具有Markov切換Cohen-Grossberg神經網絡的依概率漸近穩定性①

吳媛媛, 余珮琳, 孫云霞, 程 培

(安徽大學數學科學學院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

Cohen-Grossberg神經網絡[1](簡稱CGNN)是由Cohen和Grossberg于1983年首次提出的一種神經網絡模型。 CGNN模型在模式識別、信號處理、最優化等方面都有廣泛的應用,從而吸引很多的學者對其進行研究。在現實應用中,神經網絡會出現隨機故障,導致鏈接權值或閥值突然被改變,可能造成系統結構或者參數發生多樣性改變,具有可變結構。 對于這種系統,常常利用Markov切換模型來刻畫[2,3]。目前研究主要都集中于矩漸近穩定[4,5]和矩指數穩定。關于依概率穩定、依概率漸近穩定等方面的分析研究比較少見。 因此, 針對帶有Markov切換的CGNN,我們將研究其依概率漸近穩性問題。 借助文獻[2]中構造Lyapunov函數的思想,將基于Markov切換的轉移概率的性質,構造一個特殊的Lyapunov函數,然后根據Lyapunov穩定性理論和LMI工具研究系統的穩定性。

1 準備知識

這里采用以下記號：Rn為n維歐氏空間,Rn×m為n×m實矩陣空間,I為適當維的單位矩陣,符號diag表示對角矩陣,λmax(·)表示矩陣的最大特征值,上標T表示向量或矩陣的轉置, 符號*表示矩陣中的由對稱性得到的元素,符號o(·)表示高階無窮小。

令{r(t),t≥0}是完備概率空間(Ω,F,P)上的右連續Markov切換,取值于有限狀態空間S={1,2,…m}。Γ=(γij)m×m是對應的生成元,滿足

P{r(t+δ)=j|r(t)=i}=

(1)

考慮如下帶有Markov切換的CGNN:

(2)

其中x(t)=(x1(t),…,xn(t))T為n維神經元狀態向量,

矩陣a(x(t),r(t))=diag(a1(x1(t),r(t)),…,an(xn(t),r(t)))為放大函數,b(x(t),r(t))=(b1(x1(t),r(t)),…,bn(xn(t),r(t)))T為神經元形為函數,Α∈Rn×n為連接權矩陣,g(x(t))=(g1(x1(t)),…,gn(xn(t)))T為神經元激勵函數。

假設2 存在正常數βil,使得對?x∈R, ?i∈S以及l=1,2,…,n,有

xbl(x,i)≥βilx2。

假設3 存在正定對角矩

使得對?x,y∈R

且x≠y以及l=1,2,…,n,有

為了研究神經網絡(2)的穩定性,假設g(0)=0,故神經網絡(2)存在平凡解x(t)=0。……