摩擦以及外部擾動(dòng)時(shí)的n自由度剛性機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型：

其中，M(q) —機(jī)械手關(guān)節(jié)的質(zhì)量；

C(˙) —機(jī)械手臂桿長度；

G(q) —機(jī)械手關(guān)節(jié)慣量；

τ—關(guān)節(jié)的控制矩陣；

d—位置的建模動(dòng)態(tài)向量和外部干擾；

Fd—摩擦項(xiàng)。

當(dāng)不考慮外部環(huán)境干擾以及系統(tǒng)的不確定性因素時(shí)，設(shè)計(jì)控制力矩為：

其中，q—雙關(guān)節(jié)機(jī)械手期望軌跡的關(guān)節(jié)位置矢量；

—雙關(guān)節(jié)機(jī)械手期望軌跡的關(guān)節(jié)速度矢量；

˙—雙關(guān)節(jié)機(jī)械手期望軌跡的關(guān)節(jié)加速度矢量；

e—位置跟蹤誤差，e=q-qd；

—速度跟蹤誤差，

Kv—微分控制器增益矩陣；

Kp—微分控制器增益比例。

將式（14）和式（15）代入式（13）中，經(jīng)過幾步直接運(yùn)算后可得如下的誤差方程：

如前文動(dòng)力學(xué)模型中所述，難以確定實(shí)際雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的不確定上界，并且一般保守估計(jì)方法將降低控制系統(tǒng)的精度。魯棒控制器的不確定上界由RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的萬能逼近特點(diǎn)來逼近，在魯棒控制器的不確定性上界附近。因此，借助RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的射儀特征來分析補(bǔ)償控制器（17）的不確定上界即：

其中，G(q) —機(jī)械手關(guān)節(jié)慣量 ；

M(q) —機(jī)械手關(guān)節(jié)的質(zhì)量；

—神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量。

則基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒補(bǔ)償控制器為：

其中，η—自適應(yīng)率。

采用max-min方法推導(dǎo)模糊控制器，采用加權(quán)平均判斷方法解決模糊化問題。基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒補(bǔ)償控制器可表示為：

其中，h—有界層的寬度。

四、仿真分析

1、機(jī)械手模型建立

采用S函數(shù)構(gòu)建雙關(guān)節(jié)機(jī)械手模型，為雙關(guān)節(jié)機(jī)械手軌跡跟蹤控制奠定基礎(chǔ)。S函數(shù)程序步驟如下：

（1）初始化函數(shù)（flag=0）

確定雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的連續(xù)狀態(tài)變量為q1、q2、在程序中參數(shù)用NumConStates=4表示，離散狀態(tài)變量在程序中為0。雙關(guān)節(jié)機(jī)械手輸入的變量設(shè)置主要以涉及到的算法為依據(jù)，算法不同，輸入的變量及個(gè)數(shù)也明顯不同。根據(jù)本文的算法設(shè)計(jì)，雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的輸出變量分別是兩個(gè)關(guān)節(jié)的位置和速度。

（2）根據(jù)雙關(guān)節(jié)機(jī)械手系統(tǒng)內(nèi)部的相互關(guān)系，可以得到狀態(tài)變量（flag=1），反映在程序中則是sys=mdlDerivatives(t, x, u)環(huán)節(jié)，具體為：

其中，x(2)、x(4)分別代表兩個(gè)關(guān)節(jié)的速度；inv(M)*(tol'-C*dq-G-told)代表兩個(gè)關(guān)節(jié)的加速度。

（3）計(jì)算系統(tǒng)的輸出（flag=3）

機(jī)械臂的兩關(guān)節(jié)位置和速度為系統(tǒng)的輸出，狀態(tài)變量x(1)、x(2)、x(3)和x(4)是其在程序中的具體表現(xiàn)。

2、參數(shù)設(shè)置

3、仿真結(jié)果分析

雙關(guān)節(jié)機(jī)械手軌跡跟蹤控制中，模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器作用下的關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的位置跟蹤曲線見圖2所示。其中，期望運(yùn)動(dòng)軌跡用紅色線條標(biāo)記，實(shí)際跟蹤軌跡用藍(lán)色標(biāo)注。

為了對基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器的效果進(jìn)行分析，針對具有摩擦力和外部干擾等因素影響的雙關(guān)節(jié)機(jī)械手僅采用PD控制進(jìn)行跟蹤效果仿真，具體結(jié)果見圖3所示。

進(jìn)一步采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器的兩關(guān)節(jié)控制對雙關(guān)節(jié)機(jī)械手的兩個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行輸入，具體結(jié)果見圖4所示。

通過圖2和圖4的仿真結(jié)果可以看出，基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒控制器具有更好的跟蹤性能和抗干擾性能，能夠?qū)崿F(xiàn)雙關(guān)節(jié)機(jī)械手高精度跟蹤，特別是對于關(guān)節(jié)2來說，跟蹤性能更加顯著。

結(jié)合圖3和圖4的仿真結(jié)果可知，相比于單個(gè)的PD控制器，基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制器跟蹤性能更好，誤差較小，特別是關(guān)節(jié)2的跟蹤性能尤其顯著。基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒控制方法不需要事先知道機(jī)械手不確定性的上界，也不需要對慣性矩陣進(jìn)行逆運(yùn)算，這是它的最大優(yōu)點(diǎn)，也是雙關(guān)節(jié)機(jī)械手實(shí)現(xiàn)高精度軌跡跟蹤的關(guān)鍵。

五、結(jié)論

文章以雙關(guān)節(jié)機(jī)械手為例，結(jié)合機(jī)械手的應(yīng)用優(yōu)勢和存在的不足，將各種不確定因素對系統(tǒng)的影響加以考慮，提出了基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制方法。具體是將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入到魯棒控制中以補(bǔ)償建模誤差和外部干擾。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對魯棒控制器不確定性的上界進(jìn)行研究和逼近，模糊邏輯控制用于自動(dòng)調(diào)整魯棒控制器的有界層寬度。仿真結(jié)果表明，基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒控制方法可以幫助雙關(guān)節(jié)機(jī)械手實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡跟蹤，驗(yàn)證了基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒控制算法具有很好的跟蹤性能，具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。