干雪的密度—介電常數模型的比較與評價

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(1.山東省第七地質礦產勘查院，山東 臨沂 276000； 2.貴州省質安交通工程監控檢測中心有限責任公司，貴陽 550081； 3.貴州大學 資源與環境工程學院，貴陽 550025)

0 引 言

探地雷達(GPR)是研究高山積雪厚度和雪水當量(SWE)的有效工具，相比于其他技術，GPR能在有限的時間里探查更廣大的區域[1-3]。與地震數據處理類似，要將雷達波的雙程旅行時間轉化為深度，必須要知道雷達波在介質中傳播的速度，因此波速的推算就顯得尤為重要。在實際應用中，可以通過設計雙天線探地雷達的觀測方式，并運用相應的地球物理數據的處理方法，達到測量介質中電磁波波速的目的，如共中心點法(CMP)[4]、共深度點法(CDP)[1]、偏移分析法[5]、寬角反射/折射分析法(WARR)[6]以及反射波振幅反演等[7]。另外，還有其他電磁波方法和技術，如時域反射法(TDR)和雪特性分析儀(Snow Fork)，它們可以測量探針附近一小塊積雪區域的電磁波速度[8-10]，一般情況下，可以將其作為整個調查區域的電磁波波速。

除此之外，還有根據雪的密度求取波速的方法，即通過模型方程，將雪的密度與雪的介電常數聯系起來[1，3，6，8-9，11]。這種方法需要明確區分雪的干、濕狀態，以便準確地選擇相應的方程。

在最簡單的干雪狀態下(僅僅是冰與空氣的混合)，表征雪的介電常數和密度關系的方程也有許多種，因此選擇合適的方程就有一定難度。倘若雪中還摻雜了部分水，這種三相混合的情況將會更加復雜，誤差也會大大增加。此外，大多數模型方程都沒有給出明確的不確定度，這會影響到對計算結果的可信度分析。

本文所研究的重點是在干雪狀態下，對表征雪的介電常數和密度關系的模型方程進行比較，選出最合適的模型方程，并加以驗證。

1 密度-介電常數的關系

幾十年來，許多學者使用時域反射法(TDR)或頻率域分析法測算干雪/濕雪的介電常數，根據雪的密度(ρ)和其介電常數(ε)的測量結果，提煉出兩者之間的關系。本文將一些較為經典的ε(ρ)關系方程歸納見表1，表1中部分方程適用于濕雪狀態，可以將其模型中的含水率定為零，使其適用于干雪狀態[12]。

表1 雪的密度-介電常數關系

表1中雪的密度單位是g/cm3。根據表1，關系方程大致可以分為以下3類：

①線性關系：

ε=a1+a2ρ

②二次非線性關系：

ε=a1+a2ρ+a3ρ2或ε=(1+a4ρ)2

③混合規則：如文獻[13]、文獻[14]

相應文章的作者參考自己測量得到的數據及其他文獻的數據，得到這些線性和二次非線性關系方程。一些作者通過更新測量數據，簡單地修正了方程，因此表1中有些方程的常數項有許多相似之處。

大多數的文章作者都沒有給出相應方程或者參數的不確定度，這限制了方程的實際應用，并使得方程之間的對比變得困難[15]。只有個別作者給出了不確定度，具體如下：

文獻[17]估計ε的不確定度為±2%。

文獻[18]和文獻[19]的擬合曲線的標準差為0.031。

文獻[20]的擬合曲線的標準差為0.006。

缺少明確的不確定度，選擇哪種模型方程計算雪的介電常數就沒有對比依據。

表1中的部分文章作者給出的不確定度，已在圖1(b)中表示。在模型[13]、模型[14]、模型[21]和模型[22]中，冰的介電常數定為3.19±0.04[12]，冰的密度定為920±10 kg/m3[23]。由于模型[16]和模型[24]的擬合曲線基本一致，所以進行合并處理。

圖1為雪的密度-介電常數關系擬合曲線。圖1(a)為表1方程的擬合曲線，圖1(b)是對圖1(a)矩形框中的圖形進行放大，以更好地展示模型[16-20]的不確定度。

從圖1(b)中可以看出，Robin等的模型(黑色線，模型編號[16])可以作為最合理的選擇。因為該模型的不確定度區間幾乎囊括了其他模型的范圍，只有模型[32]在較高的密度區間上，稍微偏離了模型[16]的不確定度區間。

圖1 雪的密度-介電常數關系擬合曲線

因此，可以選擇模型[16]的方程來求取雪中的電磁波波速。

2 基于干雪的密度求取波速

使用擬合模型[16]，可以通過測得的密度值得到雪的介電常數及其不確定度，并得到雪中的電磁波波速：

(1)

