基于貝葉斯理論的土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別方法

孫 騫，馮曉波

(1. 武漢大學 水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢 430072；2. 武漢大學 水工巖石力學教育部重點實驗室，武漢 430072)

0 引 言

很多工程可靠度分析涉及土體抗剪強度參數黏聚力c和內摩擦角φ，確定土體抗剪強度參數的概率分布模型是土體工程可靠度分析的重要前提，其概率分布模型的準確性直接影響著工程設計的安全性和經濟性[1-3]。錯誤地使用某種分布當做真實分布模型可能會導致較大的設計偏差，造成嚴重的后果[4]。

近年來，Copula 函數為土體抗剪強度參數模型表征提供了新的方法[4]。文獻中有許多表征相關結構的Copula函數，例如Gaussian、t、Plackett、Frank、Clayton和Gumbel Copula[4]。每一種Copula函數都有獨立的結構。Copula理論認為任意聯合概率分布可以分解為參數邊緣分布函數和表示參數間相關結構的Copula 函數。該方法實現了土體體參數間相關結構的優化，有效減小了傳統方法認為相關結構均服從Gaussian相關結構而帶來的模型誤差[5-11]。

一般情況下常用AIC(Akaike Information Criterion)準則來識別最優邊緣分布和最優Copula函數，該方法認為在所有備選邊緣分布和Copula函數中，具有最小AIC值的邊緣分布和Copula函數即為最優邊緣分布和最優Copula函數。值得注意的是，無論是AIC值，還是用于估計邊緣分布參數和Copula函數參數的樣本均值、標準差、相關系數都源于有限的試驗數據，因此其準確性和可靠性取決于試驗數據的樣本大小[12]。試驗表明，要想得到可靠的樣本均值、標準差、相關系數，樣本容量不得小于30[13]；要想得到可靠的邊緣分布和Copula函數識別結果，樣本容量需要達到100[14]。眾所周知，土體工程的樣本量屬于小樣本，且通常小于30，從小樣本中得出的二維分布模型顯然是不可靠的。因此，基于小樣本條件下的二維分布模型識別是一個具有挑戰性的土體工程難題。

此外，在有限的樣本外還可以得到一些先驗信息，包括文獻、工程師的判斷、當地的工程經驗等，這些先驗信息有助于得到最優的二維分布模型。隨著貝葉斯理論的發展，越來越多的研究者證實了貝葉斯理論能夠充分地利用工程數據和先驗信息，將二者有機結合來描述土體工程參數模型的不確定性，在土體工程小樣本問題上是一種高效而實用的方法[21-25]。貝葉斯理論已被用于土體工程模型比較，例如利用貝葉斯理論識別土體中土層數目、土層厚度[15]，利用貝葉斯理論識別出了表征土體參數空間變異性的自相關函數[16]。

但上述貝葉斯理論僅限于單參數。為了表征兩個土體參數間的關系，Wang和Aladejare[17]采用貝葉斯方法導出單軸抗壓強度(UCS)和楊氏模量(E)的聯合概率分布。然而，他們直接使用二維正態分布模型來表征單軸抗壓強度(UCS)和楊氏模量(E)的分布，假定單軸抗壓強度(UCS)和楊氏模量(E)的分布均遵循單變量的一維正態分布，參數間相關性均遵循Gaussian Copula，完全沒有考慮二維分布模型選擇的不確定性。眾所周知，土體參數不一定遵循單變量正態分布，他們可能遵循單變量對數正態分布、Gumbel分布等等。同樣，土體參數間相關結構也不一定遵循Gaussian Copula，他們可能遵循Plackett Copula、Frank Copula、No.16 Copula等等。更重要的是，土體工程二維分布模型中邊緣分布和Copula函數選擇對于土體工程可靠度有重要的影響。過去的研究[18]表明，選擇不同的邊緣分布和Copula函數所產生的失效概率的差異為幾個數量級。因此，在土體抗剪強度參數識別中，采用貝葉斯方法識別出最優二維分布模型具有重要的意義。

