圓錐曲線中定點(diǎn)問題的三種模型

■河南省濮陽市第一高級中學(xué) 趙 昊

定點(diǎn)問題是常見的題型,解決這類問題的關(guān)鍵就是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立尋找不受參數(shù)影響的量。解直線過定點(diǎn)問題的通法:設(shè)出直線方程y=k x+m,通過韋達(dá)定理和已知條件找出k和m的一次函數(shù)關(guān)系式,代入直線方程即可。技巧在于:設(shè)哪一條直線?如何轉(zhuǎn)化題目中的條件?圓錐曲線是一種很有趣的載體,自身存在很多性質(zhì)與結(jié)論,如果同學(xué)們能夠熟記這些常見的結(jié)論,那么解題時必然會事半功倍。下面總結(jié)圓錐曲線中定點(diǎn)問題的三種常見模型。

模型一:“手電筒”模型

例1已知橢圓,若直線l:y=k x+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn)),且以A B為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)。求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方

因為以A B為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),所以kAD·kBD=-1,即

解得m1=-2k,m2=且滿足3+4k2-m2＞0。

當(dāng)m=-2k時,l:y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2,0),與已知條件矛盾;

整理得7m2+1 6m k+4k2=0。

小結(jié):橢圓有一些常見的結(jié)論,比如:過橢圓上任意一點(diǎn)P(x0,y0)作相互垂直的直線,交橢圓于點(diǎn)A、B,則弦A B必過定點(diǎn)

模型拓展:本題還可以拓展為“手電筒模型:只要任意一個限定A P與B P條件(如kAP·kBP=定值,kAP+kBP=定值),直線A B依然會過定點(diǎn)(因為三條直線形似手電筒,故稱為手電筒模型)。

模型二:切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)

例2有如下結(jié)論:圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為x0y+y0y=r2。類比,也有結(jié)論:橢圓＞0)上一點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B。

(1)求證:直線A B恒過定點(diǎn);

(2)當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時,求△A B M的面積。

解析:(1)由題意,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),結(jié)合性質(zhì)可知,MA的方程為

小結(jié):切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用,但是在正式的考試過程中不能直接引用,需進(jìn)行必要的說明。

模型三:相交弦過定點(diǎn)

例3 已知橢圓,若直線l:x=t(t＞2)與x軸交于點(diǎn)T,P為直線l上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn),A1(-2,0),A2(2,0),直線P A1、P A2分別與橢圓交于M、N點(diǎn),試問直線MN是否通過橢圓的焦點(diǎn),并證明你的結(jié)論。

小結(jié):相交弦性質(zhì)實質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展,但具體而言,相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多,計算量相對較大,解題過程中一定要注意細(xì)節(jié),同時注意總結(jié)解這類題的通法。