陶瓷大板拋光加工軌跡運動規律修正

徐斌

（廣東科達潔能股份有限公司，佛山528313）

1 前言

大，成了我們這個時代最好的寫真。我們可以看到，從2018年佛山潭洲陶瓷展之后，整個中國都在往大板上走[1]。豈止于大，已經成為了各個陶瓷企業追趕的目標，大板一夜之間如梨花前進千家萬家，同時我們也發現規格再也不是我們傳統的統一規格，而是根據不同品牌的定位及戰略壁壘而開發屬于自己價值體系的規格。

2018年潭洲陶瓷設備展會和廣州陶瓷工業展會同步展出了陶瓷大板的加工設備，陶瓷所有的深加工設備都在圍繞著陶瓷大板而創新開發。陶瓷大板拋光機還是沿用傳動擺動式拋光機，唯一不同的是機床加寬。陶瓷大板采用現有擺動式拋光機加工之后，會出現平整度差的問題。因為橫梁從陶瓷大板的一端擺動到另外一端時，采用的是同一個速度。陶瓷大板中間位置磨削的時間長，邊緣磨削的時間短，造成了磨削不均勻的現象。為了解決這個問題，在起始和終點的位置速度慢，在中間的位置擺動速度快。

目前高校學者和企業工程師在分析擺動式拋光軌跡時，都是采用正弦或者余弦曲線不模擬[2、3]，或者直接建立梯形軌跡去說明。這樣就脫離了加工實際。

本文在前人研究的基礎上，立足實際。對陶瓷大板擺動式拋光加工軌跡運動規律進行修正，并建立修正模型。建立修正后拋光加工軌跡運動規律的基本運動規律數學模型，并將基本運動規律進行組合并建模。修正后的拋光加工軌跡運動規律由剛性沖擊變為柔性沖擊。

2 現有陶瓷大板拋光加工軌跡的運動規律

圖1所示為陶瓷大板拋光機擺動加工瓷磚原理圖。陶瓷大板表面的加工軌跡由橫梁擺動、陶瓷大板直線進給運動，這兩個運動合成的運動軌跡，其合成運動軌跡為一個之字形或梯形軌跡。如果橫梁擺動到陶瓷大板兩端不作停留，那么形成的就是一個字形軌跡，圖2（a）。如果橫梁擺動到陶瓷大板兩端作停留，那么就形成梯形軌跡，如圖2（b）。目前瓷磚所有的拋光機在瓷磚加工過程中，都會在瓷磚邊緣作短暫的停留，目的就是為了消除瓷磚邊緣的漏拋部分和暗影。因此，目前陶瓷磚加工領域不論是普通瓷磚還是陶瓷大板加工所形成的加工軌跡都是梯形軌跡。

圖2（b）中所示的梯形加工軌跡由AB、BC、CD及DE四段曲線組成，而且BC、DE兩段為水平直線，AB、CD為傾斜直線。

磨頭中心點與瓷磚在A點接觸時，橫梁處在最低位置。當磨頭在橫梁的驅動下，開始向上移動時，陶瓷大板也在均速向前移動。因此磨頭才陶瓷大板表面的加工軌跡，沿著斜直線AB，由最低點位置A被推到最高位置B，橫梁處在了最高位置。橫梁的這一過程稱為推程。橫梁從最地位置擺動到最高位置之間的距離稱為推程擺動幅度，用h0表示，所用的時間為t0。因此推程擺動的速度為v0=h0/t0。相應的在t0時間內，陶瓷大板直線進給的距離為s0，因此陶瓷大板直線進給的速度為v1=s0/t0。稱s0為陶瓷大板推程進給量。

