鋼筋混凝土梁非均勻收縮徐變自應力分析

王永寶，廖 平，賈 毅，趙人達，吳德寶

(1.太原理工大學建筑與土木工程學院，山西太原 030024；2.西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031)

目前已有較多描述溫度作用下的混凝土收縮徐變效應的預測模型，如BP-KX[1-3]，CEB90[4]和CEB10模型[5]等，這些模型的提出對于準確預測溫度作用下的混凝土收縮徐變具有重要意義。相關學者在這些模型的基礎上，進一步推導了鋼筋混凝土梁的長期變形計算公式，但分析時均假定沿整個梁截面高度方向上的收縮徐變呈均勻分布[6]。但實際上，對處于自然環境條件下的梁結構而言，受太陽輻射和環境影響，整個梁沿高度方向的溫度和相對濕度呈現不均勻分布狀態[7-11]，導致收縮徐變沿梁高度方向上也呈現出不均勻分布。這種不均勻分布效應將使結構產生非均勻應力和變形，嚴重影響結構安全性。

對于非均勻收縮引起的截面應力和變形效應，較多學者進行了研究，如黃海東[7]探討了在密封和干燥條件下的上下翼緣板不同厚度情況下的工字形截面梁的長期變形，結果表明受非均勻相對濕度引起的收縮效應影響，梁截面發生彎曲；張運濤等[8]分析了蘇通大橋連續剛構橋受頂底板厚度不均勻產生的非均勻收縮導致的長期變形問題，重點探討了非均勻收縮自應力效應，未考慮溫度對混凝土收縮的影響；向中富等[9]分析了非均勻收縮對懸臂梁的長期變形影響，未對非均勻徐變效應自應力進行分析；項貽強等[10]用有限元方法分析了非均勻收縮徐變下的預應力混凝土連續梁橋的長期變形，結果表明，考慮非均勻收縮徐變情況下箱梁內部的溫度應力呈現出不均勻分布狀態，但未從公式角度進行分析；針對混凝土非均勻收縮引起的截面內力重分布特征，黃海東等[11]采用有限元方法進行了分析，但并未給出解析式；基于大量工程實踐，汪劍[12]和Bazant等[13]均認為大跨度預應力混凝土箱梁頂底板的不均勻收縮徐變是引起橋梁結構產生較大豎向變形的主要原因之一。以上分析表明，既有研究大多針對非均勻收縮自應力問題，對非均勻徐變自應力的研究較為欠缺，且多數研究只針對相對濕度或構件理論厚度影響下的收縮徐變問題，未探討溫度影響下的收縮徐變，大多從有限元角度對非均勻收縮徐變應力進行分析，未給出相應公式。

本文在既有非均勻溫度下的自應力計算公式基礎上，以溫度和相對濕度影響下的混凝土收縮徐變預測模型為基本模型，基于按照齡期調整的有效模量法，推導了非均勻收縮徐變效用下的鋼筋混凝土梁自應力計算公式；以鋼筋混凝土簡支梁為例，采用有限元方法對本文算法進行了驗證；并探討了不同溫度梯度和相對濕度分布對收縮徐變自應力的影響。

1 收縮徐變自應力公式推導

1.1 基本假定

(1)發生收縮徐變效應前后，截面均滿足平截面假定[14]。

(2)僅沿梁高度方向有非均勻溫度和相對濕度梯度分布，沿梁寬度方向的溫度和相對濕度梯度分布忽略不計；溫度和相對濕度沿梁長度方向分布均勻，且不隨時間變化而變化。

(3)沿梁高度方向的溫度梯度服從負指數函數；沿梁高度方向的相對濕度服從非線性變化。

(4)不考慮混凝土的彈性模量和強度隨時間的變化；在荷載較小時，受拉區混凝土的徐變與受壓區相同。

(5)混凝土材料受力處于線彈性階段。

1.2 非均勻收縮自應力

受溫度和相對濕度影響，沿梁高度方向的混凝土收縮應變εsh(t,t0,y) 呈非均勻變化趨勢，在缺乏相關參數時，可按BP-KX[3]，CEB90[4]，CEB10[5]或汪劍模型[12]計算。圖1給出了收縮徐變變形分布示意圖，圖中εsh(t,t0,y)和εc(t,t0,y)分別為非均勻收縮和徐變應變。由圖1可以看出，在非均勻收縮徐變效應作用下，截面高度方向將產生非均勻變形，而截面實際變形為平面，此種變形差將會使截面內產生較大的不均勻應力。

