半球諧振陀螺全角模式信號處理控制方法

張嵐昕，趙萬良，李紹良，成宇翔，王 偉

(1.上海航天控制技術研究所，上海 201109；2.上海慣性工程技術研究中心，上海 201109)

0 引言

半球諧振陀螺具有結構簡單、可靠性高、壽命長、精度高且無累積誤差等特點，在空間探測、航空航海、精密設備等領域發揮著越來越重要的作用。半球諧振陀螺與其他類型的固體波動陀螺的工作原理類似，當諧振子在外加特殊頻率的激勵作用下會產生四波腹的諧振振型，陀螺隨載體在慣性空間中繞敏感軸轉動時，四波腹振型在科里奧利力的作用下會發生實時進動。通過外部電路將陀螺諧振子振動信號轉換為電信號，并通過信號處理的方法從電信號中得到諧振振型的進動特性，就可以獲取載體的角度或角速度信息。半球諧振子的結構圖以及四波腹振動示意圖如圖1所示。

(a)

(b)圖1 (a)半球諧振子結構圖，(b)四波腹振型示意圖Fig.1 (a)Structure of hemispherical resonator; (b) Transformation of four-wave vibrating pattern

按照工作原理，半球諧振陀螺可以分為力平衡(Force-to-Rebalanced)工作模式和全角(Whole-Angle)工作模式。較之于力平衡工作模式，全角模式半球諧振陀螺具有較大的動態范圍和響應速度，同時其信號處理和振型控制算法也更為復雜。全角模式的工作原理為，當有角速度輸入時，諧振子受到沿著與角速度和振動方向均垂直的方向產生的科里奧利力為：

F=2mΩ×v=-2mΩAωsin(ωt)

(1)

在科里奧利力的作用下，諧振子振型轉動角度與載體的轉動角度會相差一個滯后角度θ，稱θ為進動角或滯后角(見圖2)，進動角與載體轉動角度θreal存在固定的比例關系如下：

θreal=kθ

(2)

其中，比例系數k稱為進動因子，k的大小僅與陀螺諧振子的材料和結構有關，當陀螺表頭的物理狀態確定時，k可以被視為常數。因此，在全角工作模式下，一般通過外部電路在陀螺表頭輸出的振動信號的基礎上進行一系列的處理和解算，最終得到諧振振型的進動角，并用它來表征陀螺所在載體的實時轉動角度。

(a)陀螺未發生進動的狀態

(b)陀螺所在載體發生轉動時諧振振型發生進動圖2 振型進動狀態下示意圖Fig.2 Vibrating pattern under real-time precession

進動角度的解算精度與陀螺諧振振型的穩定性有很大關系，振動振型的頻率、波腹點幅度、波節點幅度的不穩定均會導致進度角的解算誤差。因此，為了保證全角模式下半球諧振陀螺的敏感精度，陀螺外部信號處理電路須包含波腹點幅度檢測與控制、波節點幅度檢測與控制、頻率跟蹤回路和角度信號解算等幾個部分。其中頻率跟蹤和波節點控制的效果對角度敏感的精度影響較大，頻率跟蹤回路的參數不合理時，會導致解調載波的相位與陀螺諧振相位差不收斂至0°，而是收斂至90°或-90°，并最終導致驅動力的相位混亂，振動狀態發散；而當波節點的幅度未被抑制到0且存在波動時，會造成幅度檢測量的波動和解調載波相位的波動，并最終影響角度敏感的精度。

本文介紹了一種半球諧振陀螺全角模式的控制方法，并分析了該方法的誤差來源和誤差抑制的方法。

1 半球諧振陀螺動力學模型

半球諧振陀螺的諧振子四波腹振型的振動參數耦合了振動幅度、振動頻率和進動角度等信息。全角模式下半球諧振陀螺通過陀螺敏感電極將陀螺的物理振動信號轉換為電信號；并通過信號處理算法將振動幅度、振動頻率和進動角度等信息分離和解算出來；并通過控制算法穩定諧振子的諧振振型，保證陀螺的進動角度穩定收斂。

當半球諧振陀螺諧振子振動的物理模型被簡化為彈簧質量阻尼系統時，其二階動力學模型如式(3)[1-2]：

(3)

