從斐波那契數列感受數學之美

吳翰舉

摘要：本文在第一部分推導了斐波那契數列的兩種通項公式，其中一種和組合數有很大的聯系，并探討了斐波那契數列前后兩項比值的極限和黃金分割比例的關系;在第二部分，將斐波那契數列前后兩項比值的極限推廣到了更一般遞歸數列的情形，并得到了相應的結論。

關鍵詞：斐波那契數列;黃金分割;概率模型;數列極限

一、斐波那契數性質

（一）斐波那契數列通項公式

斐波那契數列：若數列{an}滿足，a0=1，a1=1，an+2=an+1+an，n∈N，則稱數列{an}為斐波那契數列。

利用組合數學中遞推關系的相關理論給出斐波那契數列的通項公式。斐波那契數列滿足的遞推方程有特征方程：x2=x+1，該特征方程有兩根x1=，x2=.

因此數列{an}通項公式必定為，

將首項a0=1，a1=1，帶入上式，可以解得φ，ψ，這樣我們可以得到數列{an}的通項公式，

（二）斐波那契數列與組合數

在本章節第（一）小節我們求得斐波那契數列{an}的通項公式，本小節主要我們通過概率的方法給出數列的另外一個通項公式。

首先給出一個簡單的概率模型：假設在一個箱子中一共有n個小球，每次可以從箱子取出1個或者2個小球，要從箱子中取出所有的小球，問一共有多少種取法。

為解決上述問題，假設箱子中有n小球時共有bn中取法，容易得到b1=1，b2=2，當n≥3時，若第一次從箱子中取出1個小球，剩下n-1個小球共有bn-1種取法，若第一次從箱子中取出2個小球，剩下n-2個小球共有bn-2種取法，因此我們得到bn=bn-1+bn-2.如果補充定義b0=1，我們可以得到an=bn，n∈N.

其實可以利用純概率的方法給出該概率模型的答案，假設恰好有k次從箱子中取出2個小球，一共有中取法，其中k的取值可以是0，1，2，…，.由分類加法，我們可以得到，

（三）斐波那契數列與黃金分割

黃金分割：在線段AB中有一點C，若 ，則稱線段AB滿足黃金分割，λ為黃金分割比例，可求得λ=。

斐波那契數列有一個重要的性質。顯然，斐波那契數列的極限是不存在的，但是該數列的前一項與后一項的比值的極限是存在的，并且該極限值為黃金分割比例，下面給出證明。

其實該結論和首項取值是無關的，在下一章節我們將該結論推廣。

二、斐波那契數列的推廣及其和黃金分割的關系

（一）首項任意值的情形

數列{rn}中，

同樣地，利用組合數學的相關理論，數列{rn}的通項公式必定可以寫為，

其中，φ1，ψ1滿足，

可以解得，

下文探討數列{}極限的存在情況及其取值。

當.

當u，v全部為0 時，數列{rn}是每一項都為0的數列，此時數列{}無意義。

當 ，但 .

因此，當數列{rn}中，前兩項滿足時，數列{}的極限是存在的，并且該值為黃金分割比例。

（二）任意相鄰k項的比值極限情形

本小節將上一小節的比值極限推廣到相鄰k項，下文給出 極限的存在情況及其取值，這里k為任意固定正整數。

當 .

當u，v全部為0 時，數列{rn}是每一項都為0的數列，此時數列{}無意義。

當，但u2+v2≠0.

因此，當數列{rn}中，前兩項滿足時，數列{ }的極限是存在的，并且該值為黃金分割比例的k次方。

三、小結

本文主要得到了斐波那契數列的極限情況和黃金分割比例的關系，并且將該結論推廣到一般的遞歸數列，其實該結論可以推廣到更一般的遞歸數列，即若數列{hn}，滿足hn+2=phn+1+qhn，這里p，q為任意實數，這樣的數列前一項比后一項的極限在一定條件下也是存在的，但該極限并不一定等于黃金分割比例，而是和p，q有關系。

參考文獻：

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