本文的目的在于提出基于貝葉斯理論的土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別方法。簡要闡述了在擁有一定先驗信息和較少試驗數據的情形下，貝葉斯理論識別最優二維分布模型的原理。采用蒙特卡洛模擬方法驗證了貝葉斯理論識別最優二維分布模型的有效性。對比了貝葉斯獨立識別、貝葉斯非獨立識別、AIC一步識別，AIC兩步識別4種識別方法的識別能力，并分析了影響貝葉斯理論識別精度的主要因素。最后，搜集了29組實際工程土體抗剪強度參數試驗數據，研究了貝葉斯獨立識別和非獨立識別在實際工程土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別中的應用。

1 表征土體抗剪強度參數相關結構的Copula方法

根據 Copula 理論，任意一個多元聯合分布都可以由相應的邊緣分布和一個 Copula 函數組合而成， Copula 函數明確了變量間相關系數的大小和相關結構的類型。對于土體抗剪強度參數c和φ來說，它們的聯合概率分布函數F(c,φ)和聯合概率密度函數f(c,φ)可以分別表示為[4]：

F(c,φ=C[F1(c),F2(φ);θ]=C(u,v;θ)

(1)

f(c,φ)=f1(c)f2(φ)D(F1,c),F2(φ);θ

(2)

式中：u=F1(c)、v=F2(φ)分別為c、φ的邊緣累積分布函數；f1(c)、f2(φ)分別為c、φ的概率密度函數；C(u,v;θ)為Copula函數；φ為Copula函數的相關參數；D[F1(c),F2(φ);θ]=D(u,v;θ)=?2C(u,v,θ)/?u?v為Copula密度函數。

Copula 函數構造聯合分布模型的關鍵是確定Copula 函數相關參數和識別最優Copula 函數。在確定Copula 函數相關參數時常采用秩相關系數法。Kendall 秩相關系數τ與Copula 函數C(u,v;θ)的關系式為[4]：

(3)

因此給定Kendall 秩相關系數 便可通過公式(3)求出參數θ。

在識別最優Copula 函數方面，本文選取Gaussian、Plackett、Frank 和 No.16 Copula 函數來描述土體抗剪強度參數的統計負相關性[5-11]。它們的 Copula函數和參數取值范圍見表1。

2 土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別的AIC準則

2.1 AIC一步識別

根據AIC準則定義，具有最小AIC值的二維分布模型被認為是最優二維分布模型。AIC一步識別是指同時識別出土體抗剪強度參數二維分布模型中最優邊緣分布和最優 Copula 函數。由于AIC 值定義為試驗數據點處二維分布模型密度函數值對數和的負 2倍與 2 倍二維分布模型參數數目之和，故AIC一步識別的計算表達式為[19]：

表1 4種Copula函數和參數取值范圍Tab.1 Summary of adopted 4 copula functions and

(4)

式中：Nd為試驗數據的樣本數目；m為二維分布模型中參數的數目，模型中共包含μc、σc、μφ、σφ、θ等參數，所以m=5；(ui,vi)為土體抗剪強度參數試驗數據(ci,φi)的經驗分布值，將土體抗剪強度參數試驗數據D={(ci,φi),i=1,2,…,Nd} 轉化為標準均勻分布變量U={(ui,vi),i=1,2,…,Nd}的目的是為了方便計算，具體的計算公式為：

(5)

Rank為排序函數，排列順序為升序。

此外，AIC準則中涉及的均值、標準差和相關系數是基于試驗數據采用極大似然估計方法得到的。

2.2 AIC兩步識別

AIC的兩步識別顧名思義是先識別出邊緣分布模型，再識別出Copula 函數，具有最小AIC值的邊緣分布模型和最小AIC值的Copula 函數組合后即為最優的二維分布模型。識別邊緣分布模型的公式為[19]：

(6)

