受攻擊信息物理系統的分布式安全狀態估計與控制—一種有限時間方法

敖偉 宋永端 溫長云

隨著信息技術的廣泛應用,信息物理系統(Cyber physical systems,CPS)(交通系統、智能電網系統以及高速鐵路系統),以其物理動態過程與信息傳輸處理過程的緊密耦合[1],成為近期研究熱點.不過,正是由于信息處理與動態過程的緊密關聯,使其特別容易受到數據傳輸中的錯誤或攻擊影響,進而造成損失或重大破壞,比如巴西電網大停電事故[2]以及針對伊朗的震蕩波病毒攻擊[3].

當前已有一些文章涉及信息物理系統安全問題,其中大體包含兩類.第一類著重研究攻擊檢測問題.比如,文獻[4]研究信息物理系統的攻擊檢測與識別問題,從系統理論和圖論的角度刻畫監測系統的固有缺陷,并設計一種基于Luenberger觀測器的監測器,用于攻擊檢測和識別,但是其只能實現漸近收斂,故檢測時間可能非常長.文獻[5]提出一種基于滑模觀測器的方法,可分別對信息物理系統中存在的狀態攻擊和輸出攻擊進行檢測和重構,但該方法需要滿足所謂的觀測器匹配條件.文獻[6]通過研究系統的強觀測性,并利用系統動態特征向量,提出一種攻擊可檢測的充分必要條件.不過,他們都沒有涉及狀態安全估計與控制問題.第二類主要關注狀態安全估計和安全控制器設計.比如,文獻[7]針對部分傳感器受到攻擊的信息物理系統,提出一種便于計算的解碼算法,用以估計系統狀態,并刻畫該算法能夠容許的最大受攻擊傳感器數量的上界;進而,這些結果在文獻[8]中得到了擴充,該文即不僅展示了通過設計局部安全控制器可以提升系統面對攻擊的性能,同時還提出一種基于L1/Lr的編碼器實現狀態的安全估計.此外,通過研究系統的稀疏觀測性,文獻[9]指出,2s-稀疏可觀測,那當且僅當其受到不超過s-稀疏攻擊時,狀態可以被安全估計出來;文獻[10]拓展這一結論,并利用高效滿足性模態理論,設計一種新型的多模態Luenberger觀測器,對安全估計問題的復雜性進行了優化.不過,文獻[7-10]中的安全估計算法都是集中式的,且其估計誤差為指數衰減,這使得估計結果可能要較長時間才能滿足實際需求.此外,我們在文獻[11]中,針對受到攻擊的線性信息物理系統,提出一種基于有限時間觀測器的安全估計算法,可以確保在預設有限時間完成狀態安全估計,不過,該方法仍然是集中式的,同時也沒有涉及安全控制問題.進而,文獻[12]進一步拓展這些結果,提出一種分布式的狀態安全估計與安全控制策略;不過,其研究的信息物理系統之間僅含有線性耦合,且其安全控制方法依賴分數階動態面技術,只能保證動態面在有限時間內達到,并不能確保期望狀態誤差在有限時間內收斂到零.而實際的信息物理系統,比如智能電網系統,其分布式特點比較明顯,且其子系統之間的耦合也可能是非線性的;同時為應對惡意攻擊,需要在有限時間內將跟蹤誤差控制到零.因此,這就需要探索新的有限時間分布式安全估計以及安全控制設計方法.

正是基于上述考慮,本文針對一類受到攻擊的由多個子系統組成的非線性耦合信息物理系統,研究其分布式安全估計以及分布式安全控制問題.相關的系統結構及提出的方法和策略如圖1所示.本文的主要貢獻包括:

1)針對一類含有非線性耦合的信息物理系統,提出一種由安全測量預選器和有限時間觀測器組成的分布式有限時間狀態安全估計策略.當滿足一定條件時,該策略可確保系統狀態在預設有限時間之內被準確估計出來;

2)利用獲得的安全狀態估計,采用反步設計方法建立分布式有限時間安全控制律;

3)基于李亞普洛夫穩定性理論,嚴格論證該控制律可以保證系統在有限時間內跟蹤期望信號,且各系統狀態,觀測器信號以及控制信號有界.該方法的有效性也通過仿真實驗得到驗證.