橫梁到達最高位置，磨頭中心處在最高位置B時，橫梁開始處在這個位置作短暫的停留。磨頭中心在陶瓷大板表面上的位置由B移動到C位置。所用的時間為t1，所走過的距離為s1，s1=v1×t1，因為陶瓷大板作直線勻速運動，所以速度還是v1。橫梁處在最高位置而靜止不動，這一過程稱為遠休。在這段時間內，陶瓷大板所進給的距離s1稱為陶瓷大板遠休進給量。

而后，橫梁開始由最高位置向下擺動回到最低位置，磨頭中心位置由最高點C到達最低點D。橫梁在向下擺動的同時，陶瓷大板依舊在作勻速直線進給運動。因此，磨頭的中心在陶瓷大板表面所走過的軌跡CD還是一條斜直線。橫梁的這一過程稱為回程。橫梁的回程擺動幅度值與推程是一樣的，因此還是用h0表示，所用的時間也是一樣的，因此還是用為t0。因此回程擺動的速度為也是一樣的，用v0表示。相應的在橫梁回程的t0時間內，陶瓷大板直線進給的距離為s2，與推程時是一樣的，s0=s2。因此陶瓷大板直線進給的速度為v1=s2/t0。稱s2為陶瓷大板推程進給量。

最后，橫梁到達最高位置，磨頭中心處在最低位置D時，橫梁開始處在這個位置作短暫的停留。磨頭中心在陶瓷大板表面上的位置由D移動到E位置。所用的時間為t1，與遠休時是一樣的，所走過的距離為s3，s3=v1×t1，因為陶瓷大板作直線勻速運動，所以速度還是v1。橫梁處在最高位置而靜止不動，這一過程稱為近休。在這段時間內，陶瓷大板所進給的距離s3稱為陶瓷大板近休進給量。然后再從E點開始推程，周而復始，不斷的重復這一過程。

3 現有陶瓷大板拋光加工軌跡線圖分析

由上所述可知，磨頭在橫梁驅動下沿著橫向擺動，同時陶瓷大板不斷的勻速直線進給。因此磨頭中心在陶瓷大板表面的上加工運動軌跡，由四段組成：推程段、遠休段、回程段、近休段。本文選擇推程段分析加工運動軌跡線圖，如圖3所示。

磨頭中心點在陶瓷大板表面所形成的加工軌跡，是由兩種運動的合成。橫梁的擺動和陶瓷大板的直線運動。因此，在推程段，由于兩種運動的合成，磨頭在陶瓷大板表面上的加工軌跡是一條斜直線，如圖3中的AB線段。磨頭總A點運動到B點是勻速運動。磨頭在等速運動過程中加速度為零。但在推程開始位置A，由于速度由零突變為v0，故在該瞬時的加速度為+∞。同理，在推程終止位置B，速度由v0突變為零，進入遠休段，其加速度趨于-∞。在這兩個位置，由于速度的瞬時變化而產生理論上無限大的加速度。由加速度產生的慣性力在理論上也由零突變為無窮大，致使機構產生強烈的沖擊，其太小決定于該設備的撓性。這種在某瞬時速度突變，其加速度及慣性力在理論上趨于無窮大時所引起的沖擊稱作剛性沖擊，雖然實際上由于材料的彈性變形，加速度和慣性力不會達到無窮大，但沖擊還是相當強烈的。

此加速度使橫梁產生高度的陡振，磨頭在陶瓷大板表面的邊緣位置，會產生西瓜皮一樣的磨痕，影響了瓷磚表面質量。

4 現有陶瓷大板拋光加工軌跡修正方法

目前陶瓷大板之字形加工軌跡、梯形軌跡，在陶瓷大板邊緣處都會發生“陡振”觀象。所以這種停留-上升-停留的軌跡曲線并不實用。為消除等速運動規律的這種不良現象，常對起始點與終止點的運動規律進行必要的修正。