(7)

式中：Nd為試驗數據的樣本數目；m為邊緣分布模型中參數的數目，本文所選邊緣分布模型中的參數包括μ、σ，所以m=2。

識別Copula 函數的公式為：

(8)

式中：Nd為試驗數據的樣本數目；m為Copula 函數中參數的數目，由于本文 4 種備選 Copula 函數都是單參數 Copula，因此m=1。

3 土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別的貝葉斯方法

基于Copula 理論構造的二維分布模型可以拆分為兩個邊緣分布和一個Copula函數，通常根據土體抗剪強度參數二維分布模型中最優邊緣分布和最優 Copula 函數是否被同時識別出將識別方法分為兩種：一步識別法和兩步識別法。貝葉斯一步識別需要五維積分，單次識別耗時長，計算效率低。兩步識別是指首先識別出表征參數c和φ的邊緣分布，再識別出表征參數間相關性的 Copula 函數。兩步識別法在識別過程中避免高維積分的運算，大大提高了計算效率。對于工程師而言，計算效率的高低是決定是否采用該種識別方法的關鍵所在，能在可接受的精度范圍內快速得出結論才是最重要的，所以本文只研究貝葉斯兩步識別。根據貝葉斯兩步識別中第二步識別過程與第一步識別過程是否有關，分為貝葉斯兩步獨立識別和貝葉斯兩步非獨立識別。顯然，獨立識別指前后兩步識別沒有關系，非獨立識別指第二次識別過程基于第一步的識別結果。為了簡化表達，文中用貝葉斯獨立識別和貝葉斯非獨立識別分別代替貝葉斯兩步獨立識別和貝葉斯兩步非獨立識別。

3.1 邊緣分布的識別

根據前人的研究成果，本文的備選邊緣分布類型采用正態分布、對數正態分布、極值Ⅰ型分布、伽馬分布，其對應的分布函數和概率密度函數如表2所示。

表2 4種邊緣分布的分布函數和概率密度函數Tab.2 Summary of distribution and their probability density functions of 4 marginal distributions

下面以黏聚力c為例詳細闡述貝葉斯識別方法。

(9)

當邊緣分布模型Mck中參數μc、σc未知時，可利用全概率公式將Pr(Dc|Mck)表示為：

(10)

式中：Pr(Dc|μc,σc,Mck)為給定Mck及其參數μc、σc條件下Dc發生的概率；Pr(μc,σc|Mck)為參數μc、σc的概率密度函數。假設Dc為黏聚力參數的Nd次獨立同分布觀測，那么Pr(Dc|μc,σc,Mck)可以表示為試驗數據點處備選邊緣概率函數的乘積：

(11)

當先驗信息較少時，根據最大熵原理，通常假定μc、σc服從二維均勻分布，則概率密度函數Pr(μc,σc|Mck)的計算公式為：

(12)

3.2 Copula函數的識別

Copula 函數識別前需要確定的要素有：參數u和v數據，先驗信息以及備選 Copula 函數模型。參考前人研究成果，本文選取 Gaussian、Plackett、Frank 和No.16 Copula 函數為表征土體抗剪強度參數相關結構的 Copula 函數，則C={Ck,k=1,2,3,4}={Gaussian, Plackett, Frank, No.16}。分別計算這4種備選 Copula函數Ck在給定土體抗剪強度參數試驗數據D={(ci,φi),i=1,2,…,Nd}條件下發生的概率Pr(Ck|D)。根據貝葉斯理論的基本原理，具有最大發生概率Pr(Ck|D)的Copula 函數即為最優Copula 函數。

(13)

當Copula 函數Ck中參數θ未知時，可利用全概率公式將Pr(D|Ck)表示為：

(14)

(15)

式中：Pr(D|τ,Ck)為給定Ck及τ在的條件下D出現的概率；Pr(τ|Ck)為τ的概率密度函數。同理，可假設τ在區間[τmin,τmax]內服從均勻分布，則Pr(τ|Ck)=1/(τmax-τmin)。假設D為獨立同分布觀測，那么Pr(D|τ,Ck)可以表示為試驗數據點處備選Copula 密度函數的乘積：

