對光電門測量的“動能增加量”及“加速度”的誤差討論

周 勇 鄭 丹

(深圳實驗學校高中部,廣東 深圳 518055)

1 問題的引入

例1.(山東省青島市2015屆高三下學期一模考試·理綜物理第21題)某實驗小組利用圖1所示的實驗裝置驗證機械能守恒定律．小鋼球自由下落過程中,計時裝置測出小鋼球先后通過光電門A、B的時間分別為tA、tB,用小鋼球通過光電門A、B的平均速度表示鋼球球心通過光電門的瞬時速度．測出兩光電門間的距離為h,當地的重力加速度為g,小鋼球所受空氣阻力可忽略不計．

圖1

原題第3問的部分內容如下.

(3)實驗中小鋼球通過光電門的平均速度(選填“大于”或“小于”)小鋼球球心通過光電門時的瞬時速度,導致動能增加量ΔEk總是稍________(選填“大于”或“小于”)重力勢能減少量ΔEp,且隨小鋼球下落起始高度的增加,誤差越來越________(選填“大”或“小”)．

試題所給的參考答案為:小于、小于、大．

原試題沒有給出詳細解答,網上流傳的解析如下:由于小鋼球做勻加速直線運動,平均速度等于中間時刻的速度,中間時刻的速度小于中間位置的速度,因此平均速度小于小鋼球球心通過光電門時的瞬時速度,從而導致動能增加量ΔEk小于重力勢能減少量ΔEp．

根據題意,如果只考慮光電門測速原理而不考慮其他因素的影響,那么小球重力勢能的減少量ΔEp的測量值應該是準確的,并且等于小球動能增加量的真實值ΔEk真.上述解析其實只說明了通過光電門測得的小球在某個狀態的速度比實際值小,從而導致小球在某個狀態的動能偏小.而題目中設問的“動能增加量ΔEk”是指末狀態動能測量值與初狀態動能測量值之差ΔEk測,它與某個狀態的動能并不是一個概念．因任意兩個狀態通過光電門測得的動能都比實際值偏小,所以由此并不能很直接的看出“動能增加量ΔEk”的誤差情況如何.下面我們進一步分析說明“動能增加量ΔEk”的誤差情況到底如何．

2 分析與說明

我們知道,光電門以及與其配合使用的滑塊或擋光片都有一定的寬度,此時不能視為質點,但只要我們研究的物體不發生形變,那么其精確位置可以用該物體上任何一個確定的點的位置來代表．以圖1(甲)中的裝置為例,顯然,最能方便的代表光電門精確位置的是光電門的發光孔所在的位置,最能方便的代表小球精確位置的是球心所在的位置．所以,小球通過光電門時的瞬時速度其實就是指其球心剛好運動到光電門發光孔位置時的速度．又由于小球通過光電門的過程中所發生的位移大小等于小球的直徑,那么其球心運動到發光孔處的位置剛好就是它在這個過程中所通過的位移的中點,因此,小球通過光電門時的瞬時速度v其實就是它通過光電門過程中位移中點處的瞬時速度．而我們通過小球直徑d除以擋光時間Δt得到的速度v測得到的是小球通過光電門過程中的平均速度,因小球做勻變速直線運動,此時它又等于小球通過光電門這個過程的始末速度的算術平均值．

2.1 理論推導

圖2

如圖2所示,設小球做勻加速直線運動的加速度大小為a,其最下端靠近光電門A的發光孔(即擋光開始)時的速度為vA1,最上端離開(即擋光結束)時光電門A的發光孔時的速度為vA2,其最下端靠近光電門B的發光孔時的速度為vB1,最上端離開光電門B的發光孔時的速度為vB2．設滑塊經過光電門A和B時的瞬時速度的真實值分別為vA和vB,測量值分別為vA′和vB′,則有

此過程中滑塊“動能增加量”的真實值為

測量值為

兩式相減,可得

設滑塊(擋光片)經過光電門A和光電門B所經歷的時間分別為ΔtA和ΔtB,則有

顯然,ΔtA>ΔtB,可得ΔEk測>ΔEk真,而ΔEp=ΔEk真,故用小鋼球通過光電門的平均速度代替其球心通過光電門時的瞬時速度,將導致其動能增加量的測量值ΔEk測總是稍“大于”重力勢能減少量ΔEp,而并非答案所給的“小于”．

通過解析的方法來分析“隨著小鋼球下落起始高度的增加,誤差情況如何變化”會比較繁瑣,為了直觀地說明此問題,筆者采用了數值作圖的方法來加以說明．

2.2 數值作圖

若取小球質量m=20 g,直徑d=1.5 cm,光電門A、B之間的距離L=0.45 m,設小球釋放時其下邊緣到光電門A的發光孔的高度為h,忽略其他因素,則有

ΔEp=mgL,

取g=9.8 m/s2,基于上述原理,當小球釋放高度h取不同值時,通過Excel計算出對應數據并作出小球動能增加量ΔEk測和其重力勢能減少量ΔEp(等于ΔEk真)隨h變化的圖線,如圖3所示．從圖3也可看出,小球動能增加量的測量值ΔEk測“大于”重力勢能減少量ΔEp,并且隨著小鋼球下落起始高度的增加,誤差越來越 “小”,而并非答案所給的誤差越來越“大”．

圖3

綜上所述,原題第(3)問所給的參考答案只有第一空是對的,后面兩空都不對.

3 拓展與應用

由光電門測量的速度進而計算出來的常見物理量,除了(例1)中的動能增加量ΔEk,還有大家熟悉的“加速度a”．

取小球直徑d=1.5 cm,光電門A、B之間的距離L=0.45 m,當小球釋放高度h取不同值時,通過Excel計算出對應數據并作圖,如圖4所示．

圖4

圖中a是小球下落時加速度的真實值,a1是依據位移公式得到的加速度測量值;a2是依據加速度定義式得到的加速度測量值,其中的tAB取的是小球從靠近光電門A的發光孔(即開始擋光時刻)到靠近光電門B的發光孔之間的時間間隔;a3也是依據加速度定義式得到的加速度測量值,但其中的tAB取的是小球從離開光電門A的發光孔(即擋光結束時刻)到離開光電門B的發光孔之間的時間間隔．

由圖4可見,用光電門測量勻變速直線運動物體的加速度時,如果僅考慮擋光片寬度的影響,在計算方法和時間間隔的取法不同時,加速度測量值的誤差情況有所不同,但是隨著小球釋放高度的增加,加速度的測量誤差都會越來越小,并且在釋放高度一定時,根據位移公式得到的加速度測量值比根據加速度定義式得到的加速度測量值的誤差要小．

4 結語

考慮擋光片寬度的影響時,做勻變速直線運動物體的“動能增加量”以及“加速度”的測量值的誤差情況一般比較復雜.筆者認為該誤差分析可以以思考題的形式留給學生進行自主探究,不宜以考試題的形式來呈現,不當之處,敬請批評指正!