機車高圓簧剛度矩陣計算應用分析

李金城，李 芾，楊 陽，丁軍君

(西南交通大學機械工程學院，四川成都 610031)

近年來隨著列車運行速度的提高，對牽引機車的動力學性能提出了更高的要求。為降低高圓彈簧工作應力，一般使用多組并聯高圓簧作為機車的二系懸掛[1-2]，如東風9和東風11型等內燃機車使用8組高圓簧，韶山7型和韶山8型等電力機車使用6組高圓簧[3-4]。除機車外，高圓簧還廣泛應用于三大件貨車中。高圓簧作為車輛主要懸掛部件之一，其剛度在進行車輛動力學仿真時需著重考慮，相同條件下采用不同剛度矩陣車輛運行性能仿真結果不同，在車輛模型的驗證階段，其剛度矩陣的選擇及簡化是否合理值得探討與研究。

一般來說，在進行機車動力學仿真計算時，假設彈簧為一力元，考慮高圓簧的軸向剛度cl、抗剪剛度cs、抗彎剛度cφ及扭轉剛度ca，由于彈簧的對稱性，即認為此時只考慮了高圓簧剛度矩陣中的對角元素。在有關高圓簧分析計算的文章中，大部分給出的只是高圓簧某一方向的剛度計算方法，如縱、橫向剛度的計算方法、復合材料高圓簧剛度計算校驗以及變剛度彈簧的性能計算等[5-9]。現有的仿真計算中只是考慮了高圓簧的軸向剛度、抗剪剛度、抗彎剛度及扭轉剛度。尚未有文章針對高圓簧的整體矩陣進行分析。

高圓簧作為機車、貨車主要懸掛部件，在實際受力分析中發現其剛度矩陣中的元素不僅存在于對角位置，根據高圓簧軸向的不同，非對角元素在矩陣中的分布亦不同。本文通過計算得到高圓簧的整體剛度矩陣，并通過研究簡單的彈簧振子系統和復雜的機車車輛模型，分析系統中的高圓簧在采用不同剛度矩陣時的運動情況，并對采用不同剛度矩陣系統的計算結果進行比較，對機車高圓簧剛度矩陣的應用進行分析。

1 彈簧剛度矩陣的計算方法

由于螺旋圓彈簧存在對稱特性，通常認為在垂直于其軸線方向的各方向剪切剛度一致。假設高圓簧置于笛卡爾坐標系中，且軸線平行于Z軸，簧高為H。為模擬彈簧在實際鐵道機車車輛中的受力情況，高圓簧兩端分別連接于Body2和Body1，用以模擬高圓簧兩端連接車體及轉向架的情況，高圓簧分析模型如圖1所示。

圖1 高圓彈簧分析模型

一般計算中僅考慮高圓彈簧的軸向剛度cl、抗剪剛度cs、抗彎剛度cφ及扭轉剛度ca，高圓彈簧的剛度矩陣可以表示為

( 1 )

假設Body2相對于Body1有一沿Y方向的位移dy，如圖2所示。此時彈簧存在一橫向力Fy=-csdy，該力使彈簧產生繞X軸的力矩M，由于彈簧結構的對稱性，力矩分別以csdyH/2的大小作用于彈簧的上下兩端。根據力與位移的關系F=ckΔ[10]，可得

( 2 )

圖2 彈簧受力分析模型

求解式( 2 )可得剛度矩陣ck為

( 3 )

由式( 2 )及對比矩陣c和ck可以看出，兩個剛度矩陣的主要區別在于X，Y方向的元素不同，在Z向(即其軸向)則完全一致。

根據彈簧特性參數分析的經典計算方法，將高圓簧簡化為彈性桿[11]，其等效剛度計算公式[12-13]為

( 4 )

( 5 )

( 6 )

( 7 )

式中：c1s=2(1+μ)cl；c2s=2ca/(2+μ)；H為彈簧計算高度；d為簧絲直徑；R為彈簧中徑；n為彈簧有效圈數；G為彈簧材料剪切彈性模量；E為彈簧材料彈性模量；μ為彈簧材料泊松比。

2 仿真分析

2.1 高圓簧主要參數

本文的研究對象為某機車中央懸掛高圓簧，其參數見表1。

表1 高圓簧主要參數

2.2 彈簧振子仿真

為模擬機車中高圓彈簧的實際應用情況，用數個上述彈簧并聯建立兩相似的彈簧振子系統，系統中的彈簧軸線沿Z軸方向，其具體方向與圖1高圓彈簧的分析模型一致。兩彈簧振子系統建模時，為研究不同剛度矩陣對系統性能的影響，分別建立各自獨立的高圓簧模型，并分別考慮其各自剛度矩陣，此時各彈簧處于并聯關系，各向剛度計算滿足式( 3 )～式( 7 )。其中，系統1中的彈簧剛度全部采用式( 1 )所示矩陣，即只考慮彈簧剛度矩陣的對角元素；系統2中各彈簧采用式( 3 )所示剛度矩陣，考慮彈簧剛度矩陣中的全部元素，除此之外，兩系統完全相同。在相同條件下，從兩個系統的固有頻率、振動加速度等方面進行計算對比。

