一種曲面-彈簧-滾子機構的非線性隔振器特性分析

韓俊淑， 孫景工， 孟令帥

(軍事醫(yī)學科學院 衛(wèi)生裝備研究所，天津 300161)

本文設計了一種曲面-彈簧-滾子機構的準零剛度非線性隔振器，如圖1所示，該機構采用曲面-彈簧-滾子獲得負剛度，具有承載力大、結(jié)構尺寸小、簡單實用等特點。文中對所設計的隔振器開展了動態(tài)特性研究，針對系統(tǒng)平衡點不在隔振器最小剛度點的情況，研究了最小剛度分別為零剛度與正剛度時，不同激勵幅值、偏移量、阻尼比條件下的系統(tǒng)動態(tài)特性，并開展了相關實驗驗證研究。

1 隔振器模型

1.1 曲面-彈簧-滾子隔振器

如圖1所示，所設計的曲面-彈簧-滾子機構包括豎直彈簧1、水平彈簧2、支架3、滾子4及曲面座5等。曲面座與車廂地板或其他基座相連，支架用于支撐載質(zhì)量且隨豎直彈簧上下運動，滾子可在曲面座軌道內(nèi)上下滾動，假設滾子與曲面座始終處于接觸狀態(tài)。圖1(a)、(b)所示分別為該機構處于初始位置和平衡位置的狀態(tài)，當機構處于平衡位置時，滾子與曲面座的曲面頂點接觸，機構各參數(shù)如圖中所示，kv為豎直彈簧剛度；kh為水平彈簧剛度；uv為豎直彈簧預壓縮量；uh為水平彈簧預壓縮量。

(a) 初始位置(b) 平衡位置

圖1 非線性隔振器的結(jié)構示意圖

Fig.1 The schematic representation of the nonlinear vibration isolator

建立如圖1(a)所示坐標系，設滾子初始位置球心坐標為(x0,y0)，滾子在曲面座軌道內(nèi)向下滾動到任意位置(x,y)，根據(jù)受力平衡，得到被隔振物體在豎直方向的力和位移的關系：

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 系統(tǒng)回復力近似

(5)

(6)

2 動態(tài)特性分析

2.1 動力學模型的建立

(7)

式中：“-”代表欠載狀態(tài)。

(a) 過載狀態(tài)

(b) 欠載狀態(tài)

假設系統(tǒng)在過載或欠載條件下達到靜力平衡后，受到來自基座或車廂地板的諧波位移激勵z=Z0cos(ωt)，根據(jù)牛頓第二定律，建立系統(tǒng)非線性運動微分方程為：

(8)

得到系統(tǒng)的無量綱近似穩(wěn)態(tài)運動微分方程為：

(9)

(10)

采用諧波平衡法對上式求解，設該穩(wěn)態(tài)響應解的形式為：

(11)

式中：A0、A1分別為穩(wěn)態(tài)響應解的常數(shù)項及諧波項幅值。

將式(11)代入式(10)，忽略高次諧波項，并令相同類別的諧波項系數(shù)及常數(shù)項相等，得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)條件為：

(12a)

(12b)

(12c)

由式(12b)、(12c)方程兩邊求平方和，可得系統(tǒng)幅頻響應函數(shù)為：

(13)

聯(lián)立式(12a)、(13)，可得到關于A0的隱函數(shù)方程：

(14)

去掉負剛度機構，可以得到與之對應的等效線性系統(tǒng)，其無量綱運動微分方程為：

(15)

該等效線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應幅值為

(16)

2.2 定義傳遞率

則系統(tǒng)絕對位移傳遞率表達式為：

(17)

絕對加速度傳遞率為系統(tǒng)響應無量綱絕對加速度幅值與無量綱激勵幅值的比值，即

(18)

可以看出，過載或欠載系統(tǒng)絕對位移傳遞率必大于其絕對加速度傳遞率。

對于等效線性系統(tǒng)，絕對位移傳遞率與絕對加速度傳遞率具有相同表達式，分別為

(19)

(20)

以上各式中cosφ可由式(12b)得到。

2.3 最小剛度為零時的特性分析

當系統(tǒng)最小剛度為零，即前文所建立的隔振器動力學模型中k1=0，可得過載(欠載)狀態(tài)下的系統(tǒng)近似穩(wěn)態(tài)動力學方程為：