圖1 截面及非均勻收縮徐變變形示意

在任意時刻t，假定截面應變和截面曲率分別為ε0和Ψ，則由非均勻收縮引起的自應力為

σcsh(t,t0,y)=Ec[εsh(t,t0,y)-(ε0+Ψy)]

( 1 )

式中：εsh(t,t0,y)為從t0時開始加載到t時距離截面底面y處的混凝土收縮應變；Ec為混凝土彈性模量；y為距離截面底面的距離。

沿梁高度方向劃分為n層，截面上的力平衡條件和彎矩平衡條件分別為

( 2 )

( 3 )

受拉區和受壓區鋼筋應力分別為

( 4 )

式中：yc為截面中性軸距截面底面的高度；Ai為沿梁高度方向上各層的面積；yi為第i層距離底面的距離；σcsh(yi)為第i層的混凝土收縮或徐變自應力；Es為鋼筋彈性模量；As，As′分別為受拉區和受壓區鋼筋截面面積；ys，ys′分別為受拉區和受壓區鋼筋截面中心距截面底面的距離；σs，σs′分別為受拉區和受壓區鋼筋應力。

鋼筋混凝土截面中性軸可采用換算截面法計算。假定Ai為第i層換算截面面積，則總面積Al為

( 5 )

截面中性軸yc為

( 6 )

將式( 1 )、式( 4 )代入式( 2 )、式( 3 )，并考慮由于截面整體收縮引起受拉區和受壓區鋼筋產生壓應力，即式( 4 )中鋼筋應力可直接取負值，可得以ε0和Ψ為變量的方程組

( 7 )

( 8 )

( 9 )

(10)

(11)

(12)

(13)

求解式( 7 )即可得到截面上的應變ε0和曲率Ψ，將其帶入式( 1 )即可求得非均勻收縮自應力。

1.3 非均勻徐變自應力

由非均勻徐變引起的自應力與收縮的計算方法類似，但由于徐變與應力相關，推導過程較為復雜。假定εc(t,t0,y)為距離截面底面高度為y的混凝土徐變應變，則混凝土沿梁高度方向上的徐變自應力σc(t,t0,y)可表示為

σc(t,t0,y)=Ec[εc(t,t0,y)-(ε0+Ψy)]

(14)

式中：εc(t,t0,y)為從t0時開始加載到t時距離截面底面y處的混凝土徐變應變；ε0和Ψ為由非均勻徐變引起的截面軸向應變和曲率。

采用按照齡期調整的有效模量法[15]，混凝土的徐變應變與截面上總應力σcto(t,t0,y)的關系為

(15)

(16)

式中：σc(t0,y)為沿梁高度方向上的初始彈性應力；φ(t,t0,y)為從t0開始加載到t時混凝土的徐變系數；χ為老化系數[16]；σcto(t,t0,y)為t時刻沿梁高度方向上的總應力，包括彈性應力σel(y)、收縮自應力σsh(t,t0,y)、徐變自應力σc(t,t0,y)和溫度自應力σT(y)，即

σcto(t,t0,y)=σel(y)+σc(t,t0,y)+

σsh(t,t0,y)+σT(y)

(17)

梁的彈性應力σel(y)=σc(t0,y)，根據式(14)～式(17)可得混凝土徐變自應力與曲率、軸向應變、徐變系數和老化系數的關系

(18)

同理，將式(18)中的σc(t,t0,y)代替式( 2 )、式( 3 )中的σcsh，并結合式( 4 )，即可得到式( 7 )中的A,B,C,D,E1，E2為

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

與收縮過程不同，受彎矩作用影響，受拉區鋼筋將可能產生拉應力，不能保證受拉區和受壓區混凝土產生壓應力，因此式( 4 )中的應力均取正值。求解該方程組式( 7 )，可得由非均勻徐變引起的應變ε0和曲率Ψ，將其帶入徐變自應力式(18)即可求得混凝土的徐變自應力。