(16)

顯然，在貝葉斯理論框架下識別Copula函數的首要任務是確定變量U={(ui,vi),i=1,2,…,Nd}。由Copula函數的定義可知， Copula 函數的邊緣分布在區間[0,1]上服從均勻分布。根據變量U確定方法的不同，貝葉斯方法分為獨立識別和非獨立識別。獨立識別指兩步識別沒有依賴關系，非獨立識別指第二步識別以第一步識別結果為基礎。

3.2.1 獨立識別

由于第一步識別和第二步識別沒有關系，所以變量U是基于原始數據的經驗分布值確定的。由公式(5)將數據D={(ci,φi),i=1,2,…,Nd}轉化為標準均勻分布變量U={(ui,vi),i=1,2,…,Nd}。

3.2.2 非獨立識別

根據Copula理論可知，在變量U中u和v可分別視為參數c和φ的累積分布函數，即u=F1(c|μc,σc)和v=F2(φ|μφ,σφ)。第一步邊緣分布模型識別后可以確定參數c和φ的累積分布函數類型，在確定μc和σc以及μφ和σφ后便可以確定c和φ的累積分布函數F1(c|μc,σc)和F2(φ|μφ,σφ)。下面以參數c為例詳述如何在已知累積分布函數類型后得到μc和σc的最可能值，下文簡稱MPV值。依據貝葉斯原理可得出μc和σc的后驗分布為：

(17)

4 最優二維分布模型識別方法的對比

本節采用蒙特卡洛模擬方法驗證貝葉斯理論識別最優二維分布模型的有效性。為了驗證該方法的有效性，將貝葉斯識別結果與AIC 準則識別結果進行對比。試驗表明1 000 次模擬能夠得到非常穩健的最優二維分布模型識別結果，所以本節試驗方案設計為：在給定真實二維分布模型情況下，重復模擬1 000組樣本數目為Nd的服從給定真實二維分布模型的樣本，分別采用貝葉斯獨立識別、貝葉斯非獨立識別、AIC一步識別、AIC兩步識別共計4種方法給出每組樣本的最優二維分布模型，最后統計并對比1 000次模擬樣本中真實二維分布模型被識別為最優二維分布模型的次數。本文擬采用正態(Normal)分布、對數正態分布(Lognormal)、極值Ⅰ型(Gumbel)分布、伽馬(Gamma)分布作為模擬算例的邊緣分布類型，選取Gaussian、Plackett、Frank 和No.16 Copula 函數為表征模擬算例土體抗剪強度參數相關結構的 Copula 函數，分析這4種方法的識別能力與不同真實二維分布模型、樣本數目以及參數相關性的關系。對于真實二維分布模型，假定μc=66，σc=22，μφ=28，σφ=3.5。選取樣本數目Nd分別等于 30、50和100以及相關系數τ分別等于-0.25、-0.50 和-0.75 ，因此c和φ各4種備選邊緣分布模型、4種Copula 函數構成了4×4×4×3×3=576種備選二維分布模型，再加上3種樣本數目和3種相關系數，共組成 組模擬方案。表3 給出了 64 種備選二維分布模型。

表3 64種備選二維分布模型Tab.3 64 kinds of alternative bivariate distribution models

注：在c和φ中， “1”，“2”，“3”和“4”分別代表“正態(Normal)分布”，“對數正態(Lognormal)分布”，“極值Ⅰ型(Gumbel)分布”和“伽馬(Gamma)分布”；在Copula中，“1”，“2”，“3”和“4”分別代表“Gaussian”，“Plackett”，“Frank”和“No.16”。