式(1)中的c是真空中的光速，根據不確定度的傳播率[15]，波速υ的不確定度uυ取決于以下兩個因素：

①根據模型[16]得到的介電常數的不確定度：

②密度測量的不確定度：uρ

因此，可以得到波速υ的不確定度uυ為：

(2)

干雪的密度-電磁波波速關系曲線見圖2，數值的計算是基于模型[16]。在圖2中，左邊軸表征在干雪的密度范圍內，同時在模型不確定度的影響下，其電磁波波速的最大值和最小值的范圍(以虛線表示)；右邊軸表征波速υ的相對不確定度，可由式(2)得到。

需要注意的是，在圖2中將密度測量的不確定度(uρ)定為零，因此圖2中的波速υ的相對不確定度僅與擬合模型中的介電常數的不確定度(uε)有關。若代入實驗數據，就需要考慮雪密度測量的不確定度，所以實測條件下，uυ將會比圖2中的值更大。

圖2 干雪的密度-電磁波波速關系曲線

另外，由模型[16]得到的波速υ的相對不確定度，其量級與其他測量方法得到的波速υ的相對不確定度一致，如時域反射法(TDR)[8-9]、雪特性分析儀(Snow Fork)[10]、共中心點法(CMP)[4]、偏移分析法[5]等。

3 實驗數據驗證

本文所使用的數據來源于Paolo等測量的數據[9]，其數據采集自意大利阿爾卑斯山東部的Solda冰川附近，其3個采樣位置(雪坑)中的雪均為干雪[9]。時域反射法(TDR)測量使用的儀器為美國泰克 Tektronix 1502C 金屬電纜測試儀，所連接的3根導線探針長度為l=(30.0±2.9)mm，探針在空氣中的理論特性阻抗為(165±2)Ω(計算方法見文獻[34])。

實際測量時，在雪坑坑壁的不同高度，將探針水平插入進行探測。由于儀器連接的問題，在采集數據的第一天，在第一個采樣坑中，只有坑壁上半部分的數據，見圖3(a)。

在傳輸線中，信號傳輸的單程走時Δt可以使用導數法進行估算[20]，其波速的計算公式為：

(3)

此外，還在雪坑邊緣沿垂直方向進行取芯采樣，以測量積雪的密度，并得到相對連續的隨深度變化的密度剖面。采樣使用的是圓柱形的取樣器，其底面直徑為(47.00±0.29) mm，長度為(300.0±2.9) mm，每次取樣的體積大約為0.5 L。測定樣本質量時使用的儀器為科恩HDB 5K5N型電子鉤秤，其標稱精度為5 g。基于模型[16]，可以由雪坑密度隨深度變化的情況，得到波速的垂直分布廓線。

圖3為3個采樣位置的波速垂直分布廓線。其中，藍色點表示基于時域反射法(TDR)測量，使用式(1)計算得到的結果，黑色線表示基于取芯密度實測得到的結果。虛線表示根據式(2)得到的波速不確定度，需要指出的是，這個不確定度包含模型[16]的介電常數的不確定度和取芯密度實際測量的不確定度的影響。

圖3 3個采樣位置的波速垂直分布廓線

從圖3(a)-圖3(c)可以知道，所有采樣位置都有類似的特征，即地表附近的波速值稍高，且在深度0～150 cm的范圍內，均有波速值隨深度增加而下降的趨勢，當深度大于150 cm時，波速值近似不變。之前的其他研究者也得出了類似的波速垂直分布廓線(如文獻[1]和文獻[35])。

在每個采樣位置的兩組數據(即TDR結果和取芯實測結果)中，它們之間差異產生可以歸因于測量方法的差異。因為TDR探針在測量時是水平插入坑壁的，而對雪進行取芯采樣時是沿著垂直方向的。因此，這兩種方法不能同時測量同一部分雪，故而會有差異。此外，兩者之間的差異主要集中于采樣位置(雪坑)的表面，因為在雪坑表面。雪的孔隙度較大，所以在進行采樣和測量時會出現較明顯的差異。

4 結 論

通過比較不同的密度(ρ)-介電常數(ε)關系模型，基于如下兩個原因，證明了Robin等給出的模型方程是其中最為可靠的一個：

①Robin模型(即模型[16])的擬合曲線位于兩個極值曲線的中間(圖1)。

②Robin模型(即模型[16])的不確定度區間囊括了其他模型的范圍(圖1)。

此外，Robin模型的不確定度的大小，與不同測量手段得到的不確定度的大小，是具有可比性的(如TDR或CMP)。在干雪上所采集到的實驗數據，其結果也證明了Robin等建立的模型是合適的，最后的比較結果也有較好的一致性。