一道動量守恒題中速度最大值的探討

吳瓊煙

(莆田第十中學，福建 莆田 351146)

圖1

一位學生拿來練習冊上的題目,對標準答案中的解答表示質疑．如圖1中光滑槽質量為M,靜止在光滑水平面上,其內表面為一個半徑為R的半球面,質量為m的小球,被細線吊住恰位于槽的邊緣處,如將懸繩燒斷,小球的最大速度是多少?槽所能發生的最大位移是多少?

學生表示疑惑:小球快到槽底時,雖然水平速度vx還在繼續增加,但垂直速度vy卻減小,所以合速度未必一直增加,因此小球不是在槽底取得最大速度．

教師覺得學生鉆牛角尖了,明明在槽底時速度最大,何必分解為vx和vy來添亂．可是,學生的想法似乎也無法直接否定,于是拿到組內一起討論．拿到此題時,感覺不難,因為小球速度表達式易求得,所以可以找出最大值,但沒想到還是費了一番周折．

圖2

小球下降過程中,槽相對地面速度vx1方向向左,小球相對地面水平速度vx2方向向右．因此小球相對槽的水平速度為vx=vx1+vx2.

小球相對槽的速度為v,如圖2分解為水平與垂直方向得關系式

vy=vxcotθ=(vx1+vx2)cotθ.

根據動能定理有

把vy和vx2代入后得到

那么小球合速度

v2=vx12+vy2=vx12(1+k2cot2θ)=

(1)

當m?M時,槽體幾乎不動,獲得的動能可以忽略,此時m在槽底時速度最大．

圖3

據此我們推定,速度的最大值不在槽底．但后來的事證實這個推定不完全正確．我們借助Excel,采用(1)計算出不同角度的速度平方值,發現k值較小時(如k=1.3)小球下落過程中速度一直增加,極大值發生在槽底(θ=90°)．

化簡后得到

(1-k2)(1-k)sin4θ+

k(1-k)(2k+3)sin2θ+k3=0,

(2)

或者cosθ=0.

解方程得

(3)

或者cosθ=0.

(4)

并不是所有的k值都能使得(3)式中的sinθ有解,當k值接近于1時,代入(3)式得到的值可能大于1,θ無解,極大值點應改用(4)式確定．那么k取何值時sinθ有解?我們可以把sin2θ=1代入原方程,得2k2-2k-1=0,解得

看似簡單的最大值問題,解題過程卻有些曲折．面對學生的質疑,無法直接否定時更應認真對待,想當然的認為標準答案是正確的,可能會錯過驗算機會．本文采用圖像法、求導法、數值分析等方法多途徑驗算最大值,以確定可靠的結果．