2 算例分析

2.1 實例概況

以劉小潔[17]的普通混凝土簡支梁試件為算例，試驗采用C42.5水泥，混凝土28 d彈性模量和軸心抗壓強度分別為3.53×104MPa和53 MPa。鋼材的屈服強度和彈性模量分別為380 MPa和2.11×105MPa，采用荷載為1.65 kN的兩點加載，加載齡期為40 d。

受拉和受壓區鋼筋面積分別取As=628 mm2，As′=226 mm2；梁總長4.15 m，計算跨度4.05 m，梁高度180 mm，寬度120 mm；截面尺寸及加載方式如圖2所示。混凝土和鋼材的容重分別取2 400 kg/m3和7 800 kg/m3。考慮梁自重和外界荷載計算得到跨中截面剪力和軸力均為0，彎矩為3.401 kN·m。中性軸距離底面距離yc=84 mm。收縮徐變分析時n=19層。

圖2 鋼筋混凝土梁截面圖(單位：mm)

2.2 溫度梯度分布模式

處于自然環境條件下的梁結構在日照等復雜因素作用下沿梁高度方向上的溫度呈不均勻分布狀態，假定沿梁高度方向上的最大溫度梯度呈現負指數分布模式，即

T(y)=T0e-a(h-y)

(25)

式中：T0為最大溫差，℃；a為系數，可取5 m-1。

對于普通混凝土梁而言，雖然截面溫度并不一直處于最不利溫度梯度作用下，但整體而言，沿梁高度方向上的溫差仍然存在。假定沿梁高度方向上的平均溫度服從負指數函數，計算時基準溫度取20 ℃，即沿梁高度方向上的溫度值為基準溫度加豎向溫度梯度值，溫度梯度示意圖如圖3(a)所示。

圖3 沿梁高度方向上的溫度和相對濕度分布

2.3 相對濕度分布模式

受相對濕度的交換和混凝土水化等多種復雜因素影響，箱梁內部相對濕度沿梁高度方向上也呈現出不均勻分布特征，有限元程序[7,18]和試驗結果[19]均證明沿梁高度和板厚度方向的相對濕度呈現出中間大，兩端小的變化趨勢。

相對濕度較溫度而言，擴散速度較慢，但其對混凝土收縮徐變效應的影響大于溫度效應。本文假定混凝土梁沿梁高度方向的相對濕度分布服從Wong給出的相對濕度隨距離底面高度y及時間t變化的計算公式[19]，即

(26)

式中：RH為相對濕度；λ1，λ2，λ3為常數，相關取值可參考文獻[19]。

如圖3(b)所示，由于目前收縮徐變預測模型[1-5,12]僅適用于恒定的相對濕度情況，本文計算時，沿梁高度方向上各個點取平均相對濕度。

式(26)是基于單面干燥試驗得出的結果，對于矩形截面梁，可認為是兩個單面干燥的疊加，即相對濕度在梁中間高度位置兩側呈對稱分布。

2.4 溫度和相對濕度影響下收縮徐變預測模型

對處于自然環境條件下的混凝土結構而言，溫度和相對濕度是影響其收縮徐變的主要因素之一。目前各國學者基于大量混凝土的收縮徐變試驗，得到了簡單的溫度和相對濕度下的混凝土收縮徐變預測模型，如CEB10[5]和CEB90模型[4]。不同的收縮徐變預測模型由于對溫度的考慮因素不同，計算結果也不盡相同，不同預測模型之間的差異本文不做討論，僅以CEB10模型為算例進行分析，老化系數按式(16)計算。

圖4給出了沿梁高度方向上的非均勻收縮應變和徐變系數分布圖。由圖4可知，受不均勻溫度和相對濕度影響，沿梁高度方向上的不均勻收縮和徐變隨時間變化逐漸增加，且頂底面收縮應變和徐變系數大于中間位置，主要原因為梁中間位置相對濕度較大，后期收縮徐變較頂底面小。另外，收縮應變和徐變系數隨時間的變化規律呈現較大的不同，收縮應變隨時間的發展速度明顯大于徐變系數，隨著時間變化，沿梁高度方向上的不均勻效應更加明顯。若截面上產生持續的非均勻溫度和相對濕度效應，將引起結構產生較大的自應力效應。