(21)

采用諧波平衡法對上式求解，可得系統(tǒng)幅頻響應函數(shù)及常數(shù)項與諧波項幅值的隱函數(shù)方程[19]。設式(21)穩(wěn)態(tài)響應解為式(22)的形式，其中δ(τ)為解的微小擾動量。

(22)

將其代入式(21)，略去高階擾動量，并設δ(τ)=σ(τ)e-st，簡化后得到

6k3A0A1cos(Ωτ+φ)+

(23)

于是，根據(jù)Floquet理論，可得系統(tǒng)穩(wěn)定性條件為：

b0(b0-Ω2)2>0

(24)

當Δ>0時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，由此即可得到系統(tǒng)不穩(wěn)定解(各圖中不穩(wěn)定解以虛線表示)。

表1 諧波位移激勵條件下的參數(shù)取值

由傳遞率曲線可知，過載系統(tǒng)的絕對位移傳遞率永遠大于其絕對加速度傳遞率。在諧波位移激勵下，隨激勵幅值增大，過載系統(tǒng)絕對位移和加速度傳遞率峰值及與之對應的共振頻率均先減小后增大，當激勵幅值增大到一定值時，過載系統(tǒng)傳遞率峰值會出現(xiàn)無限大值，系統(tǒng)隔振性能變差。同一激勵條件下，隨偏移量增大，過載系統(tǒng)傳遞率曲線向左或先向左后向右偏，傳遞率峰值增大。隨阻尼比增大，三個系統(tǒng)在共振頻率附近的區(qū)間內(nèi)，傳遞率峰值減小，相應的共振頻率先減小后增大，高頻區(qū)域內(nèi)各系統(tǒng)傳遞率增大，高頻隔振性能下降。

(a) 幅頻響應曲線

(b) 傳遞率曲線

(“I組曲線”—絕對加速度傳遞率，“II組曲線”—絕對位移傳遞率，“III組曲線”—理想系統(tǒng)傳遞率，“IV組曲線”—等效線性系統(tǒng)傳遞率，“虛線”—不穩(wěn)定解)

圖3 不同偏移量與激勵幅值條件下的幅頻響應與傳遞率曲線

Fig.3 FRCs and Transmissibility Curves of different offset displacements and excitation amplitudes

(a) 幅頻響應曲線

(b) 傳遞率曲線

(“I組曲線”—絕對加速度傳遞率，“II組曲線”—絕對位移傳遞率，“III組曲線”—理想系統(tǒng)傳遞率，“IV組曲線”—等效線性系統(tǒng)傳遞率，“虛線”—不穩(wěn)定解)

圖4 不同偏移量與阻尼比條件下的幅頻響應與傳遞率曲線

Fig.4 FRCs and Transmissibility Curves of different offsetdisplacements and damping ratio

2.4 最小剛度為正值時的特性分析

當系統(tǒng)最小剛度為正值，即前文所建立的隔振器動力學模型中k1>0，依據(jù)式(13)、(17)(18)可分別研究系統(tǒng)頻響特性與傳遞率特性，激勵幅值、偏移量等具體參數(shù)設置見表2。

表2 諧波位移激勵條件下的參數(shù)取值

如圖5所示，為不同偏移量及線性剛度系數(shù)下的系統(tǒng)頻響曲線，圖中給出了最小剛度為零系統(tǒng)與等效線性系統(tǒng)的頻響曲線作為比較。

如圖5(a)，過載系統(tǒng)在給定的較小激勵幅值下，未出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。系統(tǒng)響應的諧波項峰值隨線性剛度系數(shù)變大而增大，系統(tǒng)響應常數(shù)項則隨線性剛度系數(shù)變大而減小。隨著線性剛度系數(shù)增大，過載系統(tǒng)最小剛度從零逐漸增大，其共振頻率先減小后增大，系統(tǒng)響應的諧波項幅值逐漸增大，而常數(shù)項幅值峰值逐漸減小，即系統(tǒng)響應距離原平衡點的靜態(tài)偏移量越小。換句話說，當非線性隔振器具有一定的線性剛度系數(shù)時，過載系統(tǒng)卻可能具有更低的共振頻率。

