基于FIR濾波的GPS動態變形多路徑效應提取研究

吳豐波

(佛山市測繪地理信息研究院，廣東 佛山 528000)

1 引 言

高層建筑在臺風、地震及溫度變化等因素作用下，會產生一定幅度的振動變形，這種外力荷載引起的形變對建筑物結構安全具有一定隱患。高頻GPS動態變形監測可以實時掌握建筑物結構健康狀況，GPS誤差模型中電離層延遲、對流層延遲、軌道誤差、衛星和接收機鐘差等，利用其相關性特點，在短基線情況下均可通過差分技術，予以消除或通過精確的模型加以改正，但差分技術對多路徑效應的影響卻無能為力[1，2]。因此，多路徑誤差就成為GPS動態變形監測中的主要誤差源。

多路徑誤差是由衛星直射載波信號與經接收機附近實體所反射的載波信號，產生干涉引起的，多路徑誤差與接收機所處環境和衛星高度角有關[3]。GPS衛星軌道運行周期為12h恒星時[4]，在接收機位置固定的情況下，衛星會在第二天提前236s重復站-星空間幾何關系，當測站環境不變時，多路徑誤差模型不變。自適應的有限脈沖響應(FIR)濾波可以根據輸入的期望信號和參考信號，有效地分離兩者相關和不相關部分，具有強大的信號分離功能，利用多路徑誤差周日重復性特點，將前后兩個重復周期的監測信號分別作為期望信號和參考信號，通過低通的FIR濾波器，提取出測站的多路徑誤差模型，從而大大提高GPS動態變形監測精度。

2 自適應FIR濾波器設計

自適應濾波算法有很多種，其中基于最小均方差(LMS)準則的自適應濾波算法以其計算量小、易于實現且效果較好等特點，被廣泛使用[5]。通過差分技術，GPS動態變形監測信號包含多路徑效應、振動信號、觀測噪聲，相對而言，建筑物振動信號和觀測噪聲屬高頻信號，而多路徑效應屬低頻信號[6]。因此，將FIR濾波器設置為低通濾波，閉合的自適應濾波模型如圖1所示：

圖1 自適應FIR濾波器

圖中，d(n)為期望響應，這里稱為期望信號，x(n)為輸入信號，輸入信號經過低通濾波器處理產生輸出信號y(n)，期望信號與輸出信號作差得到誤差信號e(n)；誤差信號e(n)與輸入信號x(n)基于LMS算法自適應調整濾波器權系數，使濾波效果達到最佳，從而形成了一個自適應閉環濾波器。

自適應FIR濾波最主要的特點就在于自適應算法模塊，可以依據誤差信號對濾波權系數進行調節。假設FIR濾波器權系數為w(n)，0≤n≤N-1，N即為濾波器的長度；輸入信號為x(n)，輸出信號為y(n)，其階數為M+1，則FIR濾波器表示為：

(1)

期望信號d(n)的主要作用是調節濾波器的權系數w(n)，步驟為：首先期望信號與輸出信號作差，公式為：

e(i)=d(i)-y(i)，i=0，…，M

(2)

然后誤差信號與輸入信號基于LMS算法自適應調節權系數w(n)。濾波器權系數w(n)達到最佳的原則是使誤差序列的平方和最小，表達式為：

(3)

上式中，rdx為期望信號d(n)和輸入信號x(n)的互相關系數，rxx為輸入信號x(n)的自相關系數。式3的最小值即對w(k)求導：

(4)

可以發現自適應濾波器的最佳系數由兩個輸入序列的互相關系數和自相關系數決定，基于最小均方差準則的FIR濾波，利用最速下降算法，根據以上誤差序列平方和最小原理，確定最佳適應權系數w(k)。

wi+1(k)=wi(k)+2μe(n)xi(i+k)，i=0，2，…，M

(5)

權系數w(k)收斂的最終解由輸入信號以及期望信號的先驗信息決定，而實際計算中，這些先驗信息并不能獲取到，權系數w(k)收斂速度最主要的決定因素是迭代步長和濾波階數。所以w(k)初始值理論上可以為任意值，本文的實驗均假設權值初始值為零。式中μ為控制收斂速率的參數，即迭代步長，μ值不同，濾波效果也會大不相同。如果參數μ過小，自適應系數w(k)變化很小，其控制FIR濾波效果變化緩慢，自適應的時間會比較長；相反，參數μ過大，自適應系數w(k)無法達到最佳，相應的誤差信號平方和準則失效，造成系統紊亂。所以，參數μ的選擇至關重要，可以根據以下準則來確定其范圍：

(6)

式中，Px為輸入信號的能量，一般可取為：

(7)

