串并混聯(lián)仿生機(jī)械腿靜力學(xué)性能分析

王曉磊 金振林 李曉丹

(1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 秦皇島 066004； 2.遼寧工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 錦州 121001)

0 引言

近年來(lái)，仿生機(jī)械腿一直是機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]采用3-RPS為機(jī)構(gòu)原型設(shè)計(jì)了并聯(lián)仿生機(jī)械腿，并對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化及分析；文獻(xiàn)[2]以3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)與擺動(dòng)關(guān)節(jié)作為腿部機(jī)構(gòu)研究了一種串并混聯(lián)四足機(jī)器人；文獻(xiàn)[3]采用(U+UPR)P+UPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)為機(jī)構(gòu)原型設(shè)計(jì)了3自由度(DOF)的仿生機(jī)械腿；文獻(xiàn)[4-5]采用2RUS+RU機(jī)構(gòu)與FD機(jī)構(gòu)的組合設(shè)計(jì)了一種新型仿生機(jī)械腿；文獻(xiàn)[6-7]研究了一種6自由度農(nóng)業(yè)機(jī)器人的機(jī)械仿生腿；文獻(xiàn)[8]以3-RPC并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為步行器的機(jī)械腿進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究；文獻(xiàn)[9]采用偏置輸出的3-RRR+(S-P)并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了仿生機(jī)器人的踝關(guān)節(jié)。上述并聯(lián)仿生機(jī)械腿都是由純并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成，具有承載能力大、移動(dòng)速度慢的特點(diǎn)，為實(shí)現(xiàn)快速行走，需要移動(dòng)副快速移動(dòng)很長(zhǎng)的距離，這就要求伺服系統(tǒng)具有很高的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，一般這種機(jī)器人不適合于快速行走。

對(duì)于仿生機(jī)器人來(lái)說(shuō)，其腿部性能對(duì)腿式機(jī)器人的整體性能起著決定性的作用[10-11]。大多數(shù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)所受的靜力是耦合、非線性的，在不同的位置受力不同，靜力學(xué)性能指標(biāo)是評(píng)估機(jī)器人承載能力的一項(xiàng)重要指標(biāo)[12]。因此，許多學(xué)者對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)性能進(jìn)行了較為深入的研究[13-21]。

本文首先闡述串并混聯(lián)仿生機(jī)械腿的結(jié)構(gòu)形式，對(duì)機(jī)械腿的并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，推導(dǎo)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)傳遞平衡方程，建立靜力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，分析各評(píng)價(jià)指標(biāo)在工作空間的分布，為機(jī)器人承載時(shí)軌跡規(guī)劃奠定基礎(chǔ)。

1 串并聯(lián)仿生機(jī)械腿部機(jī)構(gòu)模型

串并混聯(lián)四足機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)模型如圖1所示，由RPR機(jī)構(gòu)和兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成。兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由伺服液壓缸驅(qū)動(dòng)帶動(dòng)五桿機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)下方的雙菱形機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)足端的抬起和前后擺動(dòng)。RPR機(jī)構(gòu)也由伺服液壓缸驅(qū)動(dòng)，帶動(dòng)兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)足端實(shí)現(xiàn)側(cè)擺運(yùn)動(dòng)。

圖1 腿部機(jī)構(gòu)模型Fig.1 Leg mechanism model1.RPR機(jī)構(gòu) 2.兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu) 3.緩沖彈簧 4.足端

圖2 平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Structural diagram of planar parallel mechanism

2 兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)

2.1 位置模型

為了便于分析，建立圖2所示的固定坐標(biāo)系XOZ和動(dòng)坐標(biāo)系UIW。O為固定坐標(biāo)系原點(diǎn)，X軸沿OC方向，Z軸垂直X軸向上。I為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)，W軸沿IO方向，U軸垂直W軸。設(shè)結(jié)構(gòu)參數(shù)‖OA‖=l1，‖AB‖=l2，‖BC‖=l3，‖CD‖=l4，‖OD‖=l5，‖OC‖=l6，各方向單位矢量分別為wi(i=1,2,3,4,5,6)，雙菱形OFGE和GHIJ邊長(zhǎng)均為l。AOF為一桿件，其中OF桿與X軸的夾角為β，OA與OF夾角為φ。OE與X軸夾角為α，為了盡量避免結(jié)構(gòu)干涉，OE桿件不是直線，而是使OD與OE線有一夾角為γ，OF與OG夾角為θ。兩自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的2個(gè)液壓缸伸縮協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，使該機(jī)構(gòu)的末端可以實(shí)現(xiàn)足端具有沿固定坐標(biāo)系中心O的前后擺動(dòng)與沿Z方向的移動(dòng)，設(shè)沿中心O的轉(zhuǎn)角為φ。

結(jié)合圖2，根據(jù)結(jié)構(gòu)約束條件可得到

(1)

(2)