這里假設64種備選二維分布模型的先驗概率相等，由于本文采用兩步識別，每步識別中的備選模型數量均為4，因此先驗概率皆為1/4。在每組方案模擬的1000組樣本中，當真實的二維分布模型被識別為最優二維分布模型的次數大于其余63種模型時，認為識別成功；否則認為識別失敗。表4為上述模擬試驗中4種方法的識別結果。

如表4所示，經對比發現，相同條件下兩種貝葉斯方法成功識別的概率均高于兩種AIC方法成功識別的概率。

就單個模型在1 000次模擬試驗的識別精度而言，貝葉斯方法也優于AIC準則。由于模型種類多，且4種識別方法的識別精度規律保持相對穩定，所以只選取了部分試驗數據作圖1來展示4種方法識別精度的高低。

表4 576組模擬試驗中4種方法成功識別真實二維分布模型的組數Tab.4 Number of successful identifications over 576 types using Bayesian method

圖1 4種識別方法成功識別次數比較Fig.1 Number of successful identifications of 4 methods

顯然，兩種貝葉斯識別方法的識別精度普遍優于兩種AIC識別方法的識別精度，且貝葉斯非獨立識別在多數情形下優于貝葉斯獨立識別，AIC一步識別和兩步識別在識別精度上并無明顯差異。造成貝葉斯獨立識別和非獨立識別精度差異的主要原因是Copula函數的變量不同。以小浪底大壩斜心墻三軸固結排水(CD)土體抗剪強度參數數據為例，通過兩種方法得到變量U，變量U的分布情況如圖2所示。由圖2可知，兩種方法使用的變量U在整體趨勢上一致，但是并不完全相同， Copula函數的變量不同導致了識別結果的差異。由于這4種方法在計算機上運行一次的速度均在3秒以內，所以在識別土體抗剪強度參數最優二維分布模型時，建議優先采用貝葉斯非獨立法進行識別。

圖2 貝葉斯獨立法和非獨立法中Copula函數變量散點圖Fig.2 Scatter plots of Copula function in Bayesian theory bivariate distribution identification

5 影響識別精度的因素分析

前文驗證了貝葉斯非獨立識別方法對最優二維分布模型識別的高效性，下面進一步分析影響該方法識別精度的主要因素。比較后發現，影響最優二維分布模型識別精度的主要因素是樣本數目、參數間相關性、備選二維分布模型集合。當然，備選二維分布模型的先驗概率對真實二維分布模型的識別結果也有明顯的影響。由于篇幅有限，圖3僅展示了4種真實二維分布模型的識別結果，真實二維分布模型分別為[1,1,1]、[1,1,2]、[1,1,3]、[1,1,4]。

5.1 樣本數目

從圖3(a)～3(d)中可以看出，真實二維分布模型被識別為最優二維分布模型的次數隨樣本數目的增加而增大。此外，當樣本數目逐漸增大時，單位樣本數目的增加對于識別精度的提高效果逐漸減小，這說明識別精度在樣本數目較少時對樣本數目的變化更敏感。因此若能在實際工程中獲得更多的土體抗剪強度參數試驗數據，則可以得到更可靠的二維分布模型，提高工程設計的可靠度。

5.2 參數間相關性

從圖3(a)～3(d)中可以看出，參數間相關性對最優二維分布模型的識別結果具有重要的影響。參數間相關性主要是通過影響Copula函數的識別從而影響二維分布模型的識別。通過對比發現，當真實Copula函數為Gaussian、Plackett 和 Frank Copula 函數時，真實二維分布模型被識別為最優二維分布模型的次數隨參數間負相關系數的增加而增大。而當真實Copula函數為No.16 Copula 函數時，真實二維分布模型被識別為最優二維分布模型的次數隨參數間負相關系數的增加而減小。這是因為大多數Copula函數在相關系數趨近于0時都收斂于獨立 Copula 函數，此時不同的Copula函數差異性很小，可以忽略，當相關系數的絕對值逐漸增大時，不同的Copula函數差異性也隨之增大，因此更容易識別，本文中Gaussian、Plackett 和 Frank Copula 函數便屬于這一類；當然，還存在少數的Copula函數，它們在相關系數趨近于0時不收斂于獨立 Copula 函數，且當相關系數的絕對值逐漸增大時，它們與其他Copula 函數的差異性逐漸減小，因此識別難度增加，本文中No.16 Copula 函數便屬于這一類。因此，參數間相關性大小對于最優二維分布模型的識別精度沒有完全統一的規律，換言之，大部分二維分布模型的識別精度隨相關性的增加而增大，少數二維分布模型的識別精度隨相關性的增加而降低。