采用動力學分析軟件UM(Universal Mechanism)對建立的彈簧振子系統進行仿真分析。在鐵道車輛的實際運行過程中，由于運營工況不同和道路不平順的影響，車輛受到的垂向載荷在不斷變化，高圓彈簧所受到的垂向載荷也在不斷變化。載荷的變化直接影響系統的振動頻率和振動加速度。

在彈簧振子系統中通過改變質量塊的質量模擬彈簧在不同狀態下承受的載荷，假設此時質量塊的質量能提供的力的大小為彈簧振子工作時的載荷，系統1和系統2的固有頻率與差值見表2。

表2 兩系統的固有頻率

由表2可知，兩彈簧振子系統在其他條件相同的情況下，由于高圓彈簧采用的剛度矩陣不同，其系統的固有頻率亦不同。由于彈簧存在對稱性，所以每彈簧振子系統在X，Y方向的振動頻率相同且繞X，Y軸轉動的振動頻率相同。系統1和系統2固有頻率的不同主要體現在沿X，Y方向的振動和繞X，Y軸的轉動，其差值最大為8.64%，在Z方向(即其軸向)兩系統振動頻率完全相同，這與兩剛度矩陣的表現形式一致。

同一彈簧振子系統隨質量塊質量的變化其固有頻率在變化，車輛在運行過程中高圓簧承受的垂向載荷也在不斷變化，故系統固有頻率在不斷改變。計算發現，隨著系統質量的變化，兩彈簧振子系統的固有頻率差值也在不斷變化，在計算彈簧的工作載荷范圍內，研究彈簧承受載荷的變化對兩系統固有頻率差距的影響。仿真通過賦予兩彈簧振子系統質量塊不同的質量來模擬彈簧受到的垂向載荷的變化，分析兩系統在彈簧工作載荷內運動時，頻率差值隨系統質量的變化。

兩系統在X，Y方向固有頻率差值及繞X，Y軸轉動的固有頻率差值隨系統質量的變化如圖3所示。由圖3可以看出，隨系統質量塊質量的增加，兩系統在X，Y方向振動的固有頻率差值及繞X，Y軸轉動的固有頻率差值線性增大。

圖3 兩系統固有頻率差值隨系統質量的變化

在計算固有振動頻率時，系統處于平衡狀態，由F=Kx可知系統并聯彈簧長度隨質量塊質量的改變而線性改變，即兩系統在X，Y方向固有頻率差值及繞X，Y軸轉動方向的固有頻率差值隨彈簧高度的變化呈線性變化。對比傳統計算采用的矩陣c和文章得到的剛度矩陣ck，發現非對角元素項的數值與彈簧高度成正相關，為直觀觀察兩者的關系，對兩彈簧系統固有頻率差值隨彈簧垂向位移的變化進行分析，結果如圖4所示。

圖4 兩系統固有頻率差值隨彈簧垂向位移的變化

圖4中，兩彈簧系統在X，Y方向固有頻率差值及繞X，Y軸轉動的固有頻率差值隨彈簧垂向位移不同而變化，其數值與彈簧垂向位移的1/2成正比，這與其非對角元素csH/2相符。

由兩系統彈簧剛度矩陣的對比及振動固有頻率的分析可以看出，在彈簧系統只存在垂向位移時，采用不同剛度矩陣對系統X，Y方向性能有較明顯影響，對軸向性能基本沒有影響，在彈簧振子只受到垂向載荷時，系統加速度a完全符合牛頓第二定律F=ma，但同樣條件下，當彈簧存在水平方向位移時，兩系統的垂向加速度出現一定的偏差。

當彈簧振子系統存在橫向位移時，通過計算兩系統在軸向以及X，Y方向的加速度差值可知：兩系統在不同初始水平方向的外力作用下，軸向振動加速度差別較小，在X，Y方向的振動加速度差別相對較大。由于彈簧存在對稱特性，在研究兩系統X，Y方向的振動加速度差值時以Y方向為例進行分析。

在保證兩彈簧振子系統質量相同的條件下，對兩系統施加相同的瞬時橫向力，橫向力的方向平行于Y軸方向，作用于彈簧系統質量塊質心位置。改變施加于兩系統的初始瞬時力的大小，計算兩系統在不同初始力下的橫向振動加速度差值變化，如圖5所示。由圖5可以看出，在不同初始橫向力的作用下兩彈簧振子系統的橫向加速度差值基本維持在一定水平內，隨初始橫向力的變化無明顯變化。