如果既要采用等速運動規律，又要避免剛性沖擊，可將等速運動規律作些修正。有兩種方法：第一種是圓弧修正。如圖4所示，將軌跡曲線的始末兩小段直線改成圓弧，為避免速度突變，圖中斜直線必須分別與兩端的圓孤相切。顯然，修正后的OA和BC區域內，磨頭在陶瓷大板表面不再保持等速運動。設計時可根據工作要求，在滿足所需的等速部分情況下，盡量選取較大的圓弧半徑r值。

第二種是拋物線修正。如圖5所示，將軌跡曲線的始末兩小段直線改成拋物線，為避免速度突變，圖中斜直線必須分別與兩端的拋物線相切。顯然，修正后的OA和BC區域內，磨頭在陶瓷大板表面不再保持等速運動。

從上述兩種加工軌跡修正方法看出，原來的加工軌跡斜直線AB被修正了三段，OA段是加速段，AB是勻速段，BC是減速段。是由三段不同的軌跡線組成。上述只是推程階段的，回程階段修正與推程一樣，不再詳述。

5 磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡修正后的運動規律

修正之后的磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡運動規律有兩種中基本運動規律組成，一種是等速運動規律；二是等加速等減速運動規律。下面分別介紹這兩種基本規律。

加工運動基本規律指磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡位移s、速度v、加速度a隨著時間t的變化規律。它全面反映了磨頭橫向擺動的運動特性及其變化的規律性。

5.1 等速運動規律（一次多項式運動規律）

在推程時，橫梁從陶瓷大板的一個邊緣位置，擺動到另外一個邊緣位置，橫梁完成行程h，在橫梁完整一個推程時間t之內，陶瓷大板以勻速直線速度v進給量為x。如圖6所示，當采用一次多項式運動規律時，則有：，將待定系數代入（1）式并整理，可得出橫梁在推程時的，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

回程階段，x∈[0，x2]，設取邊界條件為：

在始點處：x=0，y=h；在終點處：x=x2，y=0

在推程階段，x∈[0，x1]，設取邊界條件為：

在始點處：x=0，y=0；在終點處：x=x1，y=h

代入則由式（1）可解出待定常數，c0=0，c1=h x1定系數代入（1）式并整理，可得出橫梁在回程時的，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

由上式可知，橫梁擺動與陶瓷大板的直線進給運動合成運動是按等速運動規律運動。因此，磨頭在陶瓷大板表面的加工軌跡運動是一次函數，故加工軌跡位移曲線是一條斜直線。加工軌跡按等速運動規律變化時的運動線圖如圖6所示。

5.2 等加速等減速運動規律（二次多項式運動規律）

在推程期中，為了避免在運動的起始位置和終點位置產生速度突變，必須采用兩個不同二次項方程式。一個方程式使橫梁作等加速運動，另一個方程式作等減速運動，構成等加速等減速運動規律。等加速等減速運動規律是指橫梁在一個運動行程中，前半段作等加速運動，后半段作等減速運動。因此，磨頭在陶瓷大板表面的運動規律是二次多項式運動規律，當采用二次多項式運動規律時，其表達式為：

由上式可見，這時橫梁擺動的加速度為常數。為了保證橫梁運動的平穩性，通常應使橫梁先作加速運動，后作減速運動。設在加速段和減速段，陶瓷大板進給量及橫梁擺動的行程各占一半，即：

如圖 7 所示，在推程的前半段，x∈[0，x1]，這時，推程加速段的邊界條件為：

上述兩種運動規律的結合，構成橫梁擺動的等加速等減速運動規律。由圖7可見，其在O、B、C：三點橫梁擺動的加速度有突變，因而橫梁運動的慣性力也將有突變，不過這一突變為有限值，因而引起的沖擊較小，故稱這種沖擊為柔性沖擊。

如圖 8 所示，在回程的前半段，x∈[0，x4]，這時，回程加速段的邊界條件為：

由式上式可知，回程階段橫梁擺動也是按等加速等減速運動規律運動。磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡位移曲線為陶瓷大板進給量的二次函數，為拋物線方程回程階段橫梁擺動按等加速等減速運動規律變化時的運動線圖如圖8所示。

