論巧用函數與方程的思維聯系解題

李子芳

摘要：函數與方程是中學數學中的一個重要組成部分，在中學的數學當中占據著重要地位。在中國一般情況下，初中引入函數與方程的基本知識，高中時深入學習，在高考中應用? 頗廣。因此，學習好函數與方程，利用函數與方程的思維聯系解題十分重要。

關鍵詞：函數思想;方程思想;集合;表達方式

函數思想是解決"數學型"問題的一種思維方式，經歷了漫長的研究與探索，其用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題、解決問題，在數學中應用廣泛;而方程思想是對問題用方程解決，是對方程本質的認識，其主要研究變量與變量之間的等式關系（包括不等式與函數），利用方程的性質去分析轉化解決問題。

一、函數思想與方程思想

現階段，函數與方程在我國的數學中占有很重要的地位，在數學問題的分析、轉化、解決中應用極為廣泛。早期函數概念是在幾何觀念下的函數，是十七世紀意大利學者伽利略（G.Galileo，1564-1642）在《兩門新科學》一書中提出包涵了函數或者說變量關系的概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前后的笛卡爾在其解析幾何中也注意到了一個變量與另一個變量間的依賴關系。但是由于當時未意識到提煉函數的概念，故在之后的數年里函數概念并未提出。直至十八世紀初約翰·貝努利在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義，其后至近代以來又有數名學者，如歐拉、柯西、傅里葉、狄利克斯、康托等對函數進行了重新定義并逐漸深化。現如今函數在定義上有傳統定義與現代定義兩種。其中，傳統定義是指在一個變化過程中，如果有兩個變量x，y，如果給定一個x值都有唯一的一個y和他對應，那么稱y是x的函數，x是自變量，y是因變量;而在現代定義中為：如果A、B是兩個非空數集且x、y分別屬于A、B，如果在A中任取一個x根據對應法則f在B中都有唯一的y與之對應，那么成f是B對于A的函數。函數是數學里的一個基本概念，也是數學中代數里面最重要的一個概念，函數又有各種的函數分類，在解決生活中的學術上的數學問題、物理問題等都有廣泛的應用。而函數思維，即是應用函數的性質與概念，來分析、轉化、解決相關的數學問題。在函數的學習中應把握函數的三要素：定義域、值域、對應法則等，在掌握函數的基礎上才能更好的應用函數。

方程即含有未知數的等式，但等式不一定是方程，例如0=0，是等式但不是方程。方程表示的是兩個數學式（如兩個數、函數、量運算）之間相等關系的一種等式，是使等式成立的未知數值稱為方程的"解"或"根"。方程的定義出現亦經歷漫長的發展。方程思想指解決數學問題時，通過設元把問題從未知轉化為已知，解釋已知與未知之間的等量關系列，方程或方程組，然后求解，完成未知向已知的轉化。而在方程的學習應用方程思維解題時，應注意列出方程的正確性、運用方程思維解題的意識與掌握方程思維解題的要點等三個重點。

二、如何應用函數與方程的聯系解題

函數思想與方程思想聯系十分密切，在第一部分的論述中可明白函數是在方程的基礎上的進一步的深化，方程與函數在數學問題的解決中是可以相互轉化的。例如.解方程f（x）=0就是求函數y=f（x）的零點即在y軸的點為零點時與x軸的交點，而在解不等式f（x）>0或f（x）<0時就是求函數y=f（x）的正負區間等等。運用函數與方程的思維聯系解題可從以下幾個方面著手：一方面可從函數與方程的性質著手;另一方面可在數學問題的解決中，可在充分了解問題的基礎上構造函數方程關系式或構造中間函數，把研究的問題進行轉化，利用函數的性質解決數學問題。

1.運用函數的性質解決方程的求值、求方程的"解"或"根"的問題。

例題1：解方程3x+5=0

分析：在這個方程的求解中，有兩個方式可解方程，其一，從這個方程可以看到這個方程只是一個簡單一元一次方程，所以可以簡單的直接求解;其二，我們可以把它看成是求y=3x+5與x軸的交點，運用圖像法求解。

2.運用函數思維解不等式。函數與不等式可互相轉化，例如.函數y=f（x），當y>0時，就轉化為不等式f（x）>0，當y<0時，f（x）<0，從函數的圖像與性質解決有關問題，而研究函數的性質問題，通常也是進行解不等式。

3.運用函數與方程思想研究數列問題，數列的通項或前n項和是自變量為正整數的函數，所以用函數的觀點處理數列問題很重要

例題2.已知等差數列共有10項，其中奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差是（ ）.

A.5? ? B.4? ? C.3? ? D.2

解析：設等差數列的首項為a1，公差為d，根據等差數列的相關性質，{an}有2k項時，S偶-S奇=kd，據題意得：C

點評：運用等差、等比數列的基本量（a1，d，q）列方程，方程組是求解數列基本問題的通法.偶數項之和減奇數項之和為5倍的公差

（a2-a1）+（a4-a3）+（a6-a5）+（a8-a7）+（a10-a9）

=（a2+a4+a6+a8+a10）-（a1+a3+a5+a7+a9）

=5d

即30-15=15=5d

d=3

結語

通過對函數與方程的聯系以及在解題中的研究可知，函數與方程思想聯系十分緊密，函數與方程在解題中可以相互進行轉化，以達到化繁為簡、化難為易的目的，更好的解決生活中的數學問題，更方便快捷的進行數學學術研究。

參考文獻：

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