圖5 不同初始橫向力作用下兩系統橫向加速度差值

在存在初始橫向力的情況下，彈簧承受來自質量塊的垂向載荷和初始橫向載荷，彈簧振子系統在運動過程中同時存在垂向位移和橫向位移。此時，兩彈簧振子系統的垂向加速度也存在一定差異，且隨初始橫向載荷的不同而改變。同時，彈簧系統的垂向加速度差值與系統中高圓簧的數量和各彈簧在系統中的分布位置有關。在組建的彈簧振子系統承載的橫向工作載荷內，兩彈簧振子系統的垂向加速度差值不超過1%。

綜上，當彈簧振子系統在只存在軸向位移時，兩彈簧振子系統軸向性能一致，水平方向性能存在一定差距；當簧振子系統同時存在軸向和水平方向的位移時，兩彈簧振子水平方向性能和軸向性能均存在一定差異。

2.3 機車仿真

類似于彈簧振子系統的仿真方法，以某機車作為研究對象。采用動力學分析軟件UM建立機車模型對其各項動力學指標進行仿真計算，分析高圓簧剛度矩陣的不同對動力學性能的影響。建立機車模型時，采用空間笛卡爾坐標系，X軸指向車輛運行前方，Y軸與線路方向相垂直，Z軸垂直于軌道平面，其正方向為豎直向上。計算機車部分參數見表3。

表3 機車部分參數

每個機車裝有12組高圓簧，在模型建立時，為研究彈簧采用不同剛度矩陣對機車性能的影響，分別考慮每組彈簧的各項剛度，在機車與轉向架間建立12組彈簧力元，此時各彈簧處于并聯狀態且滿足式( 3 )～式( 7 )的剛度關系。機車1中高圓簧的剛度矩陣采用傳統的剛度矩陣c而機車2中所有高圓簧的剛度矩陣除考慮對角元素外還考慮非對角元素，即采用文中計算得到的剛度矩陣ck，其他參數一致。從機車振動的固有頻率、平穩性、穩定性和曲線通過性能等方面對兩機車各參數進行對比。

2.3.1 振動形式及頻率

計算兩機車在平衡狀態下的振動固有頻率，其振動形式及頻率差值見表4。可以看出兩機車在浮沉運動時，振動頻率完全一致，因為浮沉運動時，機車高圓簧只存在軸向運動，此時彈簧垂向性能完全一致；在點頭運動時，高圓簧存在較小的縱向位移，兩機車點頭運動振動頻率基本一致；在車體進行上心滾擺、下心滾擺和搖頭運動時，高圓簧存在較大水平方向的位移，兩機車振動固有頻率顯示出一定差距，其結果與彈簧振子仿真得出的結論相同。在常見的車體的5種振動形式中，兩機車的車體的下心滾擺振動頻率相差最大，為7.24%。

表4 機車1和機車2的振動形式及頻率

2.3.2 穩定性

穩定性指車輛在規定速度范圍內運行時不出現蛇行運動的能力，一般以蛇行失穩臨界速度評價。車輛的結構參數、懸掛參數、輪軌接觸關系等對車輛的穩定性都有較大影響。隨著車輛自由度的增加，懸掛參數(剛度和阻尼)非線性特征引入，剪切剛度和彎曲剛度的等效方式己不能完全描述懸掛系統的特征，臨界速度與結構和懸掛參數的函數影響關系可以借助數值仿真[14]。兩機車的螺旋高圓彈簧剛度矩陣存在一定差異，其他懸掛參數以及結構參數、輪軌接觸完全相同，在計算臨界速度時，首先以較大激勵使機車處于發散狀態，然后運行于平順軌道觀察其橫向運動收斂時的運行速度，在相同的軌道激勵下，兩機車的蛇行失穩臨界速度分別為245，248 km/h，機車2優于機車1，蛇行臨界速度高1.2%。兩機車二系高圓簧剛度矩陣的選取不同，造成了其臨界速度的不同，但相差較小。

2.3.3 平穩性

平穩性指車輛在最高速度范圍內、在規定線路運行時，不會產生過大的振動，并使乘客感到舒適，設備平穩運行，一般以垂向、橫向振動加速度和平穩性指標評價。計算時采用德國低干擾譜作為輸入激勵，兩機車以同一軌道譜作為系統激勵，計算其橫向、垂向加速度及Sperling指數的差異，不斷改變車輛運行速度，計算各差值隨速度的變化。兩機車車體橫向振動加速度差值隨速度的變化如圖6所示，橫向Sperling指數差值隨速度的變化如圖7所示。