圖3 4種真實二維分布模型識別能力對比圖Fig.3 Identification ability of 4 real bivariate distribution models

5.3 備選二維分布模型集合

前文分析了參數間相關性對二維分布模型識別精度的影響。由于真實二維分布模型只選取了一種邊緣分布類型，故只分析備選二維分布模型中Copula 函數的差異對識別能力的影響。對比圖3(a)～3(d)不難發現，圖3(a)和圖3(d)的成功識別次數明顯高于圖3(b)和圖3(c)，這是因為一般來說， Plackett 和 Frank Copula 函數在相關系數相同時具有相似的相關結構，而 Gaussian 和 No.16 Copula 函數相關結構與其余 3 種備選 Copula 函數存在較大差別。因此，當真實Copula函數為Gaussian或No.16 Copula 函數時，真實二維分布模型被識別為最優二維分布模型的次數遠遠大于真實Copula函數為 Plackett 或Frank Copula 函數的二維分布模型。因此，真實 Copula 函數與其余備選 Copula 函數之間存在的差異越大就越容易被識別成功，需要的樣本數目越少。

5.4 先驗信息

由于信息缺乏，前文的分析假定64 種備選二維分布模型的先驗概率都相等。當有足夠的證據表明某種二維分布模型作為最優二維分布模型的概率明顯大于其他二維分布模型作為最優二維分布模型的概率時，應代入不等的先驗概率進行計算。就本文的模擬試驗而言，由于樣本均生成于真實的二維分布模型，故樣本來自于真實二維分布模型的概率明顯大于其他備選二維分布模型。

假定真實二維分布模型的概率為2/5，剩余63種備選模型均為1/5，相關系數τ=-0.5。計算結果如圖4所示：

圖4 先驗信息對識別精度的影響Fig.4 The prior information influences on identification

從圖4中可知，考慮不相等的先驗概率的識別結果明顯優于相等的先驗概率的識別結果，真實二維分布模型被識別為最優二維分布模型的概率顯著提高。

6 工程應用

本節探討貝葉斯理論在實際工程土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別中的應用。本文共搜集了全世界范圍內 29 組土體抗剪強度參數的現場或者室內試驗數據，大部分的試驗數據的樣本數目小于30，屬于小樣本。本文提出的基于貝葉斯理論的土體抗剪強度參數最優二維分布模型識別方法相較AIC準則的識別方法能在小樣本條件下更有效地識別出最優二維分布模型。本節選擇小浪底大壩斜心墻三軸固結排水(CD)土體抗剪強度參數數據為例，闡述基于貝葉斯理論識別最優二維分布模型的計算步驟：

(1)獲取土體抗剪強度參數試驗數據D={(ci,φi),i=1,2,…,63} 轉化為標準均勻分布變量U={(ui,vi),i=1,2,…,n}。

(2)土體抗剪強度參數存在較強的統計負相關性，Kendall 秩相關系數τ=-0.38。選取本文中的64種二維分布模型為備選模型，設定τ的積分區間為[-1,0]，此時τmin=-1，τmax=0。