圖4 沿梁高度方向上的非均勻收縮應變及徐變系數

2.5 收縮自應力

采用式( 7 )～式(13)計算的混凝土非均勻收縮效應引起的截面軸向應變和曲率隨時間的變化曲線如圖5所示。由圖5可知，受沿梁高度方向上的非均勻收縮效應影響，截面的軸向壓縮應變隨時間變化逐漸增加，在收縮開始階段增加較快，后期增加較慢。截面的曲率隨時間變化往負方向逐漸增加，增加幅度較軸向應變大。計算表明沿梁高度方向上的非均勻收縮將引起截面產生較大彎曲變形，這可能是目前傳統的收縮徐變理論計算的橋梁長期變形不能較好地反映實際變形的原因之一[13]。

圖5 非均勻收縮引起的應變和曲率

圖6 非均勻收縮引起的沿梁高度方向上應力

將式( 7 )計算得到的ε0和Ψ帶入式( 1 )可得由非均勻收縮效應引起的跨中截面沿著梁高度方向的變化自應力，如圖6所示。由圖6可知，與非均勻溫度自應力相同，受非均勻收縮效應影響，沿梁高度方向將產生非均勻收縮應力，主要表現在梁頂、底位置出現拉應力，中間位置出現壓應力，且此效應隨時間的變化逐漸增加，呈現出不可恢復變化趨勢，這一點與溫度應力的周期性變化特征有較大不同。如果沿截面高度長期呈現出頂板溫度較高的情況，由非均勻收縮引起的拉應力可達7.4 MPa，中間壓應力達1.5 MPa。文獻[11]研究表明箱梁截面的分均勻收縮將產生2.7 MPa的壓應力和1.0 MPa的拉應力，相應的非均勻收縮效應將影響結構安全，本文采用的溫度和相對濕度梯度分布較文獻[11]的研究結果大，因此計算的非均勻收縮應力也較大。

2.6 徐變自應力

圖7給出了求解式( 7 )、式(19)～式(24)得到的由混凝土的非均勻徐變自應力引起的截面軸向應變和截面曲率隨時間的變化情況。由圖7可知，隨時間增加，截面曲率往正方向逐漸增加，軸向壓縮應變逐漸增大。與非均勻收縮的不同之處在于徐變引起的截面曲率為正值，且隨著時間變化逐漸增加，主要原因是徐變效應是在彈性應變基礎上產生的。由于徐變效應與混凝土的收縮自應力相關，求解非均勻徐變自應力時，需提前計算收縮自應力。

圖7 非均勻徐變引起的應變和曲率

圖8 徐變自應力

將式( 7 )計算得到的ε0和Ψ帶入式(18)可得由非均勻徐變效應引起的跨中截面沿梁高度方向變化的自應力，如圖8所示。由圖8可知，受非均勻徐變效應影響，截面應力隨時間變化逐漸減小，頂面在加載10 d的應力為2.44 MPa，加載400 d后的應力為2.11 MPa，非均勻徐變效應將減緩截面上的應力分布。

3 有限元方法驗證

3.1 有限元建模

已有研究表明混凝土的收縮和徐變效應在ANSYS有限元程序中可分別采用等效降溫荷載法和自帶金屬蠕變算法進行分析[14]。有限元模型中，混凝土采用SOLID95單元建模，該單元可同時考慮混凝土收縮徐變效應，鋼筋采用LINK8單元，鋼筋和混凝土采用分離式方法分別建模。截面高度網格劃分層數為19層，寬度方向劃分為6層，沿跨度方向網格長度按橫截面網格長度的1～2倍均勻劃分。為考慮沿梁高度方向上的非均勻收縮徐變效應，需將混凝土梁沿著高度方向劃分為不同的材料特性，每一層材料賦予不同的收縮徐變特征。收縮徐變預測模型采用CEB10模型。收縮應變和徐變系數采用Matlab程序計算后直接導入有限元程序。圖9為建立的有限元模型。