圖1 受到傳感器攻擊的信息物理系統與有限時間狀態安全估計與控制框圖Fig.1 The diagram of the CPS under sensor attacks and the finite time secure state estimation and control

本文后續內容由以下幾部分組成:第1節介紹研究對象模型并提出研究目的;第2節提出一種由安全預選器和有限時間觀測器組成的狀態估計策略,解決分布式安全狀態估計問題;第3節提出一種分布式控制算法,解決分布式安全控制問題;第4節將提出的方法在微電網中仿真實驗,驗證該方法的有效性;第5節對本文做總結.

1 系統模型

本文考慮由N個相互耦合子系統組成的信息物理系統,其結構見圖1(a).由于物理特性,子系統相互之間具有一定的非線性動態耦合;相應地,為完成控制、監測功能,子系統之間還包含信息處理系統即通過計算機處理和信息網絡設施,將測量、控制信號傳輸到監測或控制系統;而這些信息處理與傳輸過程,有可能遭受惡意攻擊.基于這些考慮,該信息物理系統中的第i個受到攻擊的子系統,可用下述模型描述.

其中,xi(t)=[xi,1(t),···,xi,n(t)]T∈Rn為系統的未知狀態,ui(t)∈R為受控輸入信號;yi(t)∈Rpi是經傳輸得到的測量信號,需注意,由于存在惡意攻擊者,yi(t)可能被任意篡改,ηi(t)∈Rpi即為T攻擊者注入的惡意攻擊信號;Ci=[Ci,0,···,Ci,0]∈Rpi×n為系統測量矩陣,其中Rn;而代表第i個子系統受到其他所有子系統的非線性耦合效應,表示所有子系統狀態第一個分量組成的向量.

注1.文獻[12]僅考慮存在純線性耦合的情況,這局限了其應用范圍;而本文研究的系統模型包含非線性耦合分量,這樣可能更符合實際情況使其適用范圍更廣.另外,文獻[12]設計的控制律是基于分數階動態面的,并不能保證受控狀態在有限時間內跟蹤上期望信號.因此,需要探索新的方法實現對狀態的有限時間跟蹤控制.

正如文獻[4]所述,許多實際信息物理系統,譬如智能電網、高鐵系統[13]等,都可用形如式(1)的模型描述.此外,隨著信息技術的發展,在實際的系統[14-15]中,經常利用多路傳感器采集同一信號,以便提高系統中信號測量的可靠性、冗余性與安全性.鑒于此,本文也采用該方法.因此,輸出分布矩陣即Ci,便如模型1中所示.

本文假定,對于第i個子系統,pi路傳感器中僅有si路是可被攻擊者任意操縱的.除此之外,本文不對攻擊者具有的關于系統的信息和操縱信號的能力作任何限制.此外,受安全檢測與估計方面[4,8]等文獻的啟發,為了刻畫安全估計可實現的充分條件,本文引入如下定義.

定義 1.s-稀疏攻擊[8]:給定攻擊向量ηi(t),如果存在集合 Λi?{1,···,pi}且Card(Λi)=pi-s,對任意s∈N 和t,有ηi,j(t)=0,而ηi(t)的其他s個分量不一定為零,則稱它是一個s-稀疏攻擊,或它是一個稀疏指數為s的攻擊向量.s即為攻擊向量的稀疏指數.

注2.定義1主要用于刻畫如(1)所示受攻擊信息物理系統,其狀態安全估計可解的充分條件,見第3.1節.

2 問題描述

本文的主要目標是解決如下兩個問題.

