泊松分布與復合泊松分布的性質

于子涵

摘要：本文主要講述了泊松分布和復合泊松分布的各種性質。本文在第一部分主要講述了泊松分布和二項分布的關系以及泊松分布的數學期望和方差的計算;在第二部分推導了復合泊松分布的概率分布及其數字特征，并闡述了復合泊松分布在非壽險精算中的應用。

關鍵詞：二項分布;泊松分布;復合泊松分布;全概率公式

一、泊松分布

（一）二項分布的極限情形為泊松分布

設隨機變量序列，并且隨機變量，即

若假設 ，則有

下面給出證明。

記

對于固定的k有，

因此，

若隨機變量X的可能取值為所有非負整數，并且

則我們稱隨機變量X服從參數為λ的泊松分布，記作X～P（λ）.

隨機變量所有可能取值之和必定為1，關于泊松分布的所有可能取值之和我們有，

（二）泊松分布的含義

泊松分布是計數分布的一種，通常用來描述單位時間內事件發生的次數，比如可以用來描述某銀行柜臺某時間段內來辦業務的顧客數。

（三）泊松分布的數學期望和方差

泊松分布的數學期望和方差都是λ，下面給出證明，

為計算泊松分布的方差，首先給出一般隨機變量的方差計算公式，

利用上述方差計算公式，我們可以給出泊松分布的方差，

二、復合泊松分布

（一）復合泊松分布的定義

稱隨機變量 為參數為λ復合泊松分布，若滿足，

（1）X1，X2，…，N獨立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.

復合泊松分布在保險中是常用的概率分布，隨機變量N可看成 N 個保險保單組合，Xi（i=1，2，…）是第i個保單可能的索賠額，則S是這N個保單組合的總索賠額。因此探討S的概率分布及數學期望和方差對保險公司來說有著重要的意義。

（二）復合泊松分布概率分布的算法

復合泊松分布的概率分布的計算需要用到全概率公式，下面敘述該公式。

設事件A1， A2， …， An， …是樣本空間Ω的一個分割，亦稱為完備事件組，即Ai（i=1， 2， …， n， …）兩兩互不相交，而且

假設樣本空間中有另外一個事件B，這樣一來

這樣我們可以得到全概率公式，

由全概率公式，復合泊松分布的概率分布可以寫成，

的計算需要用到卷積公式，這里可以舉個例子說明這個公式的計算。假設隨機變量ξ1～B（n1，p），ξ2～B（n2，p），并且互相獨立，我們可以給出ξ=ξ1+ξ2的概率分布。首先ξ的可能取值為0，1，2，…，n1+n2.

其實我們發現ξ～B（n1+n2，p），該結論很容易推廣到多個獨立二項分布和的情形。

在復合泊松分布中若假設Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），即在保險中每次索賠額要么是1，要么是0.這種假設下，的可能取值非負整數值，其概率分布為，

也即在該特殊情形下，S～P（λp）.

（三）復合泊松分布的數學期望

復合泊松分布的數學期望要用到全期望公式，首先介紹一下該公式，對任意的隨機變量X，Y，我們有

由全期望公式，我們可以給出復合泊松分布的數學期望，

在保險中，復合泊松分布的數學期望意義也很清晰，E（N）表示保單組合的平均個數，E（X1）表示每個保單賠付的平均額，所以總的索賠額為E（N）E（X1）.

在復合泊松分布中若假設Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），該種特殊情形下，其數學期望為E（S）=λp，方差為D（S）=λp.

三、小節

復合泊松分布在非壽險精算中有著非常重要的意義，在非壽險精算中，我們往往假設保險公司的總索賠額度服從復合泊松分布，因此對復合泊松分布的研究顯得非常重要，包括對復合泊松分布的概率分布及其數字特征的研究。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎（第二版）[M].高等教育出版社，1997.

[2]唐玲，徐懷.復合泊松分布和泊松過程的可加性[J].安徽建筑大學學報，2007，15 （5）：80-81.

[3]田國華.高校經典教材同步輔導 數學分析 華東師大第三版 上冊[M].人民日報出版社，2004.