由加速度線圖可知，0、A、B、C、D五點的加速度有突變，因而橫梁擺動的慣性力也有突變。由于加速度的突變為一有限值，慣性力的突變也是有限值。對橫梁和磨頭機構的沖擊也是有限的。

5.3 拋光加工軌跡基本運動規律的組合

前面的分析可知，磨頭在陶瓷大板表面的加工軌跡是之字形和梯形兩種，但是這種加工軌跡的運動有弊端，在起始和終點位置加速度無限大，因而產生劇烈的慣性沖擊，為了消除單純的等速運動規律所導致的剛性沖擊，在運動的起始區段和終止區段上劃分出一部分進給量范圍改用其他類型的運動規律，即構成修正型等速運動規律。在起始和終點位置進行圓弧修正。由剛性沖擊變為柔性沖擊。磨頭在陶瓷大板表面的加工軌跡就是由多種曲線組合而成的，不再是單一的斜線或直線了。

為了獲得更好的運動特性和動力特性，把上述幾種基本運動規律曲線拼接起來，構成組合運動規律。構造組合運動規律時，選擇一種等速運動規律作為主體，再用等加速等減速運動規律與其拼接。拼接時應遵循以下原則：

（a）位移曲線和速度曲線（包括運動的起始點和終止點）必須連續，以避免剛性沖擊。

（b）當用不同運動規律組合時，它們在連接點處的位移、速度和加速度值應分別相等，這是運動規律組合時必須滿足的邊界條件。

圖9所示是用二次項運動規律修正等速運動規律的推程段運動線圖。加工軌跡運動曲線均由三部分組成，即等加速區段、等速區段和等減速區段。為了實現位移曲線連續和速度曲線無突變，加速區段和減速區段的陶瓷大板進給量x7和x8以及對應的橫梁位移量h1和h2必須滿足以下條件。三段運動方程式分別為：

（1）推程起始加速段。

如圖 9 所示，在推程的起始段，x∈[0，x7]，這時，推程加速段的邊界條件為：

在始點處：x=0，y=0，v=0；在終點處：x=x7，y=h1

（2）推程中間等速段。

如圖 9 所示，在推程的中間段，x∈[x7，x9-x8]，這時，推程等速段的邊界條件為：

在始點處：x=x7，y=h1；在終點處：x=x9-x8，y=h-h2

代入則由式 （1）、（11）、（14） 可解出待定常數，

將待定系數代入（14）式并整理，可得出橫梁在推程等速段，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

（3）推程結束減速段。

如圖 9 所示，在推程的結束段，x∈[x9-x8，x9]，推程結束減速段的邊界條件為：

在始點處：x=x9-x8，y=h-h2；在終點處：x=x9，y=h，v=0

代入則由式（16）（12） 可解出待定常數，c0=h，c1=0，將待定系數代入（16）式并整理，可得出橫梁在推程結束等減速段，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

上述橫梁推程過程中，是將三種不同的基本運動規律組合起來，為了保證加工軌跡運動曲線的連續性，修正組合后的運動規律應滿足的條件是，相互組合的兩種運動規律曲線在銜接處的位移、速度、加速度必須分別相等。

推程起始加速段與推程中間等速段運動曲線在處銜接。在該點處這兩種運動規律曲線的速度分別相等，公式如下：

推程中間等速段與推程結束減速段運動曲線在x=x9-x8處銜接。在該點處這兩種運動規律曲線的速度分別相等，公式如下：

聯立（18）（19）式得：

由（21）式得出：

由（22）式得出：

由（21）式得出：

將其代入（21）式得：

由（25）式得出：

為了實現位移曲線連續和速度曲線無突變，加速區段和減速區段的陶瓷大板進給量x7和x8以及對應的橫梁位移量h1和h2必須滿足（23）式或（26）式。

在橫梁擺動到陶瓷大板的兩端位置時，所擺動的幅度預先確定位移量h1和h2作為修正區段的位移時，可按式（23）求得對應的陶瓷大板直線進給量x7和x8；若預先給定 x7和 x8則可按式（26）求得 h1和 h2。

