可控擴散葉型全3維黏性反問題設計方法

李清華 ，劉昭威

（1.南京航空航天大學能源與動力學院，南京210016；2.中國航發四川燃氣渦輪研究院，成都610500）

0 引言

計算流體力學（CFD）技術在壓氣機設計領域主要用于進行流場數值模擬與氣動性能求解。需要根據數值模擬結果不斷修正葉片幾何構型，再反復求解流場，直至得到滿足目標性能要求的葉片幾何構型。重復調整驗證的過程計算量較大，工作周期長，設計過程繁瑣低效。為此提出了基于CFD技術的反問題設計方法，通過給定和控制葉片表面氣動參數分布，直接求解出滿足設計要求的葉片幾何構型，目的性強、求解過程更為直觀、具有較高的設計效率。

Dang等[1-3]對反問題設計方法的研究從2維無黏設計計算逐步擴展到3維黏性計算，研究對象也從亞聲速壓氣機擴展到跨聲速軸流壓氣機，發展并改善了適用于反問題設計計算的滲透邊界條件，開發了INV3D軸流壓氣機葉片反問題設計程序，并成功地運用于工程實際的改型設計中；Ghaly等[4]通過給定載荷和實際載荷之間的差異得到中弧面虛擬速度，基于此更新葉片幾何構型；Hield[5]和Van Rooij等[6]研究了多級壓氣機的反問題設計方法，對級間氣動匹配過程進行了極大的簡化，提升了反問題設計方法的工程實用性。在中國，王正明等[7-8]開展了2維反問題設計方法的研究，并建立了全3維黏性反問題設計方法；周新海等[9]通過有限體積法求解Euler方程，將反問題設計方法擴展到跨聲速葉柵；楊策等[10]在葉片表面規定無量綱目標速度分布，基于目標速度分布和計算所得速度分布之間的差值來修正葉片吸壓力面坐標，最終得到符合目標的葉片幾何構型；寧方飛等[11]構造了葉片表面控制體，發展了葉片型線更新量與靜壓之間的關系，并將反問題設計應用在工程實踐中。

可控擴散葉型在20世紀80年代由PW公司提出。NASA的Sanz等[12-13]開發的可控擴散葉型反問題設計程序 LINDES（Lewis Inverse Design Code）被廣泛應用；Gelder和Schmid[14]采用可控擴散葉型對靜子進行重新設計，葉片數減半，達到了雙圓弧葉型的性能；Sanger和Shreeve[15]對其所設計的可控擴散葉型靜子葉柵進行與傳統雙圓弧葉型性能對比試驗，驗證了可控擴散葉型具有更寬廣的穩定工作范圍。在中國，劉波等[16]采用數值優化技術提出了1種可控擴散葉型的優化設計方法；鐘兢軍等[17]對可控擴散葉型的發展與設計方法進行了系統的歸納和總結。可控擴散葉型的設計概念能夠為全3維黏性反問題設計定解條件給定方法的研究提供良好的借鑒。同時采用全3維黏性反問題設計，能夠進一步提升可控擴散葉型的設計精度。

本文在自行開發的壓氣機全3維黏性反問題計算程序CIDS[18]的基礎上，發展了全3維黏性可控擴散葉型反問題設計方法。并選取NASA Stage35靜子葉片作為算例進行驗證。

1 模型和計算方法

本文的反問題設計計算基于有限體積法求解全3維黏性Navier-Stokes方程。其中，對流通量空間離散采用Steger-Warming迎風分裂格式，黏性通量計算采用2階中心差分格式；采用LU-SGS隱式格式進行時間推進來獲得方程的定常解；運用當地時間步長和隱式殘差光順提高收斂速度、增加求解的穩定性；湍流黏性的計算采用Bald-Lomax湍流模型，計算量較小，且計算效率較高。

1.1 壓氣機葉片全3維反問題設計方法

本文通過給定葉片吸壓力面靜壓分布的方法，采用反問題求解相應的葉片幾何構型。在求解過程中，葉片型線在給定靜壓分布的作用下不斷更新，直至滿足設計要求。本文在課題組前期研究的基礎上[19]，采用黎曼不變量守恒構造反問題計算邊界條件，構建起吸壓力面靜壓分布與葉片型線更新量之間的關聯關系

