橢圓運動中萬有引力定律表達式的推導兼談衛(wèi)星橢圓運動的運行參量及應用

趙曰峰

(大連市第八中學,遼寧 大連 116021)

1 橢圓運動軌跡的曲率半徑

天體繞太陽橢圓運動軌跡方程表示為

橢圓參數(shù)方程表示為

x=asinωt，y=bcosωt.

(1)

(1)式對時間求導有

(2)

(2)式對時間求導有

-bω2cosωt.

(3)

在t時刻,天體運動到某一位置(x,y),如圖1(a)所示.該點處切線斜率表示為

(4)

(4)式結合sin2i+cos2i=1得

則在該點處的速度大小

如圖1(b)所示,向心加速度大小

(a) (b)

(5)

2 萬有引力表達式的確定

天體橢圓運動軌跡上任一點(x,y),如圖2所示.該點切線斜率為

圖2

該點法線斜率為

天體在該點引力方向斜率為

該點處法線方向和天體所受引力方向夾角θ滿足

(6)

(6)式結合sin2θ+cos2θ=1得

(7)

根據(jù)開普勒第二定律知在極短時間Δt內(nèi),滿足

(8)

由橢圓面積S=πab和開普勒第二定律有

(9)

又知

vθ=vcosθ.

(10)

由牛頓第二定律和向心力公式有

則太陽對行星的引力大小為

(11)

其中

(12)

行星圍繞太陽運動過程中,太陽吸引行星,行星同樣也吸引太陽,從相互作用的角度而言,二者的地位是相同的.對于行星對太陽的引力F′而言,太陽是受力星體,因此F′應與太陽質(zhì)量M成正比,與行星、太陽距離的二次方成反比,即

(13)

在一線教學過程中,筆者認為可在第2節(jié)“太陽與行星間的引力”后適當講授橢圓運動中萬有引力表達式的推導,幫助學生區(qū)分引力半徑r和曲率半徑r(軌道半徑)的不同、明確萬有引力和向心力的關系,同時了解橢圓運動,為衛(wèi)星橢圓運動相關運行參量確定和處理衛(wèi)星變軌問題奠定基礎.

3 衛(wèi)星橢圓運動的相關參量及應用

圖3

關于天體的橢圓運動,以衛(wèi)星繞地球運轉(zhuǎn)為例,運動軌跡如圖3所示.本文主要推導衛(wèi)星近地點和遠地點的速度、角速度、加速度的表達式.

由(5)式可知,衛(wèi)星近地點和遠地點的曲率半徑

(14)

衛(wèi)星在近地點和遠地點的引力半徑分別為

rQ=a-c;rP=a+c.

(15)

衛(wèi)星在近地點和遠地點處萬有引力充當向心力.

近地點:

(16)

遠地點:

(17)

由(14)-(16)式聯(lián)立解得近地點的速度、角速度、加速度分別為

(18)

(19)

(20)

由(14)(15)(17)式聯(lián)立解得遠地點的速度、角速度、加速度分別為

(21)

(22)

(23)

當橢圓變?yōu)閳A即c=0時,(18)-(23)式變?yōu)閳A周運動情形下的速度、角速度、加速度表達式.

應用1.導彈彈頭發(fā)射過程中最高點處的速度及加速度.

圖4

例1.如圖4所示,發(fā)射遠程彈道導彈,彈頭脫離運載火箭后,僅在地球引力作用下,沿橢圓軌道飛行,擊中地面目標B.C為橢圓軌道的遠地點,距地面高度為h.已知地球半徑為R,地球質(zhì)量為M,引力常量為G.關于彈頭在C點處的速度v和加速度aC,下列結論正確的是

解析:由于C點位于橢圓軌道的遠地點,設橢圓軌道長軸為2a,焦距為2c,由圖4知a+c=R+h.

由(21)-(23)式中遠地點的速度為

遠地點的加速度表達式為

所以(B)選項正確.

應用2:衛(wèi)星運行速度、加速度大小的比較及衛(wèi)星發(fā)射過程中的變軌問題.

圖5

例2.如圖5所示,3個質(zhì)量相同衛(wèi)星分別在近地軌道1、橢圓軌道2、高圓軌道3軌道運行.近地軌道1上的運行速度、加速度分別為v1、a1,橢圓軌道2近地點Q(軌道1和2的交點)、遠地點P(軌道2和3的交點)的速度分別為vQ和vP,加速度分別為aQ和aP;高圓軌道3上的運行速度、加速度分別為v3、a3,請比較: (1)v1、vQ、vP和v3的大小; (2)a1與aQ的大小,a3與aP的大小.

顯然衛(wèi)星速度大小關系為vQ>v1>v3>vP.

顯然Q和P點加速度大小滿足aQ=a1,aP=a3.

由例2可知,當發(fā)射高軌道衛(wèi)星時,可先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為rQ的近地軌道1上,如圖5所示,運行速度為v1;當衛(wèi)星運動到Q點時,衛(wèi)星發(fā)動機點火加速到vQ,使衛(wèi)星從軌道1進入橢圓軌道2,此時Q點為衛(wèi)星橢圓軌道的近地點;衛(wèi)星運動到橢圓軌道遠地點P時(速度大小vP),衛(wèi)星發(fā)動機再次點火加速到v3,使衛(wèi)星進入軌道為rP的高圓軌道.目前我國發(fā)射的高軌道衛(wèi)星、嫦娥系列探測器都采用上述發(fā)射方式,使衛(wèi)星或探測器進入預定軌道.

4 結束語

本文通過物理規(guī)律、結合數(shù)學推演的方式嚴謹推導出了萬有引力表達式,同時為后續(xù)學習奠定基礎.高中物理教學更多的是從實際情景中抽離出的理想模型,然而多數(shù)學生內(nèi)心渴望一種嚴謹縝密的思維梳理和推導過程,只有親身經(jīng)歷這樣的過程,才能被物理的邏輯美所吸引,從而保持對物理學科的熱情,激發(fā)深入學習的興趣,進而培養(yǎng)物理學科核心素養(yǎng).

另一方面,目前我國“神州、天宮、嫦娥”系列工程正在蓬勃發(fā)展,取得了卓越的成就.這使萬有引力與航天成為考試熱點,特別是衛(wèi)星發(fā)射問題,涉及一些高等數(shù)學知識,綜合性強,這也是難點.而教材所設計的內(nèi)容淺顯,需要深入挖掘,筆者通過本文希望起到拋磚引玉的作用.