如圖5(b)，具有較大偏移量的過載系統(tǒng)同樣具有如圖5(a)的頻響特性。區(qū)別在于，隨著線性剛度系數(shù)增大，共振頻率低于零剛度過載系統(tǒng)的系統(tǒng)數(shù)量增多，也就是說在較小激勵幅值條件下，對于較大偏移量的系統(tǒng)來說，隨線性剛度增大過載系統(tǒng)共振頻率先減小后增大的現(xiàn)象更明顯。

由圖5(c)可以看出，激勵幅值增大，系統(tǒng)非線性明顯增強，出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。隨著線性剛度系數(shù)增大，系統(tǒng)共振頻率先減小后增大，系統(tǒng)表現(xiàn)為漸軟-漸硬及漸硬剛度特性。與較小激勵幅值的情況相比，具有較大的正剛度且其共振頻率低于最小剛度為零過載系統(tǒng)的系統(tǒng)數(shù)量呈減少趨勢。

(a) 較小激勵幅值較小偏移量的情況

(b) 較小激勵幅值較大偏移量的情況

(c) 較大激勵幅值情況

(“1”：k1=0，“2”：k1=0.005， “3”：k1=0.02，“4”：k1=0.05，“5”：k1=0.1，“6”—線性系統(tǒng))

圖5 不同偏移量與激勵幅值條件下的系統(tǒng)頻響曲線

Fig.5 FRCs of different offset displacements and damping ratio

由以上分析可以看出，對于較小激勵幅值作用下的過載系統(tǒng)來說，若希望獲得更低的共振頻率，令系統(tǒng)擁有一個相對較小的正剛度比單純追求低剛度更行之有效。這是由于一旦存在過載，系統(tǒng)響應中必然存在常數(shù)項，它會使系統(tǒng)響應的振動中心偏離靜平衡位置一定距離，剛度越低，這種偏離越嚴重。

圖6 不同激勵幅值下的過載系統(tǒng)絕對加速度與位移傳遞率曲線

Fig.6 Absolute acceleration and displacement transmissibility curves of different excitation amplitudes

3 試驗驗證

為了驗證理論分析的正確性，構建了該曲面-彈簧-滾子機構的非線性隔振器原理樣機及振動試驗平臺，并開展了隔振器振動試驗研究，如圖8所示。

圖7 不同線性剛度系數(shù)下的系統(tǒng)絕對加速度與位移傳遞率曲線

Fig.7 Absolute acceleration and displacement transmissibilitycurves of different linear coefficients

1.信號發(fā)生控制器；2.DASP信號采集系統(tǒng)；3.非線性隔振系統(tǒng);4.液壓振動臺;5.計算機,6.響應加速度傳感器;7.被隔振物體;8.隔振器;9.固定夾具;10.激勵加速度傳感器

圖8 振動試驗平臺現(xiàn)場

Fig.8 Experimental setup

利用液壓振動臺，搭建了振動實驗平臺，并開展了優(yōu)化前后隔振器隔振性能和過載條件下隔振器隔振性能測試試驗，如圖8所示。系統(tǒng)受到來自液壓振動臺的正弦位移激勵，激勵頻率0.2～15 Hz，設定不同激勵幅值分別為3、3.5、4、4.5、5 mm，超載質(zhì)量為2 kg和4 kg。分別在液壓振動臺與被隔振物體表面布置加速度傳感器，通過DASP數(shù)據(jù)采集分析軟件采集兩者在不同頻率位移激勵下的振動響應，分別得到隔振系統(tǒng)響應與位移激勵的均方根值，二者之比即為隔振系統(tǒng)傳遞率。

系統(tǒng)受到來自液壓振動臺的正弦位移激勵，激勵頻率為0.2～15 Hz，設定不同激勵幅值分別為3、3.5、4、4.5、5 mm，超載質(zhì)量為2 kg和4 kg。分別在液壓振動臺與被隔振物體表面布置加速度傳感器，通過DASP數(shù)據(jù)采集分析軟件采集兩者在不同頻率位移激勵下的振動響應，分別得到隔振系統(tǒng)響應與位移激勵的均方根值，二者之比即為隔振系統(tǒng)傳遞率。不同激勵幅值條件下，過載系統(tǒng)的實際加速度傳遞率曲線，如圖9所示。可以看出，隨激勵幅值增大，過載系統(tǒng)的傳遞率峰值及與之相對應的共振頻率呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律，與前文理論仿真分析的結(jié)果一致。但由于系統(tǒng)阻尼較大，試驗并未出現(xiàn)非線性現(xiàn)象，這也印證了增大阻尼可使系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象消失，避開不穩(wěn)定區(qū)域的分析結(jié)論。圖10所示為在3 mm激勵幅值的諧波位移激勵下，不同超載質(zhì)量系統(tǒng)的傳遞率對比圖。可以看出，隨著超載質(zhì)量增大，系統(tǒng)偏移量增大，隔振系統(tǒng)傳遞率曲線峰值和響應的共振頻率均增大，但隔振性能依然優(yōu)于線性系統(tǒng)。