1)分布式有限時間安全狀態估計問題:即針對如式(1)所示受攻擊信息物理系統,提出其分布式狀態安全估計可解的充分條件,并設計安全估計器,在有限時間內獲得系統的真實狀態.

2)分布式有限時間安全問題:即針對如式(1)所示受攻擊信息物理系統,在安全狀態估計實現的基礎上,設計分布式安全控制器,使系統能夠在有限時間內跟蹤任意給定信號.

3 分布式有限時間狀態安全估計

本節將提出一種由安全預選器與有限時間觀測器構成的分布式有限時間狀態安全估計策略.

3.1 安全測量預選器設計

首先,受文獻[12]啟發,利用定義1,對于分布式信息物理系統(1),可給出其狀態可安全估計的充分條件.

條件1.對于受到稀疏攻擊的分布式信息物理系統(1),其中第i個子系統中的稀疏指數為si,si滿足如下條件:

命題1.對于受到稀疏攻擊的分布式信息物理系統(1),其中第i個子系統中的稀疏指數為si,若條件1成立,那其狀態安全估計是可實現的.

證明.命題1的證明與文獻[12]中相似,故在此省略.□

注3.對于集中式信息物理系統模型,受攻擊時狀態安全估計的可實現條件在文獻[7-11]中給出;而命題1則進一步將對象擴展到受攻擊的分布式信息物理系統,并提出了狀態可被安全估計得到的充分條件.此外,需要注意,命題1雖然刻畫了受攻擊地信息物理中的狀態可安全估計的充分條件,但由于系統1含有非線性耦合特性,文獻[12]中設計的安全觀測器并不能直接應用,所以具體的狀態估計方法特別是有限時間估計方法還需要精巧地設計.

基于條件1,同時受文獻[12]啟發,可以設計一種分布式策略,檢索出每個系統中未受攻擊的傳感數據.在此,先介紹一種中間值求取算子:給定向量yi(t),將其元素按大小排序得到一個新的向量vi=[vi,1,···,vi,pi]T,其中vi,1≤···≤vi,pi. 那么,對于向量yi(t)的中間值算子如下:

其中,pi為偶數時,而pi為奇數時,in=.當條件1成立時,針對第i個子系統的分布式安全測量預選器設計如下:

關于上述預選器,下述結論成立.

引理1.對于含有攻擊的信息物理系統(1),當條件1成立時,利用安全測量預選器(4),對所有時刻,下式成立.

證明.引理1的證明與文獻[12]中相似,故省略.□

注4.值得注意的是,si為攻擊向量中非零信號的數目,即受到攻擊的傳感器的數量;ri為不受攻擊的傳感器的數量;而qi表示不受攻擊的傳感器超過受攻擊的傳感器的數量.實際上,這部分分析表明,只要不受攻擊的傳感器超過受攻擊的傳感器的數量,即qi＞0,那么利用排序方法和中間值算子,都能將“中間”不受攻擊的信號提取出來.需要指出的是,由于預選器(4)主要通過分析多路傳輸信號的差異,從而提取出“安全”(未受攻擊)的測量信號;此外,多路傳感器采集的是同樣的信號,而實際信息系統內部的非線性特性在輸出通道的表現都是相同的,所以,該預選器可以應對系統中含有非線性耦合的情況.

3.2 分布式狀態安全估計器設計

受文獻[16]中集中式有限時間觀測器以及文獻[12]中分布式有限時間安全狀態估計器啟發,利用式(4)所設計的預選器,對于受到攻擊的信息物理系統(1)中第i個子系統,可設計如下分布式安全狀態估計器.

為方便起見,將所有子系統的Te,i取為相同值,即Te,i=Te,i=1,···,N.

注5.雖然分布式有限時間觀測器(6)是受文獻[12]中方法啟發而來,且形式上有一定的相似之處,但由于非線性耦合效應的存在,使該文結果并不能直接應用到系統(1)中.因此,本文利用項對信息物理系統中的非線性耦合部分進行補償,才能確保有限時間安全狀態估計的實現.