另一個影響收斂速率的參數是濾波器階數，即N值，對于相同的輸入信號，濾波器階數越高，達到最佳濾波的迭代步長可取范圍也就越小，收斂條件越嚴格；濾波器階數越低，迭代步長可取范圍也就越大，收斂條件越寬松。對于不同信號，濾波器最佳長度不一樣，這就需要根據經驗以及對信號的認識來確定。一般做法是將濾波器長度設置為一個較大的值，以滿足濾波器長度要求。

3 模擬分析

根據以上理論設計自適應濾波器，通過實驗模擬多路徑效應，分析所設計的濾波器是否適用于提取多路徑模型。在動態變形監測中，通過差分技術得到的流動站坐標序列包含有多路徑效應為代表的低頻信號、高頻的振動信號以及測量噪聲等，模擬實驗中兩個輸入信號為：

x(i)=5cos(i·pi/25+1)+10cos(i·pi/2)+rand(i)

d(i)=15cos(i·pi/25+2)+20cos(i·pi)+rand(i)

(8)

其中期望信號d(i)中15cos(i·pi/25+2)為兩輸入信號的相關部分，頻率為 0.02 Hz，在多路徑效應的頻率范圍內[7]；10cos(i·pi/2)為輸入信號的不相關部分，頻率為 0.25 Hz，在高層建筑物結構振動頻率范圍內[8]。兩個序列都加入了不相關的隨機噪聲，以模擬實際的坐標序列。實驗中步長為0.08，濾波器階數為100，采樣頻率為 5 Hz，樣本數量為1000。

圖2 AF模擬實驗

圖2為所設計的自適應濾波結果，由于信號含有高頻部分，采樣點過多會導致圖像顯示不出細節成分，所以不相關的高頻信號僅給出了100個采樣點的結果。分離結果為相關部分和不相關部分，并對期望信號中的相關部分和不相關部分的原始序列與濾波結果做了對比，可以發現，濾波很快收斂，并且很好地分離出了兩個輸入信號的相關部分和不相關部分。分離出的相關信號為期望信號中的低頻部分，但仍含有小振幅的高頻信號；由于受噪聲影響，分離出的不相關部分在濾波收斂后，和期望信號中的高頻部分也有微小差別。下面從頻率域來分析濾波效果。

圖3為模擬實驗的頻譜圖，從圖中可以看出，相關部分主要為期望信號中的低頻部分，頻率為 0.02 Hz，同時包含頻率為 0.5 Hz的高頻信號；不相關輸出主要為期望信號中的高頻部分，頻率為 0.5 Hz，同時包含頻率為 0.02 Hz的低頻信號，這和圖2分析的結果是一致的。

圖3 AF模擬實驗頻譜

4 實驗分析

運用自適應濾波器對實驗數據進行處理，數據經過相關延遲分析并進行了相關延遲校正，以某高樓第一天數據作為期望信號，第二天相同時段數據為輸入信號。由于篇幅有限，只羅列天頂方向坐標序列實驗結果。

圖4 AF實驗結果

圖5 AF實驗結果頻譜

圖4和圖5為流動站天頂方向坐標分量的AF試驗結果及對應的頻譜圖。圖4中第三行數據為兩輸入序列的相關部分，即為多路徑效應在天頂方向的誤差模型，第四行數據為提取的噪聲等不相關部分，提取的相關部分為系統性的誤差，主要是多路徑效應引起的。從頻譜圖5也可以發現，相關信號多路徑效應集中在低頻部分，去除多路徑效應的不相關部分，低頻部分削弱了很多，說明該不相關信號多路徑效應大大減小。此外，將第二天和第三天數據作為輸入數據，提取多路徑誤差模型，兩次提取得誤差模型最大相關系數為0.895，相比輸入數據最大相關系數0.782，相關性加強了，說明實驗效果好。

5 結 論

本文從多路徑效應特性作為切入點，在動態監測中環境不變的情況下，信號入射角基本保持周日不變，測站多路徑效應具有周日重復性。利用GPS動態變形監測中多路徑效應的這種特點，設計自適應的FIR濾波器分離連續兩天的坐標信號，其相關部分即為多路徑誤差，從而將多路徑效應提取出來。首先通過模擬實驗驗證了濾波器分離信號的有效性，然后對實測的連續三天數據進行實驗。經過濾波器分離后的信號，相關的低頻成分減弱了，而且提取的低頻信號即多路徑誤差相關性也提高了，說明所設計的自適應濾波器在多路徑誤差處理中具有較好的效果。實驗結果表明，自適應的FIR濾波可以在GPS動態變形監測中有效地提取多路徑效應。