基于Wigner-Ville分布的混沌信號時頻特性研究

楊海博，劉子驁，李琳

（中國電子科技集團公司第二十研究所，西安 710068）

0 引言

研究發現，混沌現象普遍存在于自然界之中，混沌運動是許多非線性系統的典型行為?；煦缫云鋼碛械闹T多天然優良特性而倍受關注，并在生物學、物理學、氣象學、電子學、信息科學、地質學、經濟學等眾多領域中得到了廣泛和成功的應用。

自從混沌理論在微弱信號檢測方面進行嘗試以來[1]，國內外很多學者投入到該領域的研究之中，使得這種檢測理論得到了不斷完善和發展。文獻 2提出了混沌運動具有確定性運動所沒有的幾何和統計特征。文獻3利用人工神經網絡方法研究了混沌噪聲背景下目標微弱信號的提取。文獻4給出了一種新方法，它運用Duffing諧波振蕩器進行分析并用它對頻率進行高精度的估計。文獻5新三維自治混沌系統及其動力學性質研究。但至今為止，對于混沌信號的時頻特性尚缺乏系統的研究，導致混沌信號和噪聲的分離“舉步維艱”。

Wigner-Ville分布是分析時變信號的重要工具[6]，常常被應用于時變信號的處理，具有高分辨率、能量集中性和滿足時頻邊緣特性等許多優良特性。本文對混沌信號進行Wigner-Ville處理，研究混沌信號頻率能量分布。最后按頻率能量分布將混沌信號分為了三種類型。為選用有針對性的分離混沌信號和噪聲的方法鑒定了理論基礎。

1 數學模型

人們提出了大量的混沌數學模型，每一個混沌模型都有自己的“個性”，而應用于不同方面。針對本文研究目的，僅介紹 Lorenz、Henon、Rossler三種混沌數學模型。

圖1 混沌吸引子

1.1 Henon模型

1964年，法國天文學家Henon從研究球狀星團以及洛倫茲吸引子中得到啟發而被提出，Henon數學模型一般表達式如下：

其中，a、b為常數。

當a、b分別取值為 1.4、0.3時，其圖像呈現混沌狀態，其圖像如圖1（a）。

1.2 Lorenz模型

氣象學家洛倫茲在20世紀60年代初期，對于一個強化的氣候模型進行計算機實驗發現，該數學模型形式如下：

其中，r、σ、b為常數。

當r、σ、b分別取值為 16、4、45.92時，其圖像呈現混沌狀態，其圖像如圖1（b）。

1.3 Rossler模型

Rossler吸引子由Rossler于1976年提出。該數學模型形式如下：

其中，d、e、f為常數。

當d、e、f分別取值為0.2、0.2、5時，其圖像呈現混沌狀態，其圖像如圖1（c）。

2 Wigner-Ville分布

時頻分析是一類描述信號譜成分隨時間變化的研究方法，其以某種方式同時描述信號在時間和頻率的能量或者密度，最終目的是建立一種分布，以便能在時間上表示信號頻率的能量或者強度。

Wigner-Ville分布是時頻分析的重要理論，其具有很多優良的性質。對于信號x(t)，其Wigner-Ville分布（簡稱為WVD）定義為：

信號x(t)的瞬時相關函數表示為：

從式（5）可以看出，信號x(t)的WVD分布是其瞬時相關函數r(t,τ)的傅利葉變換。

則式（4）也可以表示為：

對式（4）兩邊進行積分則：

以上計算可以看出，即可得到WVDx(t,ω)在某一頻率段內對頻率?進行積分，結果為信號在t時刻的瞬時能量。

設信號x(t)的傅利葉變換為X(ω)，則WVD分布也可以用解析信號的頻譜表示如下：

對于式（6）兩邊同時對時間t進行積分：

以上計算可以看出，信號x(t)的WVD變換WVDx(t,?)在某一頻率段內對頻率t進行積分，結果為信號在?時刻的瞬時能量。

綜上分析表明，WVD變換是把過去某一時間信號乘以未來某一時間信號，再以時間差為自變量對兩個信號的乘積求傅利葉變換得到?？梢钥闯觯琖VD不受短時傅利葉算法中時頻精度互相矛盾的限制，最大程度地利用整個時域信號，具有高度的時頻聚焦性能。對于單個信號而言，WVD在二維域中能準確地反映信號能量隨時間和頻率變化的情況。單頻周期信號的WVD分布如圖2，噪聲的WVD分布如圖3。