由圖2可知，OABC為一個(gè)矢量環(huán)，ODC為另一個(gè)矢量環(huán)，閉環(huán)矢量方程為

l1w1+l2w2=l6w6+l3w3

(3)

l4w4+l5w5=l6w6

(4)

參考點(diǎn)I的位置為

(5)

若已知?jiǎng)悠脚_(tái)參考點(diǎn)位置即IX、IZ，通過(guò)式(5)可求出θ、φ，根據(jù)式(3)、(4)求出α與β，根據(jù)式(2)可求∠AOC與∠DOC，即得到驅(qū)動(dòng)桿長(zhǎng)度l2、l4，為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解。

2.2 速度雅可比矩陣求解

對(duì)式(3)和式(4)求導(dǎo)，可得

l1ω1×w1+l2ω2×w2+v2w2=0

(6)

l4ω4×w4+v4w4+l5ω5×w5=0

(7)

對(duì)式(6)和式(7)分別點(diǎn)乘w2、w4得

(8)

(9)

(10)

(11)

其中

整理式(10)和式(11)得

(12)

(13)

將式(12)和式(13)寫(xiě)成矩陣形式

(14)

其中

同時(shí)對(duì)式(5)求導(dǎo)，得

(15)

寫(xiě)成矩陣形式為

(16)

其中

對(duì)式(1)進(jìn)行求導(dǎo)，得

(17)

整理得

(18)

其中

將式(16)、(18)、(14)整理得

(19)

其中

GV=JθφJ(rèn)ZJαβ

式中GV——機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣

3 靜力學(xué)性能

設(shè)計(jì)機(jī)器人時(shí)都需考慮它的承載能力，因此需要該并聯(lián)機(jī)構(gòu)在平面空間內(nèi)都具有一個(gè)較好的靜力學(xué)性能、承載能力和靜力學(xué)傳遞[22]。分析靜力學(xué)在工作空間的分布，有助于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)空間的軌跡規(guī)劃[23]，避免元件過(guò)度疲勞遭到破壞。

3.1 靜力學(xué)傳遞方程

當(dāng)兩自由度平面機(jī)構(gòu)只受沿XZ兩個(gè)方面的作用時(shí)，該機(jī)構(gòu)中所有構(gòu)件都處于靜力平衡狀態(tài)。由于仿生機(jī)器人腿部機(jī)構(gòu)末端為球弧形，所以兩自由度動(dòng)平臺(tái)輸出的廣義力矢量為F=(FX,FZ)T，機(jī)構(gòu)輸入的廣義力矢量為Q=(Q1,Q2)T。設(shè)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的虛位移為δP，δP=(δIX,δIZ)T，輸入驅(qū)動(dòng)桿件的虛位移為δL=(δl2,δl4)T，根據(jù)虛功原理，除約束力外，所有輸入驅(qū)動(dòng)力所做的虛功之和等于所有輸出力所做虛功之和，即

FTδP=QTδL

(20)

由于該平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛位移并非獨(dú)立存在，由機(jī)構(gòu)輸入輸出位移微分關(guān)系得

δP=GVδL

(21)

由式(20)、(21)可得

F=NQ

(22)

其中

式中N——驅(qū)動(dòng)力雅可比矩陣

3.2 靜力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

從式(22)可以看出，機(jī)構(gòu)在不同位形時(shí)，機(jī)構(gòu)輸入力與機(jī)構(gòu)輸出力關(guān)系與驅(qū)動(dòng)力雅可比矩陣有關(guān)。根據(jù)矩陣范數(shù)理論對(duì)式(22)取2范數(shù)，可得

‖F(xiàn)‖2=QTNTNQ

(23)

設(shè)輸入為單位矢量，QTQ=1，引用拉格朗日算子

MP=QT(NTN)Q-κλ(QTQ-I)

(24)

式中κλ——拉格朗日乘子

根據(jù)式(24)得到輸出力的極值條件為

(25)

由式(25)可得輸出力的極值為

(26)

對(duì)于工作空間內(nèi)任一位形，根據(jù)式(26)即可得到該位形時(shí)的輸出力最大值和最小值。在設(shè)計(jì)過(guò)程中，希望機(jī)構(gòu)輸入很小的力得到很大的輸出力，因此定義輸出力最大值為該機(jī)構(gòu)的承載能力性能指標(biāo)，即

KF=‖F(xiàn)‖max

(27)

在工作空間內(nèi)，兩個(gè)輸入力的差值隨位形的變化而變化。當(dāng)兩個(gè)輸入力的差值變化較大時(shí)，機(jī)構(gòu)的使用性能變差。為了合理地判別該機(jī)構(gòu)輸入力的情況，定義輸入力均衡性能評(píng)價(jià)指標(biāo)為

KJ=(‖F(xiàn)‖max-‖F(xiàn)‖min)/‖F(xiàn)‖max

(28)