其中，Ω為載體平臺轉動速度，k為諧振子進動因子，k′為向心力增益系數，ω為陀螺諧振子固有振動頻率，x和y為2個相互正交的信號軸向上的振動信號，fx和fy為從x和y兩方向上施加的控制作用，在半球諧振陀螺中，x和y的幾何放置位置相差45°。

在式(1)的基礎上，通過平均法可以得到陀螺諧振子在x和y位置上的振動位移表達式如下[3-4]:

x=acos(ωt)cos(θ)-qsin(ωt)sin(θ)

y=acos(ωt)sin(θ)+qsin(ωt)cos(θ)

(4)

其中，a和q為諧振振型的長軸和短軸，θ為進動角，x和y為陀螺通過相隔45°的2個電極讀出的信號，這2個電極的信號的物理意義是陀螺振動信號向2個電極方向的正交變換，如圖3所示。

圖3 諧振振型正交分解示意圖Fig.3 Orthogonal decomposition of vibrating pattern

2 半球諧振陀螺信號處理與控制

全角模式半球諧振陀螺信號處理與控制的目的是維持實時進動過程中的振型穩定并解算出實時進動角度，其主要包括以下4個部分：維持諧振能量不發生衰減的波腹點控制回路；抑制波節點幅度進而抑制陀螺敏感誤差的波節點控制回路；實時跟蹤陀螺諧振頻率和相位，產生解調參考信號的鎖相環回路；進動角度動態檢測部分。陀螺信號處理與控制的結構框圖如圖4所示。

圖4 全角模式半球諧振陀螺控制框圖Fig.4 Control scheme of whole angle mode HRG

電極讀出的陀螺信號如式(4)，相對于檢測電極輸出的陀螺諧振信號而言，半球諧振陀螺諧振振型的長軸振幅a、短軸振幅q以及陀螺動態進動角度θ等振動狀態量均為低頻慢變信號，需要通過信號處理的方法將他們從陀螺高頻的諧振信號中提取出來。

可以通過鎖相環得到與實時諧振振動信號同頻同相的解調參考信號Vc與Vs，該信號與真實諧振信號有相位差φ。

Vc=cos (ωt+φ)
Vs=sin (ωt+φ)

(5)

使用參考信號通過乘法解調的方法將陀螺信號的頻譜特征向低頻和二倍頻方向進行頻譜搬移，并經低通濾波將包含振動狀態量的低頻慢變信號Cx、Cy、Sx、Sy提取出來。

(6)

對低頻慢變信號進行組合運算，可以得到陀螺諧振振動狀態量,如式(7)：

E=Cx2+Cy2+Sx2+Sy2=KE(a2+q2)
Q=2(CxSy-CySx)=KQ(aq)
S=2(CxCy-SySx)=Kθ(a2-q2)cos(2θ)
R=Cx2-Cy2+Sx2-Sy2=Kθ(a2-q2)sin (2θ)
L=2(CxSx+CySy)=KL(a2-q2)sin(2φ)

(7)

其中，E既表征了諧振振型的能量，當波節點幅度q被抑制到0時，E又反映了長軸的振幅；Q表征了波節點振動的幅度。E信號、Q信號分別作為波腹點和波節點控制回路的檢測信號，經PI控制器分別得到波腹點控制信號Fa和波節點控制信號Fq。控制作用Fa與Fq需要利用x和y方向的驅動電極施加到諧振子上，因此，需要將Fa與Fq分別分解到x和y方向上，同時還需要將該控制信號與陀螺諧振頻率進行調制，得到驅動作用Fx和Fy。

Fx=Facos(θ)cos(ωt-90°)-
Fqsin (θ)sin(ωt-90°)
Fy=Fasin(θ)cos(ωt-90°)+
Fqcos (θ)sin(ωt-90°)

(8)

S和R信號做比值可以得到進動角度的正切函數tan(2φ)，由于比值消元的效果，波腹點和波節點的振幅不穩定性不會影響進動角度的計算結果。

L表征了鎖相環產生的解調參考信號與諧振信號的相位差。L信號作為鎖相環鑒相器的輸出，通過改變振蕩器參數使L逐漸收斂，產生與諧振信號同頻同相的解調參考信號。要注意的是，由于L=KL(a2-q2)sin(2φ)，在2φ較大時有可能會收斂于2φ=180°。因此，在鎖相環參數匹配不佳時，可能會導致解調參考信號相位翻轉，并最終引起控制結果發散。