式中:v為采用給定靜壓與葉片表面實際靜壓差計算得到的葉片壁面的虛擬移動速度；p為靜壓；γ為比熱比；ρ為密度；上標“+”和“-”分別表示葉片上、下表面。

用葉片吸壓力面的虛擬移動速度乘以1個虛擬時間步長，就得到葉片壁面的虛擬位移。葉片吸壓力面虛擬位移如圖1所示。

圖1 葉片吸壓力面虛擬位移

上述反問題設計方法理論是建立在2維基礎上的，很容易就能推廣到3維反問題設計中。在全3維反問題求解計算中，根據壓氣機子午流道形狀將子午面按照流道高度從低到高劃分網格截面。進行反問題設計計算時，往往根據設計意圖，選取若干網格截面作為設計截面，計算得到其新的網格節點坐標，其他非設計截面則采用插值求得。

在反問題設計過程中，為了避免葉片吸、壓力面型線出現“交叉”現象或者在前后緣出現“不閉合”現象，必須對葉片厚度變化做出一定的約束。首先，給定葉片上下表面設計區域的移動范圍，即給定葉片厚度變化的上下限，防止葉片“過薄”或者“過厚”，出現不合理的葉片形狀；其次，保證葉片前后緣厚度不變，以確保葉片吸、壓力面型線在前后緣處閉合。葉片幾何型線設計區域如圖2所示，設計者可根據強度或其他設計需求給定設計區域的具體范圍。

圖2 葉片幾何型線設計區域

在進行反問題改型設計時，需要保證葉片的氣流折轉角達到設計目的。以葉片基元級建立控制體，控制體內的氣體流動應當滿足動量矩守恒方程，在絕對坐標系下的表達形式為

式中:M為動量矩；G為流經控制體的氣體質量流量；r為半徑；cθ為氣流絕對速度的切向分量。

控制體總動量矩M可通過葉片對氣流的切向作用力求出

式中:Aθ為葉片中弧面面積的切向分量；LE和TE分別表示葉片前緣和尾緣。

在葉片改型前后，只需保證葉片吸壓力面靜壓差從前緣到尾緣的積分相等，就能保證葉片氣流折轉角在改型前后一致。

1.2 可控擴散葉型反問題設計

可控擴散葉型屬于定制葉型，其設計目標是要控制氣流沿葉片表面的流動過程，減弱氣流在葉片通道內的激波強度，使氣體盡可能保持較好的流動狀態，降低激波與附面層之間的相互干擾，進而減小流動損失。可控擴散葉型主要應用于高亞聲速和低跨聲速葉型設計中，其進口相對馬赫數為0.8~1.2。

可控擴散葉型葉片表面氣流流動如圖3所示。從圖中可見，在葉片壓力面附近氣流速度變化不大，基本保持相對較低的馬赫數不變進行流動；在葉片吸力面附近，氣流從前緣開始持續加速，達到峰值馬赫數，該峰值馬赫數由設計人員給定，一般不超過1.2或1.3，氣流在葉片吸力面附近形成1個超聲速區。但是由于相對馬赫數不高，所以不會產生較強的激波。氣流加速達到峰值馬赫數后，通過控制其后的擴壓程度，使氣流平緩地進行減速運動，降低壁面附近的逆壓梯度，從而減小附面層分離發生的風險，使氣流能夠保持較好的流動狀態，減少流動損失。前期研究表明，采用上述設計思路，能夠使葉型以較小的總壓損失在比較寬廣的范圍內穩定工作，同時使氣流在整個葉片都保持較好的流動狀態，不會發生明顯的附面層分離。

圖3 可控擴散葉型葉片表面氣流流動

反問題設計方法是直觀地給出葉片吸壓力面氣動參數的分布規律，通過求解器直接計算得到葉片的幾何構型。本文采用的反問題設計方法以葉片表面靜壓分布作為輸入目標來進行葉片型線設計計算。但是由于反問題計算是基于全3維黏性流場求解，在壁面附近采用無滑移邊界條件，氣流在葉片表面速度為0。因此本文采用等熵馬赫數對葉片表面附近的氣流速度進行設計，然后再根據等熵流動關系，將葉片吸壓力面等熵馬赫數分布轉化為靜壓分布