利用上述提出的預選器與有限時間觀測器,能夠確保在條件1滿足時,在有限時間內解決狀態安全估計問題,即可表述為如下定理.

定理1.針對含有攻擊的信息物理系統(1),分布式輸出預選器(4)和分布式有限時間觀測器(6).當條件1成立且分別滿足(7)和(8)時,信息物理系統(1)中的狀態,可以在預設的有限時間內準確地得到,即當t≥Te時,

證明.記估計誤差為:,由于預選器(4)可以得到未受攻擊測量信號,那么估計誤差的動態特性如下:

顯然,若將初始誤差記為, 那么誤差的特性可以刻畫如下.

由于Te為滿足式(7)的常數,那么根據式(8),可得:

顯然,比較式(14)與式(6),即可得到,當t≥Te時,式(9)成立.

4 分布式有限時間安全控制器設計

受文獻[17]啟發,本節提出一種基于反步法的分布式有限時間安全控制器,使得受到攻擊的信息物理系統(1)依然能夠在有限時間內跟蹤上任意的期望軌跡,即xi,1(t)→xi,d(t),i=1,···,N.

4.1 反步法分布式狀態安全估計器設計

其中,?i,1,1=ai,1和?i,1,2=1.

下面將采用反步法,對第i個子系統,設計分布式安全控制器,使得ei,1(t)收斂到0.

步驟1.構造Lyapunov函數,選擇虛擬控制律:

步驟2.構造Lyapunov函數,選擇虛擬控制律:

注意,根據楊氏不等式,可得:

進而,根據式(21)可得:

其中,ci,2為一正常數.

選擇βi,2≥ci,2+n-1,并將式(19)代入式(20),可得:

步驟3.假設,那構造Lyapunov函數,選擇虛擬控制律:

相似地,根據楊氏不等式,可得:

其中,ci,j為一正常數.

選擇βi,j≥ci,j+n-j+1,并將式(24)和式(26)代入式(25),可得:

步驟4.第n步.設計虛擬控制律:

其中,αi,n(t)在式(28)中給出,Te為滿足式(7)的常數.

4.2 穩定性分析

至此,關于受攻擊信息物理系統(1),其有限時間安全控制問題可解,可總結為如下定理.

定理2.針對含有攻擊的信息物理系統(1)、分布式輸出預選器(4)、分布式有限時間觀測器(6)以及分布式有限時間控制器(29).當條件1成立且Te和分別滿足式(7)和式(8)時,信息物理系統(1)中狀態xi,1(t),可以在有限時間內準確跟蹤上任意信號xi,d(t),即存在Tc＞0,當t≥Tc+Te時,

其中,Te為滿足(7)的常數,,而Vn(0)為選擇的Lyapunov函數初值;而為一偶數,?2為一奇數,且;為一常數.

證明.首先證明,含有攻擊的信息物理系統(1)、分布式輸出預選器(4)、分布式有限時間觀測器(6)以及分布式有限時間控制器(29)是有限時間穩定的.現在根據定理2,利用信息物理系統(1),分布式輸出預選器(4),分布式有限時間觀測器(6),當t≥Te時,.這就意味著,當t≥Te時,可直接利用代替xi(t),進行控制器設計.所以,僅需分析t≥Te時控制律的效果.

根據楊氏不等式,可得:

選擇βi,n≥ci,n+1,并將式(32)代入式(31),可得:

另外,與式(21)相似,可得:

進而,可得:

那么,根據Vi,n(t)定義,可得:

其中,γi≥0為一常數.

接下來,將證明當t∈[0,Tc]時,系統中的各個變量不會發散.構造函數,計算其導數可得:

將式(41)代入式(39),可得:

其中,Ki=2(1+nυi).

此時,將式(43)代入式(39),可得:

其中,Li=n-1+υi.