圖2 周期信號時頻分布

圖3 噪聲時頻分布

3 混沌信號時頻特性

混沌信號頻譜是時變的，通過傅利葉變換而得到的頻譜不易分辨混沌信號頻率分布特性，這為從噪聲背景分離混沌信號帶來了極大困難。

WVD是時頻分析中的重要理論，具有良好的集聚性，可以清晰的觀察到信號頻率能量在時間軸上的分布。對于混沌信號進行WVD變換，便可以得到混沌信號頻率能量在時間軸上的分布，分析各個混沌信號頻率能量分布規律，研究混沌信號時頻分布特性。

本文有針對性的選擇 Henon、Lorenz、Rossler三種混沌吸引子，按照式（1）、式（2）、式（3）取值，分別產生混沌時間序列 6000個點，去掉前面5000個非個點，利用式（4）對剩下1000個點進行WVD變換，并進行仿真分析。

Henon三維混沌吸引子通過WVD變換，時頻分布如圖4。

圖4 Henon吸引子的時頻分布

由圖4可以看出，Henon吸引子頻率能量幾乎布滿整個頻率，雜亂無章，無任何規律可循。對比圖2，可以看出Henon吸引子頻率能量分布于噪聲極為相似，所以設置數字濾波器難以分離混沌信號與噪聲。

Lorenz三維混沌吸引子通過WVD變換，時頻分布如圖5。

圖5 Lorenz吸引子的時頻分布

由圖5可以看出，Lorenz吸引子頻率能量主要分布在0～0.05Hz頻域內的低頻帶，而且0 Hz開始到0.05Hz逐步遞減，消失的邊緣處頻率能量零散的分布，直到徹底消失?？梢栽O置數字濾波器，濾除頻帶以外的噪聲，從而分離混沌信號與噪聲。

Rossler三維混沌吸引子通過WVD變換，時頻分布如圖6。

圖6 Rossler吸引子的時頻分布

由圖6可以看出，Rossler吸引子頻率能量分布主要分布在0～0.05Hz頻域內的低頻帶，主要集中于一條頻率線上，并向兩邊逐漸減弱，而且零散的分布。此外，0～0.05Hz頻域以外存在極為少量的能量點。對比圖1，可以看出Rossler吸引子頻率能量分布與周期信號類似?？梢栽O置數字濾波器，濾除頻帶以外的噪聲，從而分離混沌信號與噪聲。

通過以上分析可以看出圖4頻帶為寬帶，與圖3噪聲信號的WVD分布極為相似，可以將其稱之為寬帶噪聲型混沌信號；圖5和圖6混沌信號的頻率能量主要集中在0～0.05Hz頻率內，即其為低頻窄帶，此外圖5頻率能量沿0～0.05Hz頻域逐漸減弱，可以將其稱之為低頻窄帶漸近型混沌信號；圖6能量主要集中在一個頻率線上，可以將其稱之為低頻窄帶類周期型混沌信號。

4 結論

本文通過Wigner-Ville時頻分析法，研究了三種混沌信號時頻特性，證明了并非所有的混沌信號都具有窄帶性。按頻率能量分布，將混沌信號分為三種，分別為：低頻窄帶漸近型、低頻窄帶類周期型、寬帶類噪聲型。通過對混沌信號頻率能量的分類，給出了混沌信息能量的分布情況，為后續混沌信號的濾波提供基礎。