式中:pref為參考壓力，本文選擇為靜子葉片進口平均總壓；Maisen為葉片表面對應的等熵馬赫數。

采用式（4）將葉片表面的等熵馬赫數分布轉化為對應的靜壓分布，輸入反問題設計計算。

可控擴散葉型吸壓力面等熵馬赫數及其對應的靜壓分布如圖4所示。從圖中可見，壓力面靜壓分布幾乎保持為1個常數，吸力面靜壓在前緣迅速降低，通過超聲速區后，經歷了1個較為平緩的擴壓過程，靜壓升高至設計值。按照可控擴散葉型的設計規律給定葉片吸壓力面的靜壓分布，通過反問題設計計算，可以達到控制葉片表面流動狀態的目的。

圖4 可控擴散葉型吸壓力面等熵馬赫數及其對應的靜壓分布

按照上述思路，本文采用全3維黏性反問題設計方法進行可控擴散葉型設計的具體流程為:首先對葉片表面等熵馬赫數分布進行設計；其次采用等熵流動關系將等熵馬赫數分布轉換為相應的靜壓分布，以其作為目標靜壓輸入反問題設計計算，如圖5所示。

2 計算結果及分析

圖5 可控擴散葉型反問題設計流程

本文選取NASA Stage 35靜子葉片作為算例，采用本文所發展的可控擴散葉型設計方法，對其靜子葉片進行改型設計，以驗證方法的準確性和有效性。為了比較采用多圓弧葉型（Multiple Circular Arc Airfoil，MCA）的原始葉片幾何與反問題設計得到的可控擴散葉型葉片幾何的氣動性能，以Stage35原型靜子葉片為初始幾何，重新設計葉片吸壓力面靜壓分布，按照如圖5所示流程進行可控擴散反問題設計計算。NASA Stage 35是小展弦比高負荷跨聲速壓氣機級，其進口馬赫數為0.75左右。靜子葉片采用多圓弧葉型設計，共有46個葉片，葉尖稠度為1.3左右。在進行反問題設計時，分別選取5%、30%、50%、70%、95%葉高處的截面為設計截面，葉片其余葉高處的截面通過插值得到。為了保證反問題計算過程穩定，一般每10~20個時間推進步長進行1次反問題計算及葉片幾何型線更新。

圖6 30%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數分布及其對應的靜壓分布

圖7 50%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數分布及其對應的靜壓分布

圖8 70%葉高處截面吸壓力面等熵馬赫數分布及其對應的靜壓分布

進行等熵馬赫數分布設計時對不同葉高截面處采用相似的設計規律。為了避免在葉片通道內產生激波，控制葉片吸力面峰值馬赫數為1.0，壓力面和尾緣出口馬赫數均為0.56。同時，本文是在保證總載荷不變的情況下，比較改型前后葉片幾何的總體氣動性能，因此要保證改型前后氣流在靜子葉片中的轉折角不發生變化，即在改變葉片吸壓力面靜壓分布時，需確保其載荷沿流向積分不變。吸壓力面等熵馬赫數分布采用B樣條曲線構造。不同設計截面吸壓力面等熵馬赫數分布及其對應的靜壓分布分別圖6～8所示。將靜壓分布作為目標輸入反問題設計程序進行計算，從圖7～9中目標靜壓與反問題計算結果的靜壓分布的對比可見，反問題計算結果（紅線所示）與設計目標（藍色圓圈）符合性較好，基本滿足設計意圖，很好地實現給定的吸壓力面靜壓分布。按照等熵流動關系將其轉換成等熵馬赫數分布可見，葉片吸壓力面馬赫數與設計目標吻合較好，氣流在葉片表面的流動符合可控擴散葉型的流動特點。氣流在吸力面前緣連續加速達到峰值馬赫數，然后經過平緩的減速擴壓過程，最后達到給定的出口尾緣馬赫數，而在壓力面其流動速度基本保持不變，按照給定的馬赫數勻速流動。

