基于優(yōu)化K-GM(1，1)在橋梁變形預(yù)測(cè)中的應(yīng)用研究

羅少歡，豆紅磊

(1.珠海市測(cè)繪院，廣東 珠海 519000； 2.湘潭大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

1 引 言

變形監(jiān)測(cè)是對(duì)監(jiān)視對(duì)象或物體進(jìn)行測(cè)量，以確定其空間位置隨時(shí)間的變化特征[1]。橋梁工程變形監(jiān)測(cè)是為了及時(shí)了解在施工過(guò)程中支護(hù)結(jié)構(gòu)和鄰近建(構(gòu))筑物的變形規(guī)律及動(dòng)態(tài)發(fā)展趨勢(shì)，并對(duì)橋梁體系的穩(wěn)定性、可靠性和安全性進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)。分析變形監(jiān)測(cè)的方法很多[2～5]，其中灰色系統(tǒng)GM(1，1)模型[6]以其顯著的優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于變形監(jiān)測(cè)中，并取得了顯著的效果。文獻(xiàn)[7]指出，在穩(wěn)定的數(shù)據(jù)序列中，采用傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)，可以很好地反映數(shù)據(jù)序列的變化趨勢(shì)。文獻(xiàn)[8]指出傳統(tǒng)GM(1，1)模型，數(shù)據(jù)序列初始值過(guò)舊導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度不高，采取更新數(shù)據(jù)序列的初始值對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行了改進(jìn)，建立新陳代謝GM(1，1)模型，雖然驗(yàn)證了方法的可行性，但是對(duì)于原始序列呈現(xiàn)波動(dòng)較大的情況下，依然存在問(wèn)題。文獻(xiàn)[9～11]基于傳統(tǒng)GM(1，1)模型建模機(jī)理，從原始序列、初始值、背景值等方面對(duì)其優(yōu)化，但該方法對(duì)含噪聲較大的數(shù)據(jù)擬合精度并不高?？柭鼮V波是一種能夠從觀測(cè)量中估計(jì)出所需數(shù)據(jù)信號(hào)的濾波算法，對(duì)數(shù)據(jù)具有消噪和平滑作用，能對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)處理，該濾波最大的特點(diǎn)是剔除隨機(jī)干擾噪聲[12]。本文參考了文獻(xiàn)[13，14]的設(shè)計(jì)思路，利用卡爾曼濾波具有較好的抗噪能力，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波降噪處理，基于灰色模型建模機(jī)理，分別對(duì)濾波后的初始值、背景值進(jìn)行優(yōu)化，建立了基于K-GM(1，1)模型，以角比西大橋沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型進(jìn)行對(duì)比，工程實(shí)例分析表明，基于優(yōu)化K-GM(1，1)模型的預(yù)測(cè)精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型，為以后同類橋梁變形監(jiān)測(cè)提供參考。

2 模型分析

2.1 卡爾曼濾波模型

不考慮控制作用，離散系統(tǒng)卡爾曼濾波方程可表示為：

(1)

式中：Xk是系統(tǒng)的n維狀態(tài)序列；Zk是系統(tǒng)的m維觀測(cè)序列；Wk-1是p維系統(tǒng)過(guò)程噪聲序列；Vk是m維觀測(cè)噪聲序列；Φk，k-1是系統(tǒng)的n×n維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk，k-1是n×p維噪聲輸入矩陣；Hk是m×n維觀測(cè)矩陣。系統(tǒng)過(guò)程噪聲和觀測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特征為：

(2)

式中：Qk是系統(tǒng)過(guò)程噪聲Wk的p×p維對(duì)稱非負(fù)定方差矩陣；Rk是系統(tǒng)觀測(cè)噪聲Vk的m×m維對(duì)稱正定方差矩陣；δkj是Kronecker-δ函數(shù)。

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)：

(3)

狀態(tài)估計(jì)：

(4)

2.2 傳統(tǒng)GM(1，1)模型的建立

(3)建立影子方程

(5)

式中參數(shù)a為發(fā)展系數(shù)，反映x的發(fā)展趨勢(shì)；b為灰作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系。

