基于同一時溫等效因子繪制軸橫向動態模量主曲線*

胡旅洋 鄭群華 余 峰 陳景麗 羅 蓉

(武漢理工大學交通學院1) 武漢 430063) (湖北省公路工程技術研究中心2) 武漢 430063) (武漢市南四環線高速公路建設管理有限公司3) 武漢 430056)

0 引 言

瀝青混合料是一種典型的黏彈塑性材料，在壓縮荷載荷載作用下，主要經歷三個階段，線性黏彈性階段，非線性黏彈性階段和損傷階段，其中線性黏彈性階段的動態模量在加載周期內保持不變[1-2].但是瀝青混合料的動態模量隨著加載頻率與溫度的變化而變化，顯示出明顯的時間和溫度依賴性，其性質滿足時溫等效原理[3-4].時溫等效原理又為時溫疊加原理，一般認為，對于線性黏彈性材料或處于線性黏彈性階段的材料，對其作用的時間效應與對其的溫度效應之間可以乘以一個系數來進行相互轉換，這個系數即為時溫等效因子.基于時溫等效原理，可以平移得到參考溫度全頻域范圍內的動態模量，平移得到的動態模量在一條光滑的曲線上，這條曲線即為參考溫度下的動態模量主曲線.因此，時溫等效因子的精確與否影響著主曲線的精確與否.

瀝青混合料由于在壓實過程中，集料的趨向性排布使得瀝青混合料表現為橫觀各向同性，這就是瀝青混合料的各向異性.在瀝青混合料固有各向異性的研究中，常用軸向(壓實方向)壓縮動態模量與橫向(垂直壓實方向)壓縮動態模量的比值用來表征瀝青混合料的各向異性程度[5-6]，但在繪制軸向動態模量主曲線與橫向動態模量主曲線的過程中，默認將兩者分開進行，得到兩個不同的時溫等效因子和相應的曲線參數，這代表軸向時溫作用與橫向時溫作用表現為不同的水平.Di等[7]在使用兩彈簧兩拋物型蠕變單元與單黏壺組合(2P2P1D)本構模型對瀝青混合料的正交各項異性的研究中發現，在線性黏彈性階段每個方向上的動態模量與相應的動態泊松比可以共用同一時溫等效因子，動態模量與泊松比均為材料固有屬性，即對于材料的性質，其時溫效應應當是一致的.基于這個推論，對于單一瀝青混合料試件，其時溫作用應是一致的.同時依據時溫等效理論，材料的時溫等效因子定義與材料的黏度或者反應速率相關，基于這個思路，本文使用兩種級配瀝青混合料進行不同方向的動態模量試驗，并繪制其主線，研究采用不同時溫等效因子與相同時溫等效因子時主曲線的變化情況.

1 瀝青混合料的動態模量及主曲線模型

1.1 動態模量

瀝青混合料的動態模量|E*|往往用來表征荷載作用下的路面變形特性，它的定義源于材料的性質參數復數模量，為復數模量的模.復數模量由兩部分組成，實部為存儲模量，用于表征瀝青混合料的彈性作用，虛部為損失模量，用于表征黏性作用[8].

E*=E′+iE″

(1)

(2)

式中：E*為復數模量，MPa；E′為存儲模量，MPa；E″為損失模量，MPa.

1.2 動態模量主曲線

動態模量主曲線的繪制需要依據時溫等效原理，其步驟是在選定參考溫度的基礎上，依據時溫等效原理，使用時溫等效因子將不同溫度頻率的動態模量轉換為參考溫度下的相應加載頻率的動態模量，并最終形成一條光滑的曲線，所得即為參考溫度下的動態模量主曲線.

在不同溫度下測量得到的動態模量，通過應用時溫等效因子可以將不同溫度下的加載頻率轉換為參考溫度下相應的縮減頻率，即可得到縮減頻率下的動態模量.縮減頻率定義為

fR=f×αT

(3)

式中：fR為轉換后參考溫度下的縮減頻率，Hz；f為加載頻率，Hz；αT為時溫等效因子.

常用的主曲線模型有多種，本文采用廣義西格摩德模型進行動態模量主曲線的繪制，其形式為[9]

(4)

式中：δ為最小漸進值，MPa；α為最小與最大漸近線之間的差值，MPa；λ，β，γ為主曲線形狀參數.