(3)采用公式(9)計算出64種備選模型在給定試驗數據D條件下的后驗概率Pr(Mk|D)， 具有最大后驗概率的備選模型即為最優二維分布模型。

對于黏聚力c而言，根據公式(9)分別計算正態分布、對數正態分布、極值Ⅰ型分布、伽馬分布發生的概率分別為： 96.88%、 0.12%、 2.54%、 0.46%，因而表征本例中黏聚力邊緣分布的最優模型為正態分布；對于內摩擦角φ而言，正態分布、對數正態分布、極值Ⅰ型分布、伽馬分布發生的概率分別為：30.69%、 18.42%、 2.08%、48.81%，因而表征本例中內摩擦角邊緣分布的最優模型為伽馬分布；同理，對于Copula函數而言，Gaussian、Plackett、Frank 和No.16發生的概率分別為：24.81%、 32.26%、 42.66%、 0.27%，因而表征本例中Copula函數的最優模型為Frank Copula函數。可見，黏聚力邊緣分布為正態分布，內摩擦角邊緣分布為伽馬分布，相關結構為Frank Copula函數的二維分布模型為64種備選模型中能最優地表征小浪底樞紐工程固結排水(CD)土體抗剪強度參數試驗數據二維分布的模型。表5給出了模擬樣本c和φ的均值和標準差，等效樣本的統計量均值和標準差與原始樣本數據相比，其相對誤差都在1%以內，模擬數據的Kendall 秩相關系數 ，與樣本數據相比相對誤差僅為2.63%，這些微小的相對誤差說明蒙特卡洛模擬樣本能夠比較準確地還原原始樣本的數據特征。圖5給出了模擬數據和樣本數據的分布情況，從圖5中可以看出，模擬數據基本覆蓋了樣本數據的分布區域，兩者擬合度良好，能夠有效地反映試驗數據的二維分布情況。

表5 土體抗剪強度參數模擬樣本的統計特征值Tab.5 Statistical feature values of shear strength parameter simulation samples

圖5 土體抗剪強度參數等效樣本散點圖Fig.5 Scatter plots of shear strength parameter simulation samples

重復以上3步，即可得出29組數據對應的最優二維分布模型，計算結果見表6，該表統計了貝葉斯獨立和非獨立兩種方法的識別結果。經統計，黏聚力的最優分布模型依次為：正態分布，伽馬分布，對數正態分布和極值Ⅰ型分布；對于內摩擦角的最優分布模型依次為：正態分布，伽馬分布，極值Ⅰ型分布和對數正態分布；表征參數相關結構的最優Copula 函數依次為： Gaussian， Frank， Plackett， No.16。可見在實際工程中土體抗剪強度參數存在各種類型的分布情況，要具體工程具體分析，不能一概而論，否則在計算土體結構物可靠度時會低估或高估實際失效概率，造成工程失事風險或工程資源浪費，這進一步證明了考慮土體抗剪強度參數二維分布模型的不確定性是非常有必要的。

表6 29組工程數據貝葉斯獨立識別和非獨立識別的結果統計Tab.6 Summary of 29 sets of shear strength parameters and the results of their best-fit models

7 結 論

(1)貝葉斯理論能夠有效地識別表征土體抗剪強度參數最優的二維分布模型。該方法識別二維分布模型時，不需要估計二維分布模型的參數，并能與工程上現有的工程經驗等先驗信息相結合，為降低模型選擇的不確定性提供了一條高效且穩定的途徑。

(2)與常用的基于AIC準則的識別方法相比，貝葉斯理論在識別能力和識別精度上表現更出色，特別是在樣本數目較小的情況下，貝葉斯理論的優勢表現得更為明顯。其中貝葉斯非獨立識別方法可以認為是兼顧識別能力和識別精度的最優選擇。

(3)土體抗剪強度參數的樣本數目、參數間相關性、備選二維分布模型集合以及先驗信息都顯著影響貝葉斯理論的識別精度。通常，樣本數目越大、參數間相關性越強、備選二維分布模型集合中真實 Copula 函數與其余備選Copula 函數差異越大、真實二維分布模型具有越高的先驗概率，貝葉斯理論的識別精度就會越高。

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