橢圓運動中萬有引力定律表達式的推導兼談衛星橢圓運動的運行參量及應用

趙曰峰

(大連市第八中學,遼寧 大連 116021)

1 橢圓運動軌跡的曲率半徑

天體繞太陽橢圓運動軌跡方程表示為

橢圓參數方程表示為

x=asinωt，y=bcosωt.

(1)

(1)式對時間求導有

(2)

(2)式對時間求導有

-bω2cosωt.

(3)

在t時刻,天體運動到某一位置(x,y),如圖1(a)所示.該點處切線斜率表示為

(4)

(4)式結合sin2i+cos2i=1得

則在該點處的速度大小

如圖1(b)所示,向心加速度大小

(a) (b)

(5)

2 萬有引力表達式的確定

天體橢圓運動軌跡上任一點(x,y),如圖2所示.該點切線斜率為

圖2

該點法線斜率為

天體在該點引力方向斜率為

該點處法線方向和天體所受引力方向夾角θ滿足

(6)

(6)式結合sin2θ+cos2θ=1得

(7)

根據開普勒第二定律知在極短時間Δt內,滿足

(8)

由橢圓面積S=πab和開普勒第二定律有

(9)

又知

vθ=vcosθ.

(10)

由牛頓第二定律和向心力公式有

則太陽對行星的引力大小為

(11)

其中

(12)

行星圍繞太陽運動過程中,太陽吸引行星,行星同樣也吸引太陽,從相互作用的角度而言,二者的地位是相同的.對于行星對太陽的引力F′而言,太陽是受力星體,因此F′應與太陽質量M成正比,與行星、太陽距離的二次方成反比,即

(13)

在一線教學過程中,筆者認為可在第2節“太陽與行星間的引力”后適當講授橢圓運動中萬有引力表達式的推導,幫助學生區分引力半徑r和曲率半徑r(軌道半徑)的不同、明確萬有引力和向心力的關系,同時了解橢圓運動,為衛星橢圓運動相關運行參量確定和處理衛星變軌問題奠定基礎.

3 衛星橢圓運動的相關參量及應用

圖3

關于天體的橢圓運動,以衛星繞地球運轉為例,運動軌跡如圖3所示.本文主要推導衛星近地點和遠地點的速度、角速度、加速度的表達式.

由(5)式可知,衛星近地點和遠地點的曲率半徑

(14)

衛星在近地點和遠地點的引力半徑分別為

rQ=a-c;rP=a+c.

(15)

衛星在近地點和遠地點處萬有引力充當向心力.

近地點:

(16)

遠地點:

(17)

由(14)-(16)式聯立解得近地點的速度、角速度、加速度分別為

(18)

(19)

(20)

由(14)(15)(17)式聯立解得遠地點的速度、角速度、加速度分別為

(21)

(22)

(23)

當橢圓變為圓即c=0時,(18)-(23)式變為圓周運動情形下的速度、角速度、加速度表達式.

應用1.導彈彈頭發射過程中最高點處的速度及加速度.

圖4

例1.如圖4所示,發射遠程彈道導彈,彈頭脫離運載火箭后,僅在地球引力作用下,沿橢圓軌道飛行,擊中地面目標B.C為橢圓軌道的遠地點,距地面高度為h.已知地球半徑為R,地球質量為M,引力常量為G.關于彈頭在C點處的速度v和加速度aC,下列結論正確的是

解析:由于C點位于橢圓軌道的遠地點,設橢圓軌道長軸為2a,焦距為2c,由圖4知a+c=R+h.

由(21)-(23)式中遠地點的速度為

遠地點的加速度表達式為

所以(B)選項正確.

應用2:衛星運行速度、加速度大小的比較及衛星發射過程中的變軌問題.

圖5

例2.如圖5所示,3個質量相同衛星分別在近地軌道1、橢圓軌道2、高圓軌道3軌道運行.近地軌道1上的運行速度、加速度分別為v1、a1,橢圓軌道2近地點Q(軌道1和2的交點)、遠地點P(軌道2和3的交點)的速度分別為vQ和vP,加速度分別為aQ和aP;高圓軌道3上的運行速度、加速度分別為v3、a3,請比較: (1)v1、vQ、vP和v3的大小; (2)a1與aQ的大小,a3與aP的大小.

顯然衛星速度大小關系為vQ>v1>v3>vP.

顯然Q和P點加速度大小滿足aQ=a1,aP=a3.

由例2可知,當發射高軌道衛星時,可先將衛星發射到半徑為rQ的近地軌道1上,如圖5所示,運行速度為v1;當衛星運動到Q點時,衛星發動機點火加速到vQ,使衛星從軌道1進入橢圓軌道2,此時Q點為衛星橢圓軌道的近地點;衛星運動到橢圓軌道遠地點P時(速度大小vP),衛星發動機再次點火加速到v3,使衛星進入軌道為rP的高圓軌道.目前我國發射的高軌道衛星、嫦娥系列探測器都采用上述發射方式,使衛星或探測器進入預定軌道.

4 結束語

本文通過物理規律、結合數學推演的方式嚴謹推導出了萬有引力表達式,同時為后續學習奠定基礎.高中物理教學更多的是從實際情景中抽離出的理想模型,然而多數學生內心渴望一種嚴謹縝密的思維梳理和推導過程,只有親身經歷這樣的過程,才能被物理的邏輯美所吸引,從而保持對物理學科的熱情,激發深入學習的興趣,進而培養物理學科核心素養.

另一方面,目前我國“神州、天宮、嫦娥”系列工程正在蓬勃發展,取得了卓越的成就.這使萬有引力與航天成為考試熱點,特別是衛星發射問題,涉及一些高等數學知識,綜合性強,這也是難點.而教材所設計的內容淺顯,需要深入挖掘,筆者通過本文希望起到拋磚引玉的作用.