2 黏彈性材料的時溫等效因子

2.1 WLF方程

時溫等效因子的定義為

(5)

式中：T為熱力學溫度，K；τ為溫度T下的松弛時間，s；τr為參考溫度Tr下的松弛時間，s；η為溫度T下的黏度，Pa·s；ηr為參考溫度Tr下的黏度，Pa·s.

在自由體積理論中，認為材料內部的自由體積的比例影響材料的黏度，并滿足杜利爾特方程，形式為

lnη=lnA+B(V-1-1)

(6)

式中：V為溫度T下的自由體積分數，A與B為曲線擬合參數.

假定材料內部的自由體積分數隨著溫度變化時，其規律滿足線性變化關系，則有

V=Vr+φT(T-Tr)

(7)

式中：Vr為參考溫度下的自由體積分數;φT為自由體積分數溫度膨脹系數.

則可以得到：

(8)

式(8)即為WLF方程，從材料的宏觀特性-黏度出發利用自由體積理論，推導得到時溫等效因子的一般形式.膠漿理論認為，瀝青混合料是由瀝青膠漿、骨料與空隙結構組合成的復合材料，一般認為瀝青膠漿表現為各向同性，而瀝青混合料的各向異性主要源于形成骨架結構的粗集料在空間的不均勻排布和集料本身形狀特征導致的各向異性.瀝青混合料是一種典型的三相復合材料，粗集料的黏度表現為無窮大，即不存在黏性，一般認為其瀝黏性主要源于瀝青及其與細集料混合成的瀝青膠漿，而瀝青及瀝青膠漿表現為受壓各向同性.因此，在理論上橫向與軸向的黏度應保持一致，對應的時溫等效因子也應當相等.

2.2 阿倫紐斯(Arrhenius)方程

阿倫紐斯方程是描述物質反應速率溫度依賴性的方程，它給出了在熱力學溫度下化學作用的速率常數，其形式如下。

(9)

式中：k為速率常數；D為指數因子；Ea為活化能；R為理想氣體常數，8.314 kJ/(mol·K)

依據時溫等效因子的定義，在這里時溫等效因子因子的值定義為指定溫度下速率常數k與參考溫度下速率常數kr的比值，則有

(10)

(11)

阿倫紐斯方程是從化學角度來表述物質反應速率隨著溫度的變化情況，在這里其從微觀分子層面來考慮瀝青混合料性質的時溫依賴性.對于單一的瀝青混合料試件，從微觀分子層面分析，參與“化學反應”的微觀分子成分并不會隨著方向的變化發生變化，在各個方向應當一致，因此，其在絕對溫度作用下的速率常數不會隨著作用方向的變化而變化，在養生時間充足的基礎上，認為其速

率常數應當保持一致，故對于兩個方向上采用同一時溫等效因子是有必要的.

3 試件制備及動態模量試驗

3.1 試件制備

使用一種級配兩種瀝青混合料對所提出問題進行驗證，集料取谷竹輝綠巖，使用70#基質瀝青和90#SBS改性瀝青，集料和瀝青的各項性質參數均符合規范要求.混合料選用AC-13C級配，經過室內馬歇爾試驗，得到的最佳油石比為4.3%，詳細級配情況見表1.

混合料的成型采用Superpave旋轉壓實儀，成型得到高度170 mm、直徑150 mm的圓柱體試件.使用切割鋸對試件進行切割，將圓柱體試件切割為長×寬×高為100 mm×100 mm×100 mm的立方體試件，并保證所得部分為中心部分，切割所得立方體試件的目標空隙率控制在4.0%±0.5%.切割完成后應當標記壓實方向與垂直壓實方向，以防止錯誤.

表1 輝綠巖AC-13C瀝青混合料級配

3.2 動態模量試驗

動態模量試驗所使用的試驗儀器為動態試驗系統(dynamic testing system)，試驗采用正弦波進行加載，使用三個LVDT測量其軸向應變，在垂直于加載方向的四個面中，隨機取三個面測量進行測量，測量長度取70 mm(立方體邊長為100 mm)，進行軸橫向動態模量試驗時控制其三個方向的應變振幅均值為50×10-6.動態模量定義為應力加載曲線的振幅與應變加載曲線振幅的比值，動態模量試驗中應力應變隨時間變化曲線見圖1.試驗加載頻率和溫度見表2，進行試驗并得到其相應溫度下的應力應變數據，計算得到其動態模量，計算方式為

(12)

式中：σ0為應力曲線的振幅，MPa；ε0為應變曲線的振幅，×10-6.

