基于近似模型的銑削工藝參數可靠性設計優化

尚寶平 閆富宏 劉高峰 陳振中 邱浩波 李曉科

1.鄭州輕工業大學河南省機械裝備智能制造重點試驗室,鄭州,450002 2.洛陽天浩泰軌道裝備制造有限公司，洛陽,471000 3.東華大學機械工程學院，上海,201620 4.華中科技大學機械科學與工程學院，武漢,430074

0 引言

銑削速度、進給量等銑削工藝參數對加工時間、加工質量、加工成本等諸多因素起著至關重要的作用[1]，因此，根據零件技術要求、機床加工范圍以及刀具的切削能力來選擇最優的銑削工藝參數具有重要的意義[2]。過去幾十年，國內外學者對銑削工藝參數優化進行了大量研究。

袁人煒等[3]利用二階響應面構建螺旋切削中銑削力與主軸轉速、每齒進給量、軸向和徑向切削深度的映射關系模型，以分析不同切削參數對銑削力的影響作用。張臣等[4]建立了銑削力優化模型，預測并控制瞬時銑削力的變化，在此基礎上優化各工序的銑削進給速度，顯著提高了加工效率和產品質量。熊堯等[5]提出了一種基于數值模擬與優化算法相結合的加工工藝參數優化方法，以尺寸精度、表面粗糙度、加工工時、加工成本為目標函數，以加工工藝參數(進給速度、切削深度和主軸轉速)為決策變量，建立多目標優化模型，并采用離散變量網格直接尋優算法求得最優工藝參數組合。曹宏瑞等[6]提出了基于主軸-切削交互過程模型的高速銑削參數優化方法，通過選用最佳切削深度和主軸轉速，使變速箱蓋前端面內側壁的加工效率提高了275%。李聰波等[7]建立了以能量效率最大化和加工時間最小化為目標的銑削參數優化模型，并采用連續禁忌算法進行優化求解，大幅度提高了機床能量效率。RAO等[8]以銑削次數、每次銑削深度、銑削速度和進給量為優化設計變量，采用人工蜂群(artificial bee colony，ABC)算法、粒子群優化(particle swarm optimization，PSO)算法和模擬退火(simulated annealing，SA)算法進行加工時間最小化的銑削參數優化設計。RAJU等[9]建立了加工參數的二階數學模型，采用基于方差分析的多元回歸分析方法來確定銑削參數對表面粗糙度的影響，通過遺傳算法(genetic algorithm，GA)確定最優銑削參數組合。針對多道次銑削過程中的非線性約束，GAO等[1]提出了元胞粒子群優化(cellular particle swarm optimization, CPSO)算法進行銑削參數優化。該算法結合了罰函數法和PSO算法的約束處理策略，在元胞周圍構建了基于自適應函數和約束處理機制的鄰域，引導不可行粒子移動到可行區域，以此來尋求更好的優化解。ALBERTELLI等[10]以銑削速度、進給量和徑向銑削深度為設計變量進行銑削能耗的設計優化。JANG等[11]建立了銑削加工能耗模型，采用PSO算法優化銑削參數，并采用最小量的潤滑方案來減少切削油的使用量，從而最小化加工成本。SHIN等[12]提出了一種基于組件的能量建模方法，并進行銑削參數的在線優化。

雖然銑削參數優化方法已經得到了廣泛研究，但現有的優化設計方法均是基于確定性的優化，并未考慮實際加工過程中銑削參數所存在的微小波動，而該波動必然會導致銑削過程中存在不確定性，因此，有必要采用考慮銑削參數不確定性的可靠性優化方法進行銑削工藝參數的優化設計。

在結構設計領域，定量考慮材料屬性、幾何形狀以及邊界條件不確定性的可靠性優化方法已經得到了廣泛的應用[13-14]。可靠性優化方法通常由可靠性分析和設計優化兩階段組成。可靠性分析是對當前設計點處的可靠度水平或失效概率進行評價，通常可采用基于概率密度函數近似的方法[15]、基于最大可能失效點的方法[16]和基于隨機模擬的方法[17]。設計優化可采用經典的基于梯度的優化方法和啟發式優化算法。可靠性分析與設計優化的集成策略同樣對可靠性優化的求解效率造成影響。常用方法有雙循環法[18]、單循環法[19]、解耦法[20]以及基于序列近似規劃的方法[21]。

可靠性優化的求解過程通常涉及隱式的目標及功能函數。對隱式函數的處理同樣構成可靠性優化的重要研究內容。通常可采用以下3種優化方法：①直接在優化迭代中調用隱式功能函數值[22]；由于每個隱式功能函數值的評價往往涉及計算昂貴的有限元仿真或者物理試驗，該方法效率較低；②構建隱式功能函數的近似數學表達式，進而在優化迭代中調用該近似模型，該方法可大幅度提高可靠性優化的求解效率[23]；③在優化過程中構建近似模型，邊優化邊構建近似模型，通常情況下該方法的求解效率最高[24]。

