關(guān)于四面體一個(gè)不等式猜想的證明

西安交通大學(xué)附屬中學(xué) (郵編：710054)

設(shè)rij是四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點(diǎn)P到棱AiAj(1≤i

1997年，樊益武[1]證明了當(dāng)P為四面體的重心時(shí),有

①

2000年，唐立華[2]證明了當(dāng)P為四面體的費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)不等式①成立，同時(shí)猜想當(dāng)P為四面體內(nèi)任意一點(diǎn)時(shí)不等式①成立.2005年冷崗松在[3]中再次提到這個(gè)問(wèn)題.

2017年，樊益武在[4]中提出了一個(gè)顛覆性猜想：

猜想設(shè)rij是正四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點(diǎn)P到棱AiAj(1≤i

②

當(dāng)且僅當(dāng)P為正四面體A1A2A3A4中心或頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào).

本文將證明不等式②成立，從而否定了唐立華提出的猜想.為此我們需要以下引理.

③

根據(jù)△ABC的對(duì)稱性，不等式③等價(jià)于

④

下面證明不等式④，為敘述方便記:

下面對(duì)以上五項(xiàng)作估值：

所以192ABCM-[(3M+C-A-B)2-4AB-12MC]2≥0.證畢.

不等式②的證明記∠PAiAj=αij(i≠j)，則

+R2(sinα21+sinα23+sinα24)

+R3(sinα31+sinα32+sinα44)

+R4(sinα41+sinα42+sinα43)

順便指出，本文引理即為文[4]第17章《問(wèn)題與猜想》的第一個(gè)猜想.由不等式③還可以證明文[4]中另一個(gè)猜想：

⑤

事實(shí)上，由于y=sinx在[0,π]上為凸函數(shù)，所以

最后值得一提的是關(guān)于此問(wèn)題陳計(jì)曾猜測(cè)：設(shè)rij是四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點(diǎn)P到棱AiAj(1≤i

據(jù)筆者所知，這個(gè)猜測(cè)還沒(méi)有解決.