全國名校空間向量測試題（A卷）

■河南省許昌高級中學(xué) 胡銀偉

一、選擇題

A.一定不共面 B.一定共面

C.不一定共面 D.無法判斷

2.如圖1所示,在平行六面體A B C D-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點。若則下列向量中與等的向量是( )。

圖1

3.已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,則實數(shù)m的值等于( )。

4.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),則直線A B與C D的位置關(guān)系是( )。

A.垂直 B.平行

C.異面 D.相交但不垂直

5.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則( )。

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β相交但不垂直

D.以上均不正確

6.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列結(jié)論正確的是( )。

A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c

C.a∥c,a⊥b D.以上都不對

8.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面A B C法向量的是( )。

A.(-1,1,1)

B.(1,-1,1)

9.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于1 2 0°,則直線l與平面α所成的角等于( )。

A.1 2 0° B.6 0°

C.3 0° D.6 0°或3 0°

1 0.如圖2所示,在正方體A B C D-A1B1C1D1中,O是底面正方形A B C D的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線NO,AM的位置關(guān)系是( )。

圖2

A.平行 B.相交

C.異面垂直D.異面不垂直

1 1.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為( )。

A.4 5° B.1 3 5°

C.4 5°或1 3 5° D.9 0°

1 3.在三棱柱A B C-A1B1C1中,底面是邊長為1的正三角形,側(cè)棱A A1⊥底面A B C,點D在棱B B1上,且B D=1,若A D與平面A A1C1C所成的角為α,則s i n α的值是( )。

1 4.如圖3所示,在正方體A B C D-A1B1C1D1中,棱長為a,M,N分別為A1B和A C上的點,與平面B B1C1C的位置關(guān)系是( )。

圖3

A.斜交

B.平行

C.垂直

D.MN在平面B B1C1C內(nèi)

1 5.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標(biāo)原點則λ的值為( )。

1 6.如圖4,已知空間四邊形A B C D的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是B C、A D的中點,則值為( )。

圖4

圖5

1 7.如圖5所示,已知空間四邊形O A B C,O B=O C,且 ∠A O B=〉的值為( )。

1 8.如圖6,在空間四邊形O A B C中,O A=8,A B=6,A C=4,B C=5,∠O A C=4 5°,∠O A B=6 0°,則O A與B C所成角的余弦值為( )。

圖6

19.如圖7,直三棱柱A B C-A1B1C1中,∠B C A=9 0°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,B C=C A=C C1,則B M與A N所成角的余弦值為( )。

圖7

2 0.如圖8所示,P D垂直于正方形A B C D所在的平面,A B=2,E為P B 的 中 點,若以DA,D C,D P所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則點E的坐標(biāo)為( )。

圖8

2 1.已知正方體A B C D-A1B1C1D1的棱長為1,點E是底面A B C D上的動點,則(C E→

2 2.如圖9所示,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱A B C-A1B1C1,C A=C C1=2C B則直線B C1與直線A B1夾角的余弦值為( )。

圖9

2 3.已知正四棱柱A B C D-A1B1C1D1中,A A1=2A B,E為A A1的中點,則異面直線B E與C D1所成角的余弦值為( )。

2 4.設(shè)正方體A B C D-A1B1C1D1的棱長為2,則點D1到平面A1B D的距離是( )。

2 5.在正三棱柱A B C-A1B1C1中,若A B=A A1=4,點D是A A1的中點,則點A1到平面D B C1的距離是( )。

2 6.圓錐的軸截面S A B是邊長為2的等邊三角形,O為底面的中心,M為S O的中點,動點P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周),若AM⊥MP,則點P形成的軌跡的長度為( )。

2 7.如圖1 0,在直三棱柱A B C-A1B1C1中,A B=1,A C=2,B C=3,D,E分別是A C1和B B1的中點,則直線D E與平面B B1C1C所成的角為( )。

圖1 0

2 8.在正方體A B C D-A1B1C1D1中,點E為B B1的中點,則平面A1E D與平面A BC D所成的銳二面角的余弦值為( )。

2 9.如圖1 1,在直三棱柱A B C-A1B1C1中,∠A C B=9 0°,2A C=A A1=B C=2。若二面角B1-D C-C1的大小為6 0°,則A D的長為( )。

圖1 1

30.如圖1 2,已知四棱錐S-A B C D的底面為平行四邊形,S D⊥底面A B C D,S D=1,A B=2,A D=1,∠DA B=6 0°,M、N 分別為S B、S C的中點,過MN作平面MNP Q分別與線段C D、A B相交于點P、Q。若則二面角M-P Q-B的平面角大小為( )。

圖1 2

A.6 0° B.3 0° C.4 5° D.7 5°

3 1.在正方體A B C D-A1B1C1D1中,點P在A1C上運動(包括端點),則B P與A D1所成角的取值范圍是( )。

3 2.如圖1 3,在四棱錐P-A B C D中,四邊形A BC D為平行四邊形,且B C⊥平面P A B,P A⊥A B,M為P B的中點,P A=A D=2。若A B=1,則二面角BA C-M的余弦值為( )。

圖1 3

二、填空題

3 3.已知平面α內(nèi)的三個點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是____。

3 4.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若c o s〈m,n〉=則直線l與平面α所成的角為__。