(“1”-3 mm； “2”-3.5 mm； “3”-4 mm； “4”-4.5 mm； “5”-5 mm)

4 結(jié) 論

本文采用曲面、彈簧、滾子構成的負剛度機構設計了一種非線性隔振器，得到了隔振器具有零剛度的參數(shù)條件，建立了過載系統(tǒng)的非線性動力學方程，定義了絕對位移傳遞率與絕對加速度傳遞率；分別研究了隔振器最小剛度為零和為正值時，過載系統(tǒng)的動態(tài)特性。結(jié)果表明，最小剛度為零的過載系統(tǒng)，在諧波位移激勵下，隨激勵幅值增大呈現(xiàn)漸軟或漸軟-漸硬、漸硬及無限大響應漸硬的剛度特性；隨偏移量減小，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應解常數(shù)項幅值、諧波項幅值及相應的共振頻率均越小，系統(tǒng)隔振頻率范圍擴大，且最低隔振起始頻率降低，但始終大于偏移量為零時的值；適當?shù)臏p小偏移量和激勵幅值大小，可提高系統(tǒng)隔振性能，增大阻尼比，可減小系統(tǒng)響應幅值峰值，避免過載系統(tǒng)可能存在的跳躍現(xiàn)象與不穩(wěn)定區(qū)域，但卻以犧牲高頻區(qū)域內(nèi)隔振性能為代價而提高其低頻隔振性能。最小剛度為正值時，當激勵幅值較小且系統(tǒng)偏移量較小時，隨最小剛度由小到大，過載系統(tǒng)響應的諧波項峰值增大而常數(shù)項峰值減小，共振頻率先減小后增大，出現(xiàn)共振頻率最小的系統(tǒng)為具有一定正剛度系統(tǒng)的現(xiàn)象；當激勵幅值較小且系統(tǒng)偏移量增大，隨最小剛度由小到大，共振頻率最小的系統(tǒng)所對應的正剛度增大；當系統(tǒng)偏移量較小而激勵幅值增大時，隨系統(tǒng)最小剛度增大，共振頻率最小的系統(tǒng)所對應的正剛度值減小。故，對于受較小激勵的過載系統(tǒng)而言，若希望獲得較小的共振頻率，可使系統(tǒng)具有一定正剛度。

(“1”—2 kg， “2”—4 kg， “3”—線性系統(tǒng))

通過實驗研究驗證了最小剛度為零條件下過載系統(tǒng)的隔振特性。結(jié)果表明，隨著激勵幅值增大，過載系統(tǒng)傳遞率峰值及與之相應的共振頻率先減小后增大；隨著偏移量減小，系統(tǒng)傳遞率曲線峰值和響應共振頻率減小；當阻尼比過大時，實際傳遞率曲線并未出現(xiàn)非線性現(xiàn)象，阻尼比增大有助于消除系統(tǒng)跳躍現(xiàn)象和不穩(wěn)定區(qū)域。與線性隔振器相比，即使是過載或欠載使用，具有負剛度機構的隔振器仍然具有很好的低頻隔振性能，因此負剛度機構是一種非常有效的減小共振頻率的方法。

在該類非線性隔振器的設計與使用中，選擇設置合理的剛度系數(shù)、阻尼系數(shù)，并適當限制其所能承受的最大激勵幅值，以保證系統(tǒng)具有較低的共振頻率并避免出現(xiàn)響應幅值過大，使隔振器具有較好的隔振性能。本文為該類隔振器的實現(xiàn)提供了一套非常有用的設計方法，能夠今后該類非線性隔振器的設計提供很好的參考與借鑒。