3 建模仿真分析

根據諧振子動力學分析和全角模式半球諧振陀螺諧振信號處理與控制算法，搭建了Simulink仿真模型。其中仿真的陀螺諧振頻率ω=5000Hz，進動因數k=0.3。分別針對波腹點控制、波節點控制、頻率跟蹤以及角度解算等幾個部分進行仿真分析。

3.1 波腹點控制

波腹點的穩定性和精度會影響頻率跟蹤的精度進而對陀螺精度產生影響，仿真采用階躍信號作為波腹點的激勵信號。由仿真結果可知，在PI控制參數調整合理的狀態下，波腹點信號響應時間約為0.15s，穩態誤差小于0.02V，如圖5所示。

圖5 波腹點階躍信號輸入下的控制仿真圖 Fig.5 Simulation of energy control under the antinode step input

3.2 波節點控制

波節點的穩定程度可以影響波腹點與頻率跟蹤的控制效果，根據算法波節點應被抑制到0V附近。通過實時數值仿真可知，當不施加波節點控制時，波節點的存在會導致諧振振型的相位漂移，引起x和y信號之間產生相位偏移，x和y信號的李薩茹圖為橢圓型，仿真結果如圖6所示。

當施加波節點控制后，x和y信號之間產生的相位偏移被消除，相位差為0°或180°，李薩茹圖為一條直線，由仿真結果可知，波節點控制響應時間小于0.02s，穩態誤差小于1×10-7V，仿真效果如圖7所示。

(a) (b)圖6 (a)圖為在波節點未被抑制到0時振動信號，x與y之間存在一個相位差；(b)圖為在波節點未被抑制到0時，x和y信號的李薩茹圖Fig.6 (a) shows signal x and y when quadrature signal is not 0; (b) shows Lissajous-graph of signal x and y

(a)

(b)圖7 (a)為波節點信號被抑制為0時的振動信號與李薩茹圖，相位差隨波節點一起收斂于0；(b)為波節點控制仿真結果圖，上圖為波節點輸出，下圖為波節點控制誤差Fig.7(a) shows signal x and y and their Lissajous-graph when quadrature signal approaches to 0; (b) shows error of quadrature control loop

3.3 頻率跟蹤

通過鎖相環進行頻率跟蹤的輸出信號被用于乘法解調和驅動調制的參考信號，其與陀螺半球諧振子實時振動信號的相位差會影響波腹點信號解調、波節點信號解調以及角度解算的精度。數值仿真結果顯示(見圖8)，頻率跟蹤穩定工作的情況下，相位誤差小于0.5×10-7。

圖8 頻率跟蹤仿真結果圖(上圖紅線為陀螺實時諧振信號，藍線為跟蹤振動信號；下圖為實時頻率跟蹤誤差)Fig.8 Simulation of frequency tracking result(In the first graph, the red thread represents vibrating signal of gyro, the blue thread represents frequency track’s output. The second graph shows error of frequency control loop)

3.4 角度跟蹤

角度敏感是全角模式下半球諧振陀螺的最終目的，并且角度敏感的精度也直接影響了驅動作用的施加效果。將30°角度階躍信號和10(°)/s斜坡速率輸入作為激勵輸入對角度解算進行仿真分析，仿真結果顯示，經角度解算的動態響應時間小于0.05s，穩態誤差小于0.05°，如圖9所示。

(a)30°階躍角度輸入

(b)10(°)/s速率斜坡輸入圖9 角度解算仿真結果圖Fig.9 Results of simulation for angle solution

4 結論

全角模式下半球諧振陀螺的性能指標受諧振波形的穩定性和頻率跟蹤精度的影響，本文針對半球諧振陀螺全角工作模式的動力學過程進行了分析和建模，并介紹了一種全角模式下半球諧振陀螺控制和信號處理方法。該方法通過離散電極取得相互正交的諧振子振動信號x和y；通過乘法解調與低頻信號組合運算，實現了波腹點、波節點、諧振頻率和進動角度的實時檢測；通過波腹點控制、波節點控制、頻率跟蹤等3個回路，實現了諧振子四波腹振型狀態的穩定。最后針對數值仿真模型的仿真結果加以分析，驗證了此方法的可行性。