（4）橫梁遠休段。

如圖10所示，橫梁在陶瓷大板遠處邊緣停留一段時間，只有陶瓷大板在不斷的進給。因此，橫梁擺動遠休段，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程為：

式中：v1——陶瓷大板直線進給速度，mm/s。t1——橫梁遠休時間，s。

（5）回程起始等加速段。

如圖10所示，在回程起始等加速段，x∈[x11，x13]，這時，回程起始等加速段的邊界條件為：

在始點處：x=x11，y=h，v=0；在終點處：x=x13，y=h2

代入則由式（4）（28）可解出待定常數，c0=h，c1=0，c2=將待定系數代入（28）式并整理，可得出橫梁在回程起始等加速段，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

因為：x13-x11=x12

所以，（29）式整理為：

（6）回程中間等速段。

如圖 10 所示，在回程中間等速段，x∈[x13，x15-x14]，設取邊界條件為：

在始點處：x=x13，y=h-h2；在終點處：x=x15-x14，y=h1

代入則由式（1）（31） 可解出待定常數，c0=h-h2，c1=將待定系數代入（31）式并整理，可得出橫梁在回程中間等速段時，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

（7）回程結束等減速段。

如圖 10 所示，在回程結束等減速段，x∈[x15-x14，x14]，這時，回程結束減速段的邊界條件為：

在始點處：x=x15-x14，y=h1；在終點處：x=x15，y=0，v=0

代入則由式（4）（33）可解出待定常數，c0=0，c1=0，c2=將待定系數代入（33）式并整理，可得出橫梁在回程結束等減速段，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程：

上述橫梁回程過程中，也是將三種不同的基本運動規律組合起來，為了保證加工軌跡運動曲線的連續性，修正組合后的運動規律應滿足的條件是相互組合的兩種運動規律曲線在銜接處的位移、速度、加速度必須分別相等。

回程起始加速段與回程中間等速段運動曲線在x=x13處銜接。在該點處這兩種運動規律曲線的速度分別相等，公式如下：

回程中間等速段與回程結束減速段運動曲線在x=x15-x14處銜接。在該點處這兩種運動規律曲線的速度分別相等，公式如下：

聯立（35）（36）式得：

因為：

所以：

由（38）式得出：

由（39）式得出：

由（38）式得出：

將其代入（38）式得：

由（42）式得出：

為了實現位移曲線連續和速度曲線無突變，加速區段和減速區段的陶瓷大板進給量x12和x14以及對應的橫梁位移量h1和h2必須滿足（40）式或（43）式。

在橫梁擺動到陶瓷大板的兩端位置時，所擺動的幅度預先確定位移量h1和h2作為修正區段的位移時，可按式（40）求得對應的陶瓷大板直線進給量x12和x14；若預先給定x12和x14則可按式（43）求得h1和h2。

（8）回程近休段。

如圖10所示，橫梁在陶瓷大板近處邊緣停留一段時間，只有陶瓷大板在不斷的進給。因此，橫梁擺動近休段，磨頭在陶瓷大板表面的運動軌跡運動方程為：

式中：v1——陶瓷大板直線進給速度，mm/s。t3——橫梁遠休時間，s。

上述八段曲線組合為橫梁擺動一個完整的周期，陶瓷大板作均勻直線進給，在橫梁擺動和陶瓷大板直線進給運動，這兩種運動組合下，磨頭在陶瓷大板表面的一個完整的運動軌跡，如圖10所示。

