對一道物理難題的再深究

鄧 峰

(北京理工大學附屬中學,北京 100089)

筆者最近有幸看到《200道物理學難題》里的第85題．本文在原書答案的基礎上,進行深入細致地再探究,有著自己的研究思路和著手點,算是對此問題的補充研究,權當拋磚引玉,跟同仁交流．

題目.兩個小孩站在一個開闊、傾斜的山坡上,山坡可以看成一個平坦的斜面．地面上結了足夠的冰,只要小孩受到一點點的作用力就會以恒定的速度滑向山下．

圖1

如圖1所示,一個小孩與另外一個小孩玩,他背靠在一顆大樹上以v0=1 m/s的速度水平推了對方一下．后者滑下了山坡,此間其速度的大小和方向均發生了變化．如果忽略空氣阻力并假定摩擦力與速度無關,被推的小孩最終的速度為多大?

1 難點分析

有學生審題時對小孩是否受摩擦力產生了疑惑,認為既然是恒定的速度滑下,怎么會有小孩速度的大小和方向均發生了變化呢?本題分兩段,前一段給出摩擦力與速度無關的條件,說明摩擦力大小恒定,但方向當然是跟相對運動反向了．學生誤以為摩擦力大小,方向都恒定,是受“恒定速度”這句話的干擾,很多學生就是在這陷進了思維怪圈而認為此題出錯了．有學生沒有認真思考題目的條件,就誤以為是類平拋運動,分析此題可以看出下滑運動受到的其實不是恒定不變的合力,所以不可能做類平拋運動．另有一些物理基礎好的學生和教師們試圖求出小孩下滑任意時刻的速度,試圖求出小孩的運動軌跡方程,在求解的時候必然會引入時間t,將位置、速度和受力分別表示成時間的函數．然而在計算時會發現,其實這是一個用初等方法無法求解的曲線運動．

2 巧妙解答過程與點評

圖2

如圖2,在斜面上建立直角坐標,其中x方向與速度v0同向,垂直于x方向沿傾斜的山坡向下為y方向．其中f1=mgsina為重力沿斜坡向下的分力,f2為小孩所受的摩擦力．由題設勻速運動條件可得到f1和f2必定大小相等,即f1=f2．

因為小孩受到的摩擦力f2雖大小保持恒定,且f2≡f1,但小孩做曲線運動時f2的方向時刻變化,故其所受到的合外力大小和方向必時刻變化,可知小孩所做的運動不是類平拋運動．

設某時刻速度方向和x軸的夾角為θ,根據牛頓第二定律可得

則在速度方向v方向上

(1)

和y方向上

(2)

聯立(1)、(2)式可得

即dv+dvy=0,可知

d(v+vy)=0,

這說明v+vy=常數=v0.

由(1)式可以知道:小孩運動合速度v的減小與1-sinθ成正比,在0～90°范圍這是一個單調減函數,最終會有sinθ=1,合速度不再變化,而且最終合速度v減小到最小值vmin,此時小孩沿y方向的加速度為0,小孩最終的合速度方向將沿斜面向下,這時便有v=vmin=vymax,所以

這種解法十分巧妙,也很簡潔,通過計算速度大小和沿斜面向下的分速度的關系,發現二者之和是個定值,從而很方便地導出了末速度的大小．

3 再度深入探究

下面分步驟對這個模型做深入的探究,并求出小孩下滑的軌跡方程．

(1) 根據牛頓第二定律可得

(3)

其中ρ為曲線軌跡的曲率半徑．

(2) 根據數學的曲率半徑特點可有

(4)

式中s為軌道弧長.

將(4)式代入(3)式可有

(5)

其中

(6)

將(6)式代入(5)式可有

則

(7)

(3) 對(1)式兩邊同乘以dθ,可有

(8)

(4) 對(8)式兩邊積分,并考慮初始條件θ=0時v=v0,可得

解得

(9)

(5) 將(9)式代入(5)式可得

則

(10)

對(10)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動的軌跡方程s(θ)．

(11)

對(11)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動的軌跡的參數方程x(θ)．

(7) dy=dssinθ=

(12)

對(12)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動軌跡的參數方程y(θ)．

(8) 再將(9)式代入(7)式,可有

得

(13)

對(13)式兩邊積分就可以得到下滑小孩運動的角位移方程θ(t)．

以上分析可以得到下滑小孩的軌跡及其參數方程和角位移方程,研究的比較全面深入,只是積分很有難度,需要計算機軟件進行解析解和數值解的分析,因為筆者的計算物理的能力有限,還需有這方面能力的教師協助解決,本人不勝感激．