拋物線問題,定義先行

■江蘇省太倉市明德高級中學(xué) 王佩其

在解析幾何中,拋物線問題的求解往往離不開拋物線定義。拋物線定義不僅能幫助同學(xué)們打開解題思路,而且可以減少計(jì)算量,真可謂“拋物線問題,定義先行”。

一、定義助我求軌跡

例1如圖1,在平面直角坐標(biāo)系x O y中,點(diǎn)點(diǎn)P在直線上移動(dòng),R是線段P F與y軸的交點(diǎn),R Q⊥F P,P Q⊥l。判斷動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡,并求其軌跡方程。

解析:依題意知,點(diǎn)R是線段F P的中點(diǎn),且R Q⊥F P,所以R Q是線段F P的垂直平分線。

因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段F P的垂直平分線上,所以|P Q|=|Q F|。

又|P Q|是點(diǎn)Q到直線l的距離,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=2x。

評注:解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)|P Q|=Q F|,即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡滿足拋物線的定義。

圖1

二、定義助我求方程

例2如圖2,過拋物線2=2p x(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|B C|=|B F|,且|A F|=3,則此拋物線的方程為____。

解析:如圖3,分別過A、B作A A1⊥l于A1,B B1⊥l于B1。

由拋物線的定義知:|A F|=|A A1|,|B F|=|B B1|。

因?yàn)閨B C|=2|B F|,所以|B C|=2|B B1|,∠B C B1=0°,∠A F x=60°。

圖2

連接A1F,則△A A1F為等邊三角形。過F作F F1⊥A A1于F1,則F1為A A1的中點(diǎn)。設(shè)準(zhǔn)線l交x軸于K,則|KF|=

因此,拋物線的方程為y2=3x。

評注:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是求參數(shù)p的值,這個(gè)值可根據(jù)拋物線的定義并借助幾何法求得,從而避免了煩瑣的代數(shù)運(yùn)算。

三、定義助我求比值

例3已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線F A與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則|FM|∶|MN|=( )。

圖4

解析:如圖4所示,過點(diǎn)M作MH⊥l,由拋物線定義知|MF|=|MH|,所以|M F|∶|MN|=|MH|∶|MN|。

故答案為C。

評注:本題與例2相似,利用拋物線的定義和圖形特征,把解析幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,大大減少了計(jì)算量。

四、定義助我求面積

例4設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),且P Q過焦點(diǎn)的弦,若|O F|=a,|P Q|=b,求△O P Q的面積。

解析:因?yàn)镻 Q過焦點(diǎn),所以|P Q|可看成兩個(gè)焦半徑之和。

如圖5,不妨設(shè)拋物線方程為y2=4a x,P(x1,y1),Q(x2,y2)。

則由拋物線定義知:

圖5

故x1+x2=b-2a。

由于P Q為過焦點(diǎn)的弦,因此,y1y2=-4a2。

評注:將焦點(diǎn)弦分成兩段,利用定義將焦點(diǎn)弦長用兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)表示,結(jié)合方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系是常見的基本技能。本題計(jì)算三角形面積的技巧,也是拋物線中經(jīng)常用到的,必須掌握。

五、定義助我求最值

例5已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),又有點(diǎn)A(3,2),求|P A|+|P F|的最小值,并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解析:將x=3代入拋物線方程y2=2x,得

因?yàn)?6＞2,所以A在拋物線內(nèi)部。如圖6,設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,由定義知|P A|+|P F|=|P A|+d。當(dāng)P A⊥準(zhǔn)線l時(shí),|P A|+d的值最小,最小值為,即|P A|+|P F|的最小值為,此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,代入y2=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)。

圖6

評注:與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)。由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性,因此此類問題也有一定的難度。“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要方法。