本文對銑削參數優化問題進行研究，建立了基于近似模型的銑削工藝參數可靠性優化模型，并采用Monte Carlo仿真-序列近似規劃技術對模型進行了尋優求解。

1 構建銑削參數優化模型的基礎理論

1.1 近似模型

表面粗糙度和最大銑削力與銑削速度和每齒進給量之間的關系需要通過銑削試驗來確定。銑削工藝參數優化涉及多次迭代，每次迭代均需進行銑削試驗，優化成本很高。為降低試驗成本，本研究擬采用少數銑削試驗數據構建近似模型，然后在優化設計中直接調用近似模型來獲得最優的銑削參數。

常用近似模型有多項式響應面(polynomial response surface，PRS)、徑向基函數(radial basis function，RBF)、支持向量回歸(support vector regression，SVR)以及克里金(Kriging，KRG)近似模型，其表達式分別表述如下。

多項式響應面PRS(二階):

(1)

徑向基函數(RBF):

(2)

支持向量回歸(SVR):

(3)

式中，〈w·Φ(x,xk)〉表示超參數w與支持向量回歸核函數Φ(x,xk)的內積；b為待定系數。

克里金(KRG)近似模型：

(4)

1.2 廣義均方交叉驗證誤差

為保證銑削工藝參數優化的精度，必須確保表面粗糙度模型和最大銑削力模型盡可能精確，因此，必須對近似模型的誤差進行評判。在樣本點有限的情況下，廣義均方交叉驗證誤差通常可作為近似模型誤差的評判準則，其數學模型表達如下：

(5)

1.3 試驗設計

近似模型的構建依賴于樣本點的選擇，常用方法有全因子試驗設計、部分因子試驗設計、正交試驗設計、均勻試驗設計以及拉丁超立方試驗設計(Latin hypercube design, LHD)。其中拉丁超立方試驗設計因其良好的均勻特性與投影特性在近似模型的構建中得到了廣泛應用。

對于N維問題，利用拉丁超立方試驗設計采取m個樣本點的過程如下：

(1)將每一維度區間均勻劃分為m等分，采樣過程中樣本點落到每個區間的概率均等；

(2)在每個區間對每一維度的設計變量隨機選取一個值，因此每一維度均生成了m個隨機數；

(3)將N維m個隨機數隨機組合，構成整體樣本。

圖1描述了二維空間中利用LHD方法采集的5個樣本點的分布情況。可以看出，樣本點在整個采樣空間中均勻分布，并且每一維度的每個小區間均有且只有一個樣本點占據，因此，LHD的樣本點空間利用率高。

圖1 兩因素五水平問題的拉丁超立方試驗設計Fig.1 Latin hypercube design of two factors and five levels

2 加工試驗設計及本文方法流程

2.1 銑削試驗設計

銑削表面粗糙度對產品的性能有著至關重要的影響，高質量的銑削表面(通常以表面粗糙度來衡量)可以提升產品的疲勞強度和耐蝕性[25]，因此，本研究的優化目標為最小化表面粗糙度。銑削力會造成加工過程中的機床震顫，并且可能會對刀具壽命造成影響，因此本研究以最大銑削力作為約束。銑削速度和每齒進給量會對銑削力以及銑削表面粗糙度有重要影響，因此以銑削速度和每齒進給量作為優化變量。

采用拉丁超立方試驗設計進行銑削工藝參數的選取，不同工藝參數下的表面粗糙度和最大銑削力通過實際銑削試驗獲得。試驗在上海拓璞VMC-C50五軸立式銑削加工中心進行，以直徑為16 mm的硬質合金立銑刀(1P 240-1600-XA 1630，山特維克)加工100 mm×100 mm×10 mm的ZCuAl9Fe4Ni4Mn2長方體試樣。以加工過程中的最大銑削力和已加工表面粗糙度作為輸出評價指標。

利用Kistler旋轉式測力儀(9123C1011)和NIPXI-1042數據采集系統進行銑削力數據的測量采集，并通過Taylor表面輪廓綜合測量儀對已加工表面粗糙度進行測量。

為確保表面粗糙度模型和最大銑削力模型盡可能準確，保證銑削工藝參數優化的求解精度，本文采用廣義均方交叉驗證誤差對各模型精度進行評判。

2.2 本文方法流程及步驟

本文提出的基于可靠性的銑削工藝參數優化方法流程見圖2，其具體步驟如下。

圖2 基于可靠性的銑削參數優化流程圖Fig.2 Flowchart of reliability-based milling parameters optimization

