淺談隨機變量的幾種數字特征及其應用

李泓想

摘要：本文主要以離散型隨機變量為例，介紹了隨機變量幾種常見的數字特征，并簡單推導了他們之間的關系;本文在第二部分主要介紹了隨機變量數字特征在現代金融學理論的應用，簡單介紹了分散投資可以降低投資風險的事實。

關鍵詞：數學期望;方差;協方差;相關系數;投資組合

一、隨機變量幾種數字特征及其關系

隨機變量常見的數字特征主要有數學期望、方差、相關系數和協方差等，本文以離散型隨機變量為例簡單介紹幾種常見的隨機變量數字特征。

（一）數學期望

關于一般離散型隨機變量數學期望定義為，假設X為一般離散型隨機變量，它的取值為x1， x2， x3， …對應的概率分別為p1， p2， p3， …如果∑ k=1∞? xk pk，∑ k=1∞? |xk| pk兩個無窮求和分別為有限數，則稱

為隨機變量X的數學期望，記作E（X）.

數學期望有一個常用的性質是其線性性質，對任意常數ck，k=1， 2， …， n及b，有

關于數學期望還有一個著名的公式，是關于隨機變量函數的數學期望，也被稱為佚名統計學公式，

若函數f （x）為連續函數，若離散型隨機變量X的可能取值為x1， x2， x3， …，對應的概率分別為p1， p2， p3， …，令隨機變量Y為隨機變量X的函數，即Y= f （X），那么隨機變量Y的數學期望為，

（二）方差、協方差和相關系數

首先關于方差，其定義也是由數學期望的計算給出定義，若關于隨機變量X函數（X-E（X））2的數學期望存在，我們稱（X-E（X））2的數學期望為隨機變量X的方差，記為D（X），即

并稱為隨機變量X的標準差。

關于方差的計算，可以由數學期望的線性性質給出，

關于隨機變量線性函數的方差有如下性質，對任意的常數a，b

下面給出隨機變量的協方差和相關系數。關于n個隨機變量X1，X2，…，Xn，稱

為隨機變量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n）的協方差。

關于協方差的計算我們有，

顯然，

隨機變量和的方差的展開計算最終會歸于兩兩隨機變量的協方差的計算，下面我們給出該關系式，

協方差也有線性性質，對任意的常數a， b， c， d及隨機變量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n）

隨機變量的相關系數定義由隨機變量的協方差給出，對于隨機變量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n），稱

為隨機變量Xi， Xj的相關系數，當然這里要求D（Xj），D（Xj）不為零。

二、隨機變量數字特征在現代金融學中的應用

在投資學理論中，我們常常用數學期望表示收益，用方差表示風險。

著名金融學家馬科維茲在上個世紀50年代引進的均值-方差模型是現代證券組合理論的基石。在馬科維茲的均值-方差理論中，假設有n個證券可以投資，并把每個證券的收益率看成是隨機變量，通常記為r1，r2，…，rn，記其數學期望為 記其方差為 并以ρij記隨機變量ri，rj的相關系數。在經濟學中一個很自然的假設：投資者都是追求高收益并且規避風險的，也即希望有較大的數學期望和較小的方差。但是在證券市場中往往有高收益的證券常伴隨著高風險。一個有效的辦法是采用證券的組合，即把全部資金分散投資于各種證券，假定一個投資組合P投資于n種證券的資金比例分別是ω1， ω2， …， ωn，則證券的總收益為，

顯然，其平均收益為

由隨機變量和的方差和協方差關系可求得其方差（風險）為，

一般情況下，σP2要遠小于σi2，例如我們取等權重投資，即，i=1， 2， …， n.則? 在比較理想的情況下，若組合中大部分證券之間弱相關或者不相關，即 那么? 將接近于，因此分散化投資確實能降低投資風險，這就是我們在投資中經常所說的，不要把所有雞蛋放在同一個籃子中。

進一步的在經典投資學理論中我們還可以繼續討論尋找最優的證券組合的問題。一個比較簡單的提法就是，尋求最優的投資比例ω1， ω2， …， ωn，使得投資組合的數學期望? 等于目標值，而讓其風險? 達到最小。

三、小節

隨機變量的數字特征在很多不同的領域都有很重要的應用，本文所提到的投資組合理論只是隨機變量數字特征的一個簡單應用。本文也只是以離散型隨機變量為例簡單介紹了隨機變量數字特征之間的關系，這些關系在連續型的隨機變量中也是成立的。

參考文獻：

[1]李賢平.概率論基礎（第二版）[M].高等教育出版社，1997.

[2]李善民，徐沛.Markowitz投資組合理論模型應用研究[J].經濟科學，2000 （1）：42-51.