綜合式(42)和式(44),可得:

其中,K=max{Ki}和L=max{Li}.求解不等式(46),可得:

根據Θ(e)的定義,可得,在t∈[0,Tc]時,系統(1)中各子系統的狀態xi(t)都是有界的.□

5 仿真示例

為了驗證本文提出算法的有效性,將其應用到如圖2所示的微電網系統中的二次頻率恢復控制中[18].該微電網包含4個發電機,4個局部負載以及3組傳輸母線.遵照該文方法,僅考慮發電過程,而將原電機的機械力矩直接作為發電機受控輸入,且當傳輸母線為無損時,則第i個發電機的相位下降過程為

其中,δi(t)是第i個發電機的電氣角,ωi(t)是相對角速度,ui(t)是設計的受控輸入,τPi為測量有功功率的濾波器系數,kPi為頻率下降增益;為期望的有功功率,Pi(t)而為實際的有功功率,它滿足如下條件:

其中,Bij是通過剔除所有物理母線后得到的內部網絡節點后得到的阻抗矩陣的第i行第j列的參數;Vi(t)為第i個發電機的電壓,P1i、P2i和P3i分別為名義恒定阻抗、恒定電流和恒定功率負載.該微電網的參數見表1.

圖2 受到傳感器攻擊的微電網系統框圖Fig.2 The diagram of the micro-grid system under sensor attacks

表1 微電網系統模型參數Table 1 Parameters of isolated grids systems

其中,Ai和Bi的值可以通過表 1計算可得,選 擇而為注入的傳感器攻擊.設計的攻擊信號為:,,其余分量為0.

根據第3節和第4節的分析,設計的有限時間觀測器參數為Te= 0.45,62.5 0 0;0 0 42.5 1.0;0 0-2856.3-62.5],[1.0 0 0 0;0 1.0 0 0];而安全控制器的參數為hi,1=2和hi,2=7,βi,1=5和βi,2=2.5.

仿真結果見圖3～圖7.發電機組的狀態及其估計如圖3～圖6所示,可以看出,經過Te=0.45s后,所有發電機的狀態估計值與真實值完全一致,這就驗證了文中理論分析的有效性;此外,利用設計的安全控制器,每個發電機的電氣角都在有限時間,大約為2.7s后,達到期望的角度,見圖3～圖6;同樣,從圖3～圖6可以看出,每個發電機的狀態都是有界的,同時根據圖7可得,設計的安全控制信號也是有界的,這同樣也驗證了本文的理論分析.

圖3 發電機1受控狀態及其估計值Fig.3 The angle of the 1st generator and its estimation

圖4 發電機2受控狀態及其估計值Fig.4 The angle of the 2nd generator and its estimation

圖5 發電機3受控狀態及其估計值Fig.5 The angle of the 3rd generator and its estimation

圖6 發電機4受控狀態及其估計值Fig.6 The angle of the 4th generator and its estimation

圖7 設計的安全控制輸入Fig.7 The designed secure control law

6 結束語

本文針對含有非線性耦合特性的受攻擊信息物理系統,研究其有限時間狀態安全估計以及分布式有限時間安全控制器設計問題.首先,設計一種由安全測量預選器和有限時間觀測器組成的分布式安全狀態估計策略,能夠保證在預設時間內實現有限時間安全狀態估計;其次,利用獲得的安全狀態估計,并采用反步設計方法,提出一種分布式有限時間安全控制器,可以保證系統的在有限時間內跟蹤期望信號;并將文中提出的方法在一個微電網系統中進行仿真實驗,其結果驗證了所提方法的有效性.需要說明的是,本文涉及發電過程沒有涉及對機械傳動過程,即對原動機的工作特性研究有所不足,因此,在將本文提出的方法應用到實際系統時,還有不少工作需要完成.此外,實際系統中還需要關注系統不確定性、噪聲、狀態及控制信號約束等特性,這也是我們未來研究的目標.