Neumann邊界下的反應(yīng)項非局部擴散方程爆破研究①

張敏華

(福州大學(xué)陽光學(xué)院,福建 福州 350015)

0 引 言

反應(yīng)擴散方程理論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的組成內(nèi)容，在空間上普遍存在著非局部作用。人們通過卷積算子可以對生態(tài)系統(tǒng)以及材料科學(xué)領(lǐng)域中空間上的非局部作用進行描述，這就是所謂的非局部擴散方程。非局部性使得反應(yīng)擴散方程更為復(fù)雜化，眾多研究學(xué)者對于反應(yīng)非局部方程的行波解、穩(wěn)定性、爆破以及熄滅等方面進行了大量的研究[1]。

1 文獻綜述

(1)

國內(nèi)眾多研究學(xué)者也對非局部擴散方程的爆破解進行了研究，王玉蘭對非局部擴散方程(2)，方程中的m和p大于0和1，在光滑連通區(qū)域內(nèi)的方程存在有限時刻爆破解[4]；杜宛娟與裴海杰同樣對上述類似的方程在Neumann邊界條件下的爆破進行研究證明非負非平凡的解在有限時間T內(nèi)爆破，并對解的生命跨度進行了估計和確定了爆破速率為1/k[4]；

(2)

韓玉柱等人通過采用積分不等式對擴散方程的初值假設(shè)條件進行了弱化處理證明了正解存在全局爆破性質(zhì)并對爆破集進行了估計，并對Neumann邊界條件下的帶有反應(yīng)項的非局部擴散方程(3)進行了爆破研究，通過研究證明指出當(dāng)p大于1時非負非平凡解在有限石刻爆破[5]。

(3)

基于此，探討帶有指數(shù)型反應(yīng)項的非局部擴散方程如(4)所示，

(4)

(5)

T

(6)

定理3： 假定u是問題(4)的解，并在在時刻T爆破，那么解的爆破時間則可以用公式(7)表示，如下所示。

(7)

2 解的局部存在性、唯一性與比較原理

2.1 解的局部存在性、唯一性

那么可以明顯看到方程的解正好是映射在某一個球形區(qū)域的不動點?！?br>