DGM(2，1)模型在沉降預測中的應用

石勇，張西軍，肖先華

(1.重慶市勘測院，重慶 401121； 2.重慶市智能感知大數據產業技術協同創新中心，重慶 401121；3.沈陽市勘察測繪研究院，遼寧 沈陽 110004)

1 引 言

通過對監測點進行沉降監測，掌握監測點的位置變化，監測點的累計沉降量較多情況下存在隨著周期的增長沉降速度變緩的情況。變形預報是變形監測不可或缺的環節，如何能精確地預測出沉降變化，是正待解決的問題。灰色預測是一種預測沉降量的方法，傳統的預測模型有GM(1，1)、DGM(1，1)、Verhulst[1～3]。在此基礎上發展出了許多模型，如NDGM(1，1)、GOM(1，1)、殘差GM(1，1)、綜合優化GM(1，1)、間接DGM(1，1)、動態DGM(1，1)、優化Verhulst模型等[4～10]。這些模型與其他模型相結合，產生新的組合模型，例如GM-AR、BP-GM、Verhulst-BP等等[11～14]。

隨著監測周期的增加，沉降速度變緩，本文對這種特性的累計沉降量序列進行分析預測。結合變形監測實例，利用GM(1，1)、DGM(1，1)、DGM(2，1)三種模型對監測點的累計沉降量進行預測，結果表明GM(1，1)模型、DGM(1，1)模型不能適應累計沉降量序列的變化，預測值嚴重偏離實測值，預測值失真。DGM(2，1)模型適應數據列變化的能力較強，可以合理地做出預測，精度高于另外兩種模型。

2 GM(1，1)模型

建立關于序列x1的白化方程：

(1)

通過最小二乘法求得：

[a，b]T=(BTB)-1BTYN

(2)

方程(1)的解為：

(3)

累減生成可得還原數據為：

(4)

3 DGM(1，1)模型

(5)

稱為離散灰色模型，即DGM(1，1)模型。

令λ=[λ1，λ2]T為參數列，由最小二乘法求得：

λ=[λ1，λ2]T=(BTB)-1BTY

(6)

(7)

還原值為：

(8)

4 DGM(2，1)模型

(9)

稱之為DGM(2，1)模型的白化方程。

令U=[a，b]T，通過最小二乘法求得：

U=(BTB)-1Y

(10)

求解白化方程(9)得到：

(11)

由式(11)作累減還原得預測值序列為：

(12)

5 實例分析

對某碼頭附近邊坡進行變形監測，本監測共布設33個監測點，共進行15周期，每5天為一觀測周期。本文選取其中的一點進行分析，該點15周期的累計沉降量如表1所示。

觀察表1的累計沉降量值，發現累計沉降量在前5周期增長速度較大，第6～8周期增長速度開始放緩，第7周期以后隨著周期的增長，累計沉降量增長速度基本呈逐漸減小的趨勢。

以2～8周期的累計沉降量為建模數據，運用MATLAB實現具體的算法，得到三種模型在9～15周期的累計沉降量預測值，三種模型的預測結果如表2所示，平均相對誤差如表3所示。

三種模型的預測值及殘差值 表2

三種模型的平均相對誤差 表3

比較三種模型的平均相對誤差，GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型的平均相對誤差遠大于DGM(2，1)模型。DGM(2，1)模型殘差值較小，遠小于GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型的殘差值，這說明DGM(2，1)模型的預測精度遠高于另外兩種模型，DGM(2，1)模型取得了較好的預測效果。GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型的殘差值已經達到不可接受的程度，模型已經不再適用。

為更直觀地表現出預測值和實測值的偏離程度，繪制了三種模型的預測曲線。如圖1所示：

圖1 三種模型預測曲線

圖1反映了預測值與實測值的接近程度，DGM(2，1)模型預測值十分接近實測值，可真實地反映實測值的變化，隨著周期增長并沒有出現大幅度偏離實測值的情況，表現出了良好的預測效果。另外兩種模型的預測值已經嚴重偏離實測值，預測值完全失真。

分析原始數據，前期數據增長速度較快，隨著周期的增長，沉降速度逐漸較小，存在較為明顯的沉降加速度。使用GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型進行預測時，這兩種模型不能及時感應到沉降速度的變化，預測過程中沒有顧及沉降加速度對預測值的影響，預測值持續大幅度增大，致使預測值與實測值出現嚴重偏差。GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型對數據列變化的適應性較差，而DGM(2，1)模型在對這種前后增長速度不同的數據列進行預測時，預測過程中減弱了沉降加速度對預測值的影響，可以較好地適應數據列的變化，預測精度較高。

6 結 語

對于前期數據增長速度大于后期的累計沉降量序列，利用GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型進行預測，這兩種模型不能及時感應到沉降速度的變化，預測值持續大幅度增長，致使預測值與實測值出現嚴重偏差，預測值失真。而DGM(2，1)模型在面對這種類型的數據列時，對數據列變化的適應性較好，預測過程中減弱了沉降加速度對預測值的影響，預測精度遠高于GM(1，1)模型和DGM(1，1)模型。