圖6 兩機車橫向加速度差值隨速度的變化

圖7 兩機車橫向Sperling指數差值隨速度的變化

由圖6可知，兩機車橫向加速度差值隨速度的變化無明顯規律，在計算速度范圍內，其橫向加速度差值在2.23%～5.85%之間變化。

在各階速度下，機車2的橫向振動加速度都優于機車1，但與兩彈簧振子系統橫向加速度差值的變化相比，兩機車橫向振動加速度差值變化幅度較大，因機車的振動不像簡單的彈簧振子系統只考慮彈簧的振動，機車模型中存在許多非線性彈性元件，其振動行為要綜合考慮各個連接部件的運動。

垂向振動加速度差值與橫向振動加速度差值一致，呈無規律變化，其最大差值僅為0.36%，與彈簧振子計算結果相符，表明機車在直線線路上運行時，兩高圓簧采用不同剛度矩陣對其垂向振動加速度基本無影響。

由圖7可以看出，隨著機車速度的增加，機車1和機車2橫向Sperling指數的差值呈下降趨勢，其原因是隨著機車速度的提升，機車振動頻率在不斷改變，Sperling平穩性指數和與振動頻率有關的加權系數F(f)相關[15]。加權系數在每個頻率區段的取值不同，導致隨著機車速度的增加，力矩作用相對較大的頻率區段內加權系數取值變小，機車橫向Sperling指數的差值隨之變小。在機車運行速度范圍內，機車橫向Sperling指數的差值大小為1.1%～2.7%。機車高圓彈簧采用不同剛度矩陣對垂向Sperling指數基本沒有影響，在計算機車運行速度范圍內，機車1和機車2的垂向Sperling指數相差最大值僅為0.29%。

2.3.4 曲線通過性能

使兩機車在相同速度下運行于同一曲線，參考GB 50090—2006《鐵路線路設計規范》[16]制定運行曲線半徑、通過速度、軌道超高和緩和曲線長度等，分別計算半徑為500，1 000，1 600，3 000，5 000 m等一系列曲線的曲線通過能力，不同曲線對應的速度、超高及緩和曲線長度見表5。因機車通過不同半徑的曲線時速度、超高、軌道加寬等都各不相同，不同曲線半徑間的曲線通過性能不作對比，計算各指標時取各差值的最大值。

表5 不同曲線半徑下對應的參數

結合GB 5599—85和UIC 518中的規定，對兩機車在不同曲線上運行時的輪軌橫向力、脫軌系數、輪重減載率和傾覆系數進行對比分析，結果見表6。計算結果表明，兩機車各項曲線通過評價指標均存在一定的差異，機車運行于曲線時車體與轉向架之間存在較大的橫向力，此時，高圓簧受到來自垂向和橫向的載荷，彈簧存在橫向的位移和垂向的壓縮。由上述彈簧振子系統的研究可知，此時采用不同剛度矩陣的彈簧性能在水平方向和軸向均存在一定差異。傾覆系數、輪重減載率、脫軌系數等直接與彈簧軸向性能有關，輪軌橫向力、脫軌系數與彈簧的橫向性能相關，因此，兩機車的曲線通過性能在各方面均存在一定差異，其差異最大值為6.05%。

表6 兩機車曲線通過性能評價指標對比

3 結論

通過計算兩彈簧振子系統和兩機車模型的動力學性能，對比其振動固有振動頻率和各項動力學參數，得出如下結論：

(1)只考慮高圓彈簧剛度矩陣對角元素的系統與考慮彈簧剛度矩陣全部元素的系統相比，動力學性能計算結果存在一定差異，在彈簧只有垂向運動時，其差異主要表現在垂直于彈簧軸向的方向，軸向性能基本一致；當彈簧振子系統同時存在軸向和水平方向的位移時，兩彈簧振子水平方向性能和軸向性能均存在一定差異。

(2)仿真結果表明，機車模型中彈簧采用完整的剛度矩陣時，其平穩性、穩定性、曲線通過性能都優于機車彈簧只采用對角矩陣的情況，但最大差值未超過8%，當研究工作以平穩性、穩定性等車輛運行評價指標為主要內容時，可適當簡化高圓彈簧的剛度矩陣。

(3)相比平穩性、穩定性和曲線通過能力，高圓簧采用不同的剛度矩陣對系統自身振動固有頻率影響相對較大，當研究工作以高圓簧振動頻率作為主要研究對象時，需考慮彈簧剛度矩陣的影響。

(4)機車高圓彈簧剛度矩陣只考慮對角元素時，仿真結果較完整剛度矩陣時偏于安全，而且差值較小，故在實際應用中對高圓簧剛度矩陣進行簡化，只考慮剛度矩陣的對角元素是合理的，滿足工程運用要求。