從圖6～8中還可見，葉片前半部分吸壓力面靜壓差明顯要比后半部分大，表明設計時葉片前半部分載荷較大。3個不同葉高位置處反問題設計得到的可控擴散葉型與原始多圓弧葉型幾何的對比如圖9所示。從圖中可見，通過反問題設計得到的可控擴散葉型與原始多圓弧葉型有明顯區別，由于葉片前半部分承受載荷較大，可控擴散葉型葉片前半部分曲率變化較大。

圖9 不同葉高位置處反問題設計得到的可控擴散葉型與原始多圓弧葉型幾何的對比

不同葉高位置處反問題設計得到的可控擴散葉型與原型葉片通道內相對馬赫數等值線分布對比如圖10～12所示。從圖中可見，反問題設計得到的可控擴散葉型靜子葉片通道內氣流的流動結構較好地滿足了設計目標。葉片通道內氣流峰值馬赫數為1.0左右，沒有產生較強的激波，在40%弦長處出現了局部的超聲速區域，由于控制了峰值馬赫數的大小，降低了激波的強度，從而有效控制了激波損失。同時，由于對葉片吸力面后半部分的擴壓程度進行控制，降低了附面層分離的風險，氣流在葉片吸力面后半部分的擴壓流動較為合理。對比原始多圓弧葉型靜子葉片可以發現，原雙圓弧葉型的靜子葉片吸力面加速區靠近前緣部分，且在這部分區域加速比較明顯，峰值馬赫數位置靠近葉片前緣，而改型后形成的可控擴散葉型的靜子葉片，其吸力面的峰值馬赫數及其位置均由設計者給定，峰值馬赫數為1.0左右，大約在葉片弦長2/3處達到，壓力面的相對馬赫數基本沒有變化，氣流按照設計給定速度從前緣流動到尾緣。

圖10 30%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數分布對比

圖11 50%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數分布對比

圖12 70%葉高位置處反問題葉型與原型葉片馬赫數分布對比

帶有原始葉型和反問題設計得到的可控擴散葉型靜子葉片的壓氣機級設計點總體氣動性能對比見表1。從表中可見，本文改型設計得到的可控擴散葉型靜子，其壓氣機級總體性能要優于原型的，其中流量增加了0.33%，總壓比提升了0.36%，絕熱效率提高了0.61%。

表1 NASA Stage 35原型與反問題氣動性能對比

為了進一步驗證反問題設計得到的可控擴散葉型靜子葉片以及整個壓氣機級在設計轉速下的氣動性能，本文對其進行設計轉速下的特性計算，并與原型進行對比。由反問題設計得到的可控擴散葉型與原始多圓弧葉型壓氣機級效率和壓比特性曲線對比如圖13所示。從圖中可見，改型后的壓氣機級的堵點流量有所增加，壓比與原型的相比基本不變，而在近喘振工況點效率比原型的有所提高。

圖13 NASA Stage 35反問題設計與原始壓氣機級效率和壓比特性曲線對比

3 結論

本文在課題組全3維黏性反問題設計方法的基礎上，發展了可控擴散葉型的全3維反問題設計方法，通過等熵流動關系建立起吸壓力面靜壓分布與葉片表面氣流速度之間的關系。以Stage 35為設計實例，對其靜子葉片進行可控擴散葉型反問題改型設計。通過分析對比得到以下結論:

（1）反問題設計計算結果很好地滿足了給定的設計條件，得到的靜壓分布與給定靜壓分布吻合較好，驗證了本文所采用的全3維黏性反問題設計方法的準確性和有效性。

（2）以可控擴散葉型流動結構為設計目標，發展了1種基于全3維黏性反問題計算的可控擴散葉型反問題設計方法。通過合理設計葉片表面的馬赫數分布，求解得到滿足設計目標的葉型幾何，其葉片通道內的流動結構符合可控擴散葉型的流動特點。通過算例對比分析，壓氣機設計點和非設計點的性能均得到提升，驗證了本文發展的可控擴散葉型全3維反問題設計方法的有效性。

（3）本文在全3維環境下開展可控擴散葉型設計，拓寬了全3維黏性反問題設計的應用范圍，為反問題設計中定解條件的給定方法提供了新思路。在進行反問題設計時，可以合理組織葉片表面流動結構，根據設計需求給定葉片表面的氣動參數分布，采用反問題設計方法求解出滿足設計目標的葉片幾何構型。