其中，KJ是無(wú)量綱，表示輸入力最大值和最小值的關(guān)系，當(dāng)KJ越大，表示‖F(xiàn)‖max與‖F(xiàn)‖min相差越大，機(jī)構(gòu)的使用性能越差，機(jī)構(gòu)的使用壽命會(huì)大大降低，所以KJ越小越好。

3.3 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)在工作空間的分布

設(shè)定結(jié)構(gòu)參數(shù)為l1=l5=45 mm，l6=305 mm，l3=240 mm，‖OF‖=260 mm，γ=15°，∠OCB=75°。根據(jù)式(19)～(28)，可以得到在整個(gè)運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)靜力學(xué)承載能力性能指標(biāo)和力均衡性能圖譜，如圖3、4所示。

圖3 承載能力指標(biāo)分布Fig.3 Distribution of bearing capacity index

圖4 力均衡指標(biāo)分布Fig.4 Distribution of force equilibrium index

從圖3可以看出，承載能力分布總體呈軸對(duì)稱分布，在工作空間的底部承載能力最大，向上逐漸減小，到達(dá)頂部最小。

從圖4可以看出，力均衡性能指標(biāo)在工作空間內(nèi)中間部位性能最優(yōu)，性能更穩(wěn)定，機(jī)構(gòu)的使用壽命較長(zhǎng)；越趨近于邊界，性能指標(biāo)越差，機(jī)構(gòu)的使用壽命越短。

從上述分析可知，該機(jī)構(gòu)各靜力學(xué)性能指標(biāo)在工作空間中部較好，所以在承載時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡處于中部左右最優(yōu)，可延長(zhǎng)其使用壽命，避免過(guò)早疲勞破壞。

4 仿真與實(shí)例驗(yàn)證

利用ANSYS軟件驗(yàn)證承載能力指標(biāo)理論的正確性。通過(guò)式(25)、(26)得出給定位姿點(diǎn)的承載能力指標(biāo)與對(duì)應(yīng)的輸入單位向量，將得到的輸入單位向量施加到ANSYS環(huán)境中的2個(gè)液壓缸的活塞桿上，在忽略重力情況下，在ANSYS環(huán)境中測(cè)出末端的反力。由于工作空間內(nèi)的點(diǎn)較多，選取具有代表性的位姿離散點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，選取點(diǎn)的原則為從上到下、中間向右邊緣方向取點(diǎn)，點(diǎn)的位置及驗(yàn)證結(jié)果如表1所示。

由表1可以看出，二者的承載能力性能指標(biāo)差值較小，驗(yàn)證了承載能力指標(biāo)理論的正確性。

同時(shí)采用ANSYS有限元仿真軟件進(jìn)行靜力學(xué)分析，驗(yàn)證力均衡指標(biāo)分布規(guī)律的正確性。同樣采取上述給定的位姿點(diǎn)，在足端施加垂直向上500 N的力，通過(guò)ANSYS有限元仿真軟件得到了給定姿態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力與變形量云圖，如圖5所示。

從圖5可以看出，在中部(位姿點(diǎn)2、5)的變形量和應(yīng)力相對(duì)較小，在頂部(位姿點(diǎn)1、4、7)和底部(位姿點(diǎn)3、6、8)變形量和應(yīng)力較大，說(shuō)明對(duì)機(jī)構(gòu)不利，容易疲勞損壞，同時(shí)也間接地驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)力均衡性能評(píng)價(jià)指標(biāo)的正確性。

表1 8組位姿點(diǎn)承載能力指標(biāo)驗(yàn)證Tab.1 Verification of eight sets of pose and bearing capacity index

圖5 兩自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)應(yīng)力及變形量云圖Fig.5 Stress and deformation cloud charts of 2-DOF planar parallel mechanism

目前，該腿部結(jié)構(gòu)已應(yīng)用于上海交通大學(xué)開(kāi)發(fā)的四足機(jī)器人，已實(shí)現(xiàn)快速地上行走，如圖6所示。

圖6 四足機(jī)器人實(shí)物樣機(jī)Fig.6 Prototype of quadruped robot

5 結(jié)論

(1)研究了一種兩自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)，建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與靜力學(xué)傳遞方程，定義了靜力學(xué)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。

(2)揭示了兩自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)承載能力性能指標(biāo)在工作空間的分布規(guī)律。結(jié)果表明，位于工作空間中下方性能指標(biāo)較好，承載能力較大，并呈軸對(duì)稱分布。

(3)揭示了兩自由度平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜力學(xué)力均衡性能評(píng)價(jià)指標(biāo)在工作空間的分布規(guī)律。結(jié)果表明，腿部在承受外部載荷時(shí)，在工作空間中間部位力均衡性能指標(biāo)較好，越趨近于邊界，性能指標(biāo)越差，對(duì)機(jī)構(gòu)越不利。

(4)通過(guò)實(shí)例與ANSYS軟件仿真，驗(yàn)證了靜力學(xué)性能指標(biāo)分布規(guī)律的正確性。