分類討論思想在高中數學解題中的實踐探究

金伶俐

(江蘇省啟東市第一中學 226200)

新課程改革更加重視在高中數學教學中加強對學生的思維訓練.分類討論思想的本質是發散性思維，培育學生分類討論的思想便是在鍛煉學生的發散思維能力.高中數學題型靈活多變，為幫助學生完整作答，鍛煉學生的分類討論思想顯得更有必要.

一、培養分類討論思想對高中生學習的意義

1.鍛煉學生發散性思維

發散性思維是與聚合思維相對的概念.鍛煉高中生的發散性思維不僅是為了他們數學學科的學習效率，還是為了提升學生的思維水平，使學生更好地生活，迎合素質教育的需要.學生經過高中階段的思維訓練會逐漸形成從不同角度看問題的習慣，當學生接觸到不同觀點時，學生能夠自覺對不同觀點進行分類，然后得出自己的觀點.這實際上也體現了學生獨立思考能力的形成.

2.提升解題效率

教師培育學生分類討論的思想能使學生在做題過程中形成更多“敏感點”.學生看到題目中的某些關鍵詞能夠迅速反應，出現這類關鍵詞的題目往往涉及分類討論思想.例如，高中知識中與函數有關的題型往往需要分類討論，尤其是在討論函數值域、定義域的時候，函數中對x的系數的約束條件往往直接決定了函數的值域、定義域.再如討論圖形位置的時候，只要看到“兩個圓心的距離”等關鍵詞，學生便會立即反應出：根據距離的不同可分為相交、相切、相離等位置關系.

二、高中數學教師培養學生分類討論思想存在的誤區

1.所選例題重復性高

教師在高中數學教學中滲透分類討論思想，必須通過一定量的習題深化學生對“分類討論”內涵的理解.但許多教師在選擇例題的時候沒有關注例題的典型性，而是用大量相同類型的題目堆砌，這導致學生學習效率不高.長期的簡單重復很容易引發學生的厭煩情緒，不利于培養學生對數學學科的情感.此外，教師耗費時間講解大量簡單重復的題目勢必會壓縮精講題目的時間.教師講題思路不清晰，對細節的考量不夠，便無法體現分類討論思想在解題時的優勢.學生聽講時思路不清晰，往后做題便無法達到靈活應用的水平.

2.講解過程邏輯性不強

講解過程的邏輯性體現的是教師教學思維的清晰程度.傳統數學教學中，教師往往重視解題的結果，忽視了解題過程.但是，學生從課堂上學到的應當是一種解題思路，而非某一道題的答案.教師要授學生以“漁”，不能只是授學生以“魚”.分類討論思想的關鍵點在于尋找分類的標準、方法，因此，教師在引導學生運用分類討論法解題時，不能忽略選擇分類依據的環節而直接開始講解分類的過程.跳躍式的授課方法很容易誤導學生，使學生誤認為選擇分類依據不重要，具體的分類過程才是重點.

三、分類討論思想在數學解題中的應用策略

1.選擇具有連續性、代表性的例題

教師要盡量選擇具有代表性的例題進行講解，通過對例題進行歸類得出具有實踐意義的普遍規律.例如根據引起分類討論的原因，大致可分為以下幾類：(1)概念型分類討論：如對某一絕對值的定義，區分大于零、等于零和小于零的情況.(2)性質型分類討論：如運用已有的數學定理、公式，或者已有的運算性質、運算法則進行分類.等比數列的公式中，計算前n項和時要區分q=1和q≠1這兩種情況.(3)結論型分類討論：主要指求解的數學問題的結論有很多中情況或者會出現多種可能性.(4)含參型分類討論：這類問題的分類討論主要是由數學問題中的含參變量引起的，例如解答不等式bx>1時，要區分b>0、b=0和b<0的不同情況.

2.重視分類過程的邏輯傳導

分類討論是一種解答題目的邏輯方法，因此，教師引導學生分類討論的時候，要關注解題邏輯的傳導.根據不同的標準會產生不同的分類方法，學生應當做到既不重復又不遺漏，選擇的分類依據應當有利于問題的研究.在分類時要關注分類結果的層次性，逐級進行，不能越級.同類討論中只選擇某一個確定的標準進行分類，防止討論陷入混亂.討論時還要遵循一定的方法步驟：首先要確定好討論的范圍和對象.然后要確定逐級討論的標準，探討選擇的標準是否有利于解決問題.接著，如果有必要則要進行多級分類，總結概括得出結論.在討論中，學生可能會遇到難以解決的問題，教師應教授學生簡化分類討論過程的策略.如直接回避復雜的元素，使用反證法、消參法等方法避開繁瑣討論.再如利用數形結合的思想解決問題.充分發揮函數圖象、立體幾何圖形的優勢避開復雜元素的討論.如遇到復雜函數問題，則可以通過變更主元的方式簡化公式，從而達到簡化討論的目的.

3.加強課后討論總結

課后討論總結的目的是升華教學內容，促使學生形成對這一部分知識的長期記憶及解決這一類問題的思維路徑.教師在引導學生總結分類討論的方法時，也要遵循一定邏輯順序整理課堂內容.可以根據題目的類型分類，如分為函數題、圖形題等.也可以根據使用的分類討論方法歸納總結，如分為含參型、結論型等.值得注意的是，課后反思最重要的是落實到應用上，教師不能只關注學生對理論的掌握情況，還要適時考察學生將理論應用于解答題目的實際效率.因此，教師應要求學生在總結筆記中加入適當例題，通過例題理解自己掌握的分類討論方法.教師還要引導學生反思分類過程中存在的問題，鼓勵學生與其它同學討論，分享自己的分類經驗.

總之，分類討論是一種解答數學問題的方法，也是一種提升學生思維水平的思維方法.教師在和學生一起探討分類討論的方法時，要持開放性的教學觀念，鼓勵學生提出自己的分類標準.然后通過分析不同分類方法的利弊選出最具代表性的分類方法，應用到實際解題過程中，幫助學生提升解題效率.