圖1 應力應變加載曲線示意圖

4 試驗結果分析

采用兩種瀝青混合料試件進行試驗：AC-13C

表2 動態模量試驗溫度及加載頻率

輝綠巖SBS改性瀝青混合料與AC-13C輝綠巖70號基質瀝青混合料試件，每種混合料使用三個平行試件進行試驗.對試驗中所得到的數據進行計算動態模量，進行主曲線擬合分別得到時溫等效因子參數與主曲線的形狀參數.在進行主曲線擬合時，控制平均誤差百分率Error最小，其表達式為

(13)

Error=Error軸+Error橫

(14)

式中：Error為計算的平均誤差百分率，%；|E|測量為測量得到的動態模量，MPa；|E|預測為擬合的主曲線預測的動態模量，MPa；使用不同的時溫等效因子進行主曲線擬合時，使用式(14)為誤差計算方法，反之選擇式(13)為誤差計算方法.

本次試驗取參考溫度是20 ℃，由于試驗數據過多，以輝綠巖SBS改性瀝青混合料試件(SBS-1)為例，其動態模量計算結果見表3.在得到不同溫度與頻率條件下的動態模量的基礎上，對比軸橫向動態模量并采取兩種不同方式來繪制不同方向的主曲線：軸橫向使用同一時溫等效因子與軸橫向使用不同時溫等效因子，對兩種方式所得的主曲線，進行分析對比.同時，使用兩種不同的時溫等效因子方程來對主曲線的擬合進行分析，對比分析其結果.

表3 SBS-1試件軸向與橫向動態模量試驗結果

4.1 WLF方程繪制主曲線結果對比

對比使用不同時溫等效因子與使用相同時溫等效因子繪制得到的動態模量主曲線，見圖2～3，由圖2～3可知：

1) 使用相同時溫等效因子和使用不同時溫等效因子進行主曲線的擬合時，擬合后軸向和橫向均可以得到光滑的動態模量主曲線，并與平移后動態模量的變化趨勢較為符合；

2) 擬合求解得到的SBS-1試件兩個方向的動態模量主曲線參數見表4.由表4可知，對于SBS-1，其誤差百分率在均在2%以下，兩種方式的擬合優度均在0.99以上，表明主曲線與實測值極為接近，能夠在已知的頻率范圍內準確擬合主曲線的變化情況；

3) 使用不同時溫等效因子與相同時溫等效進行擬合時，前者的結果略優于后者，但相差不大.

圖2 不同時溫等效因子繪制動態模量主曲線(WLF方程)

圖3 相同時溫等效因子繪制動態模量主曲線(WLF方程)

方向曲線形狀參數δαλβγ時溫等效因子參數C1C2軸向2.4691.824-0.367-0.762-0.36910.22069.090橫向2.7161.730-0.580-0.861-0.35416.570137.460軸向+橫向2.3982.4911.9251.826-0.136-0.010-0.699-1.075-0.401-0.46212.16090.400

注：軸向+橫向代表相同時溫等效因子進行主曲線擬合的參數結果.

表5為匯總的所有試件動態模量主曲線擬合結果，綜合對比使用WLF繪制主曲線的結果可知，對于所實驗的兩種瀝青混合料，WLF方程均能夠用于準確繪制兩個方向動態模量主曲線，并且使用不同時溫等效因子與相同時溫等效因子所得的擬合結果誤差百分率均小于1.5%，擬合優度均在0.99左右，且均相差不大，其原因在于使用不同時溫等效因子進行兩個方向的主曲線的擬合時，其擬合參數多兩個，相應的主曲線的擬合優度就高.同時，所繪制主曲線也與平移后的動態模量的變化趨勢保持一致，表明從宏觀角度出發，使用相同時溫等效因子繪制的動態模量主曲線滿足時溫等效原理.

表5 使用WLF方程擬合優度結果匯總對比

注：使用相同時溫等效因子繪制動態模量主曲線時所控制的指標為兩者的誤差百分率之和最小.