(1)采樣和銑削試驗。為確保樣本設計空間分布的均勻特性及投影特性，采用LHD方法選取20個樣本點進行銑削試驗作為近似模型構建的基礎。

(2)構建和選取最優近似模型。根據采樣和銑削試驗結果，分別構建多項式響應面(PRS)、徑向基函數(RBF)、支持向量回歸(SVR)以及克里金(KRG)近似模型。然后采用廣義均方交叉驗證誤差對各模型的精度進行評判，選取最優近似模型替代銑削過程中最大銑削力以及表面粗糙度與銑削速度和每齒進給量之間的隱式關系，進而在可靠性優化中調用近似模型以降低計算成本。

(3)基于可靠性的銑削參數優化模型求解。以最小化表面粗糙度為優化目標，以最大銑削力小于給定值的可靠度大于目標可靠度作為約束，采用樣本數為106的Monte Carlo仿真計算失效概率及其梯度，進而利用序列近似規劃求解下一個迭代設計點，最終求出滿足收斂準則的可靠性最優解。

3 基于可靠性的銑削工藝參數優化

為保證加工過程的平穩性，要求最大銑削力小于一定值，同時，要使已加工表面盡可能光滑以提升產品的疲勞強度和耐蝕性，因此，確定性優化以最大銑削力小于給定值作為約束，而可靠性優化量化最大銑削力小于給定值的可靠度βt，將該可靠度大于目標可靠度作為約束，并以最小化表面粗糙度作為優化目標，同時，考慮銑削速度(m/min)和每齒進給量(mm)在加工過程中存在的微小變動，可構建銑削工藝參數可靠性優化模型：

(6)

其中，μv和μf分別為銑削速度v和每齒進給量f的均值;Fg為根據經驗給出的最大銑削力允許值；P(Fmax≤Fg)表示最大銑削力小于等于給定值的概率；Φ(βt)表示正態分布的累計分布函數。

3.1 最大銑削力和表面粗糙度模型的構建

銑削過程中最大銑削力以及表面粗糙度與銑削速度和每齒進給量的關系難以用明確的數學式表達，因此在優化過程中先采用近似模型進行替代，進而調用近似模型以降低計算成本。由于良好的均勻特性以及投影特性，構建近似模型的樣本點通過拉丁超立方試驗設計LHD選取。本研究選取20個LHD樣本點進行銑削試驗來構建表面粗糙度和最大銑削力與銑削速度和每齒進給量之間隱式關系的近似模型。

為選取最優近似模型對最大銑削力和表面粗糙度進行擬合，采用廣義均方交叉驗證誤差對各模型的精度進行評判。利用2.2節中4種模型對最大銑削力進行擬合的廣義均方交叉驗證誤差見表1。利用上述4種模型對粗糙度進行擬合的廣義均方交叉驗證誤差見表2。

分別利用KRG近似模型和RBF近似模型對最大銑削力和表面粗糙度進行擬合,最終擬合結果見圖3、圖4。

表1 各模型擬合最大銑削力的廣義均方交叉驗證誤差

表2 各模型擬合表面粗糙度的廣義均方交叉驗證誤差

圖3 利用克里金近似擬合的最大銑削力Fig.3 The maximum milling force using Kriging approximation

圖4 利用徑向基函數擬合的表面粗糙度Fig.4 The surface roughness using radial basis function

3.2 銑削速度和進給量的可靠性設計優化

最大銑削力和表面粗糙度模型構建完成后，利用Monte Carlo仿真進行當前設計點失效概率及梯度的計算，進而利用序列近似規劃算法求解下一個迭代設計點，最終求出滿足收斂準則的可靠性最優解。

可靠性設計優化過程中銑削速度和進給量的迭代設計點見表3。可以看出，隨著設計迭代的進行，工件的表面粗糙度不斷降低，最大銑削力稍有上升， 但其可靠度指標逐漸逼近設定的目標可靠度，充分說明了本研究優化設計方法的可行性。

表3 銑削工藝參數可靠性設計優化迭代過程

4 驗證性試驗

利用以上經可靠性設計優化求得的加工參數組合進行銑削試驗驗證，得到的試驗結果為：表面粗糙度為0.9 μm，最大銑削力為886 N，最大銑削力小于給定值的可靠度為2.000 2，與基于近似模型的優化結果基本吻合。該組合的結果與初始組合(第0次迭代)相比，表面粗糙度下降了21%，最大銑削力小于給定值的可靠度滿足設計要求，充分說明了優化試驗的結果更加可靠有效。

5 結論

(1)利用拉丁超立方試驗設計準則進行采樣，能夠保證訓練樣本的均勻特性與投影特性，滿足設計空間利用率和近似模型全局構建的要求。

(2)通過廣義均方交叉驗證誤差進行近似模型擬合精度的判斷，選擇誤差最小的克里金近似模型和徑向基函數近似模型作為最大銑削力和表面粗糙度的近似，能夠保證近似的準確性與高效性。

(3)以表面粗糙度作為優化目標并保證最大銑削力的可靠性，進行銑削工藝參數的優化，獲得的優化結果更加合理，可保證加工過程的平穩性與已加工表面的粗糙度要求。