該運動軌跡是梯形軌跡修正之后得到的，消除了梯形軌跡在起始和終點位置加速度無限大造成的慣性沖擊，經過修正之后，在起始和終點位置將剛性沖擊變為柔性沖擊。減少了機構陡振，消除了因陡振在陶瓷大板表面邊緣位置產生的西瓜皮紋路。

6 陶瓷大板拋光加工軌跡修正后工藝參數確定

（1）推程和回程時間確定。

由前面的分析可知，橫梁擺動一個完整的周期由四個部分組成：推程、遠休、回程、近休。其中推程和回程時間相等，遠休和近休時間相等。

橫梁的擺動頻率是指一分鐘之內，橫梁的擺動次數，用n表示。

因此，推程和推程時間的確定公式為：

推程時間又由三部分組成：推程等加速度時間、推程等速時間、推程等減速時間。推程等加速度時間與推程等減速時間相等，這個時間是人為提前給出的。因此推程等速時間為：

（2）橫梁擺動等加速段、等減速段距離的確定。

陶瓷大板直線進給速度是根據瓷磚廠家根據產量計算出來的，是已知的。推程等加速度時間與推程等減速時間也是廠家設定給出的，是已知的。因此公式（26）中的各參數的計算如下：

由（47）代入（26）得出 h1、h2

（3）橫梁擺動等加速段、等速段、等減速段，橫梁的擺動速度與陶瓷大板直線進給速度之間的關系。

公式（48）中的u大板進給=v大板進給表達的都是陶瓷大板的直線進給速度，在前面公式中用的都是u大板進給表示。

橫梁擺動等加速段、等速段、等減速段的公式都可以直接變換為橫梁的擺動速度與陶瓷大板直線進給速度之間的關系式。

例如：推程公式（15）中等速段的公式。得出該段橫梁的擺動速度與陶瓷大板直線進給速度之間的關系

只要知道陶瓷大板的進給速度就可以對應計算出橫梁擺動的速度。

（4）一個擺動周期內，各邊界參數的確定。

一個擺動周期內，各邊界參數的確定公式如下：

將其分別帶入公式（13）（15）（17）（27）（29）（32）（34）（44）中，確定各個參數以及邊界參數。

（5）磨頭配置數量的確定。

一個橫梁擺動周期之內，磨頭在陶瓷大板表面的加工軌跡是一個修正之后的類梯形波形。為了覆蓋陶瓷大板表面，不出現漏拋，在這個類梯形波的空白區域配置多個磨頭。也就是多少個磨頭為一組才能覆蓋陶瓷大板表面。

由圖10看出，修正之后的類梯形波空白間距是x15，磨頭的間距為w。一個橫梁擺動周期之內，磨頭配置數量N為：

粗、中、精拋三道工序中的拋光機，配置12組不同磨粒度的磨塊才會完美的拋光陶瓷大板。因此，配置磨頭的總數為12N。

7 結論

磨頭在陶瓷大板表面的加工軌跡的運動規律是梯形或者之字形，會在起始和終點位置產生剛性沖擊，為此對加工軌跡的運動規律進行修正，得出的結論如下：

（1）修正之后的磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡運動規律有兩種中基本運動規律組成，一種是等速運動規律；二是等加速等減速運動規律。

（2）建立了等速運動規律、等加速等減速運動規律數學模型。

（3）在運動的起始區段和終止區段上劃分出一部分進給量范圍改用等加速運動規律、等減速運動規律，即構成修正型等速運動規律。

（4）磨頭在陶瓷大板表面的修正后的加工軌跡就是由如下八種曲線組合：推程起始等加速曲線、推程中間等速曲線、推程結束等減速曲線、遠休曲線、回程起始等加速曲線、回程中間等速曲線、回程結束等減速曲線、近休曲線。并分別建立了這八種曲線的數學模型。

（5）給出修正之后的磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡運動規律的工藝參數。

修正之后的磨頭在陶瓷大板表面加工軌跡運動規律，由剛性沖擊變成柔性沖擊，減小了陡振造成的慣性沖擊。