4.2 Arrhenius方程繪制主曲線結果對比

針對于SBS-1試件，使用Arrhenius方程作為時溫等效因子進行兩種不同方式的軸向和橫向動態模量主曲線的擬合，見圖4～5.可以看出Arrhenius方程可以用于主曲線的繪制并能用于預測動態模量，并且所繪制的主曲線與平移后的動態模量保持一致的變化趨勢，使用Arrhenius時溫等效因子擬合的主曲線參數見表6.

圖4 不同時溫等效因子繪制動態模量主曲線(Arrhenius方程)

圖5 相同時溫等效因子繪制動態模量主曲線(Arrhenius方程)

方向曲線形狀參數δαλβγ時溫等效因子參數EaR軸向1.8982.3951.894-0.630-0.582206 2598.314橫向2.7061.785-0.506-0.813-0.358181 6828.314軸向+橫向1.9572.7102.3431.8091.711-0.565-0.592-0.803-0.609-0.325190 2228.3148.314

由表6可知：

1) Arrhenius方程作為時溫等效因子方程可用于準確繪制動態模量主曲線并準確描述動態模量變化趨勢.

2) 對所用的兩種瀝青混合料，使用相同時溫等效因子繪制的動態模量主曲線均能準確繪制軸向與橫向動態模量主曲線，且與使用不同時溫等效因子的擬合優度結果相差不大.

3) 從微觀反應速率理論出發，使用相同時溫等效因子繪制主曲線符合時溫等效理論，所繪制的動態模量主曲線的誤差百分率均小于3%且擬合優度均在0.94以上，說明從微觀角度出發使用相同時溫等效因子能夠準確繪制滿足時溫等效原理的動態模量主曲線.

表7為動態模量主曲線擬合優度對比，由表7可知，使用兩種方式繪制得到的主曲線擬合優度均較高，誤差百分率也很低，擬合結果與WLF時溫等效因子得到的結果表現為相似的規律.

表7 動態模量主曲線擬合優度對比(Arrhenius方程)

綜合對比采用不同方式擬合的結果可以看出：

1) 對于所有擬合的主曲線，軸橫向使用相同時溫等效因子與使用不同時溫等效因子所得到的主曲線的擬合優度均在0.94以上，均能有效地預測兩個方向動態模量在參考溫度下的變化趨勢.

2) 使用不同時溫等效因子分別進行兩個方向動態模量主曲線的擬合求解時，其求解精度相對較高，但兩種方式的精度差別較小，并且使用不同的時溫等效因子只是從數據角度得到最佳結果，并不具備相應的宏觀層面上的物理含義，而軸橫向使用相同的時溫等效因子進行主曲線的擬合求解時，不僅滿足物理意義，更具有優良的擬合優度，故應當使用相同時溫等效因子來繪制不同方向的動態模量主曲線.

3) 相對于使用Arrhenius時溫等效因子方程，使用WLF時溫等效因字所預測的動態模量精度略高，繪制得到的主曲線也較為平滑.

5 結 論

1) 結合瀝青膠漿理論，基于宏觀WLF時溫等效因子方程，分析瀝青混合料黏度的來源，認為膠漿是各向同性的，即其黏度與方向無關，從理論上分析軸橫向使用同一時溫等效因子繪制主曲線的合理性.

2) 結合微觀分子反應速率理論，推導 Arrhenius時溫等效因子方程，分析瀝青混合料動態模量的時溫依賴性，可以知道瀝青混合料內部的時溫依賴性主要來源為分子層面，物質的反應速率只與物質本身的化學性質和其所處的溫度有關，故對于單一瀝青混合料試件瀝青在指定溫度下的反應速率常數并不隨著其方向的變化而變化.因此，理論上軸橫向繪制主曲線應使用同一時溫等效因子.

3) 結合微觀與宏觀理論分析，使用兩種瀝青混合料進行驗證，使用不同時溫等效因子與相同時溫等效因子同時繪制軸橫向動態模量主曲線，對比結果可知，兩種方式均具有良好的擬合優度和較低的誤差水平，且兩種方式差別不大.但軸橫向使用不同時溫等效因子只是從擬合優度出發，數學結果較好，但缺乏明確的物理意義與理論支持，使用相同時溫等效因子進行主曲線繪制，不僅滿足時溫等效理論，同時數據點更多，所得到的時溫等效因子精度更高，所得主曲線也更準確.