(6)

(7)

(5)對(duì)式(7)進(jìn)行累減，得到原始序列x(0)的還原式：

(8)

2.3 優(yōu)化GM(1，1)模型[15]

2.4 GM(1，1)模型的精度檢驗(yàn)

為判斷GM(1，1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的可靠性，需要對(duì)模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)，常用的灰色預(yù)測(cè)模型檢驗(yàn)方法一般有殘差檢驗(yàn)合格模型、均方差比合格模型和小誤差概率合格模型。

(1)殘差檢驗(yàn)合格模型

殘差序列：

(9)

相對(duì)誤差序列：

(10)

(2)均方差比和小誤差概率合格模型

分別為殘差的均值、方差。

精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表 表1

3 實(shí)例分析

角比西大橋位于蘇洼龍水電站工程區(qū)上游角比西村溝口上游約 500 m處。主橋設(shè)計(jì)為三跨預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)鋼構(gòu)橋，3號(hào)4號(hào)橋墩為主橋橋墩，承臺(tái)高 73 m。以2017-8-1～2017-8-9監(jiān)測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)為例，選取具有代表性的CT3監(jiān)測(cè)點(diǎn)9期數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，第一步對(duì)原始序列進(jìn)行卡爾曼濾波降噪處理，第二步對(duì)處理后的數(shù)據(jù)按照文獻(xiàn)[15]對(duì)初始值、背景值進(jìn)行改進(jìn)，建立優(yōu)化的K-GM(1，1)模型，最后以前5期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，后4期數(shù)據(jù)進(jìn)行模型預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比，分析監(jiān)測(cè)點(diǎn)CT3的沉降變化趨勢(shì)，兩種模型對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)擬合預(yù)測(cè)結(jié)果如表2所示。其中實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)為累計(jì)沉降值，單位為mm。

監(jiān)測(cè)點(diǎn)CT3擬合預(yù)測(cè)結(jié)果檢驗(yàn)表 表2

在沉降監(jiān)測(cè)建模過(guò)程中，卡爾曼濾波模型認(rèn)為監(jiān)測(cè)點(diǎn)位移速度的均值不變，并在濾波中將監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置及其位移速度作為狀態(tài)參數(shù)，將唯一加速度視為動(dòng)態(tài)噪聲[16]，設(shè)tk時(shí)刻監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移量為xk，位移速度向量為uk，位移加速度為Wk，則卡爾曼濾波方程為：

(11)

其中△tk=tk-tk-1，式中，I為單位矩陣，當(dāng)其為一維向量時(shí)I=1。本文取初始參數(shù)Qk=1，Rk=1，初始狀態(tài)向量X0=[2.06，0]T初始估計(jì)誤差協(xié)方差陣為P0=[0.01，0；0，0.001]，利用Matlab編程[17]并執(zhí)行卡爾曼濾波，計(jì)算結(jié)果如表2所示，單位為mm。

監(jiān)測(cè)點(diǎn)CT3的預(yù)測(cè)效果精度評(píng)定表 表3

圖1 CT3實(shí)測(cè)值與擬合預(yù)測(cè)值對(duì)比圖

圖2 CT3兩種模型的殘差曲線

4 結(jié) 論

(1)本文通過(guò)用卡爾曼濾波對(duì)原始沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪處理，基于灰色模型建模機(jī)理，對(duì)降噪后的數(shù)據(jù)序列分別進(jìn)行初始值和背景值的優(yōu)化，建立優(yōu)化的K-GM(1，1)模型，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型進(jìn)行對(duì)比分析，確定了優(yōu)化的K-GM(1，1)模型應(yīng)用于橋梁變形監(jiān)測(cè)的可行性。

(2)結(jié)合工程實(shí)例分析，兩種模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的殘差基本都在零附近波動(dòng)，優(yōu)化的K-GM(1，1)模型精度高于傳統(tǒng)灰色模型，更具有動(dòng)態(tài)變形的適應(yīng)性，提高了橋梁變形預(yù)測(cè)與變形分析的可靠性。