圖1 4

3 6.已知點P是平行四邊形A B C D所在的平面外一點,如果(-1,2,-1),存在結(jié)論:①A P⊥A B;②A P是平面A B C D的法向量;④其中正確的序號是____。

3 7.設(shè)O-A B C是四面體,G1是△A B C的重心,G是O G1上的一點,且O G=3G G1,,則x,y,z的 值分別為____。

3 8.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三個向量共面,則λ等于____。

4 1.有公共邊的等邊三角形A B C和B C D所在平面互相垂直,則異面直線A B和C D所成角的余弦值為____。

4 2.如圖1 5所示,在三棱柱 A B C-A1B1C1中,A A1⊥底面A B C,A B=B C=A A1,∠A B C=9 0°,點E、F分別是棱A B、B B1的中點,則直線E F和B C1所成的角是____。

圖1 5

43.在正方體A B C DA1B1C1D1中,M、N 分別是棱A A1、B B1的中點,則s i n

4 4.在長方體A B C D-A1B1C1D1中,A B=2,B C=A A1=1,則D1C1與平面A1B C1所成角的正弦值為____。

4 5.在正四棱柱A B C D-A1B1C1D1中A A1=2A B,則C D與平面B D C1所成角的正弦值等于____。

4 6.P是二面角α-A B-β棱上的一點,分別在平面α、β上引射線PM、PN,如果∠B PM=∠B PN=4 5°,∠MPN=6 0°,那么二面角α-A B-β的大小為____。

4 7.在直三棱柱A B C-A1B1C1中,∠B A C,A B=A C=AA1=1,已知G和E分別為A1B1和C C1的中點,D與F分別為線段A C和A B上的動點(不包括端點),若G D⊥E F,則線段D F的長度的取值范圍為___。

4 8.如圖1 6,在正四棱錐S-A B C D中,O為頂點S在底面上的射影,P為側(cè)棱S D的中點,且S O=O D,則直線B C與平面P A C所成的角為____。

圖1 6

4 9.如圖1 7,已知點E、F分別在正方體A B C DA1B1C1D1的棱 B B1、C C1上,且B1E=2E B,C F=2F C1,則平面A E F與平面A B C所成的二面角的正切值為____。

三、解答題

5 0.如圖1 8,矩形A B C D中,A B=1 A D=2,E為A D的中點,沿B E將△A B E折起至△P B E,如圖1 9所示,點P在平面B C D E的射影O落在B E上。

(1)求證:B P⊥C E;

(2)求二面角B-P C-D的余弦值。

圖1 8

圖1 9

5 1.如圖2 0,在多面體A B C D E F中,四邊形A B C D是菱形,E F∥A C,E F=1,∠A B C=6 0°,C E⊥平面A B C D,C E=3,C D=2,G是D E的中點。

圖2 0

(1)求證:平面A C G∥平面B E F;

(2)求直線A D與平面A B F所成角的正弦值。

5 2.如圖 2 1,在以A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中,平面A B E F為正方形,A F=2F D,∠A F D=9 0°,并且二面角D-A F-E與二面角C-B E-F的大小都是6 0°。

圖2 1

(1)證明:平面A B E F⊥平面E F D C;

(2)求二面角E-B C-A的余弦值。

5 3.如圖2 2,在直角梯形A B C D中,A D∥B C,∠B A D=9 0°,A B=B C=1,A D=2,E是A D的中點,O是A C與B E的交點。將△A B E沿B E折起到△A1B E的位置,如圖2 3。

圖2 2

圖2 3

(1)證明:C D⊥平面A1O C;

(2)若平面A1B E⊥平面B C D E,求平面A1B C與平面A1C D夾角的余弦值。

54.如圖2 4,在四棱錐P-A B C D 中,底面A B C D是平行四邊形,∠B C D=1 3 5°,側(cè) 面P A B⊥底面A B C D,∠B A P=9 0°,A B=A C=P A=2,E,F分別為B C,A D的中點,點M在線段P D上。

(1)求證:E F⊥平面P A C;

圖24

(2)如果直線ME與平面P B C所成的角和直線ME與平面A B C D所成的角相等,求

5 5.如圖2 5,在棱長為2的正方體A B C DA1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱A B,A D,A1B1,A1D1的中點,點P,Q分

別在棱DD1,B B1上移動,且D P=B Q=λ(0＜λ＜2)。

圖25

(1)當(dāng)λ=1時,證明:直線B C1∥平面E F P Q。

(2)是否存在λ,使平面E F P Q⊥平面P QMN?若存在,求出實數(shù)λ的值;若不存在,說明理由。

5 6.在如圖2 6所示的幾何體中,平面A DNM⊥平面A B C D,四邊形A B C D是菱形,四邊形A DNM是矩形,AM=1,E是A B的中點。

圖26

(1)求證:平面D EM⊥平面A BM。

(2)在線段AM上是否存在點P,使二面角P-E C-D的大小為若存在,求出A P的長;若不存在,請說明理由。

5 7.如圖2 7,四棱錐PA B C D中,P A⊥底面A BC D,底面A B C D是直角梯形,∠A D C=9 0°,A D∥B C,A B⊥A C,A B=A C=2,點E在A D上,且A E=2E D。

(1)已知點F在B C上,且C F=2F B,求證:平面P E F⊥平面P A C。

(2)當(dāng)二面角A-P B-E的余弦值為多少時,直線P C與平面P A B所成的角為4 5°?

圖27