圖9 有限元分析模型

3.2 分析結果對比

式( 7 )僅適用于鋼筋混凝土梁在非均勻收縮徐變下的自應力計算，對于超靜定結構的收縮徐變次應力需采用有限元方法求解[20]，本文不做討論。圖10(a)給出了有限元分析結果與式( 7 )的計算收縮自應力結果對比。由圖可知，在非均勻收縮效應下，有限元計算結果與式( 7 )～式(13)的分析結果吻合較好，有效地證明了本文提出計算公式的正確性。

圖10(b)給出了采用有限元方法計算的截面總應力(彈性應力+收縮+徐變自應力)結果與公式計算結果對比情況，由圖可知，當考慮混凝土的徐變效應后，式( 7 )得到的應力結果與有限元計算結果變化趨勢較一致，僅在截面頂板位置，有限元計算結果略小于公式計算結果，公式結果較有限元結果偏于安全。以上分析均表明本文公式具有較高精度。

圖10 有限元結果與公式結果對比

另外，由圖10(b)的總應力結果還可以看出，受混凝土非均勻收縮徐變的共同影響，沿截面高度方向上呈現出兩端為拉應力、中間為壓應力的非線性應力分布，隨著時間的增加，這種效應逐漸增加。主要原因為收縮自應力效應大于徐變自應力，整體呈現出收縮自應力分布狀態。

4 參數分析

4.1 最大溫差T0取值影響

圖11給出了式(25)中的最大溫差T0分別取4，12和20 ℃時，跨中截面收縮徐變產生的自應力沿梁高度方向上的分布情況。由圖可知，由于溫度梯度一般在截面頂面發生，因此溫度影響下的自應力變化主要表現為頂面的不同，溫差越小，頂面的應力越小，而溫度梯度對底面和中間位置的應力幾乎沒有影響。由最大溫度梯度影響下的非均勻收縮徐變自應力較小。

圖11 不同溫度梯度影響下的收縮徐變自應力

4.2 相對濕度分布模式影響

Wong等[19]進行了不同水灰比和外界環境條件下的混凝土試塊內相對濕度測試試驗，基于試驗結果擬合了相對濕度隨時間和深度的變化曲線。表1給出了不同試驗曲線的λ1，λ2，λ3取值，基于這3組數據，分析不同相對濕度梯度分布模式對非均勻收縮徐變自應力的影響。

表1 λ1，λ2，λ3取值

注：w/c為水灰比；T為梁周圍溫度；RH為梁周圍相對濕度。

圖12為采用表1中的相對濕度作為參數時，混凝土梁截面上的非均勻收縮徐變自應力結果分布情況。由圖可知，與溫度梯度效應相比，截面上的自應力受非均勻相對濕度梯度的影響較大。內外界相對濕度差別越大，頂底面的拉應力越大，拉應力大小將顯著影響結構開裂，需引起重視。

圖12 不同相對濕度影響下的收縮徐變自應力

5 結論

(1)當考慮沿鋼筋混凝土梁高度方向上的不均勻收縮徐變效應時，參照溫度自應力方法推導的收縮徐變自應力公式可較為準確地分析沿梁高度方向上的非均勻收縮和徐變自應力。

(2)受沿梁高度方向上的非均勻收縮效應影響，截面軸向壓縮應變隨著時間逐漸增加，曲率往負方向逐漸增加；非均勻收縮將沿梁高度方向產生較大的收縮自應力，需引起重視。

(3)隨著時間增加，由截面上的非均勻徐變效應引起的應變逐漸增加，曲率逐漸減小；與非均勻收縮自應力不同，非均勻徐變自應力隨著時間變化對截面應力具有一定的減小作用，但是減小幅度有限。

(4)參數分析結果表明，沿梁高度方向上的溫度梯度對收縮徐變自應力的影響明顯小于濕度梯度效應，僅對頂部溫度梯度差異較大位置的拉應力有影響。因此，通過合理的養護措施，減小混凝土水化期間內外相對濕度差異對于減小截面的非均勻收縮徐變自應力至關重要。

與溫度次應力相同，由混凝土的非均勻收縮徐變產生的收縮徐變次應力問題也需要進一步探討和分析。