水下橢圓形隧道穩定滲流的近似解

賀志軍，莫海強，鄒金鋒，李超

水下橢圓形隧道穩定滲流的近似解

賀志軍1，莫海強2，鄒金鋒2，李超2

(1. 中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075；2. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

利用復變函數數值保角映射結合最優化技術，推導在完全飽和、均勻和各向同性半無限含水層中水平地下橢圓形隧道二維穩定滲流的近似解析解。在考慮水下隧道周邊恒定水頭和水壓邊界條件下，通過近似解可以計算隧道周圍水頭和孔隙水壓的分布。此外，對基于本文求出的近似解與有限差分FLAC3D分別計算在恒定水壓邊界條件下隧道周圍的孔隙水壓作對比。研究結果表明：近似解求得隧道周圍孔隙水壓與有限差分數值模擬的解吻合度高，對于水下橢圓形隧道初步設計來預測隧道周圍水壓分布是有意義的。

數值保角映射；最優化技術；穩定滲流；橢圓形隧道；近似解析解；水下隧道

隧道作為一種重要的交通基礎設施，廣泛應用于工程建設中。對于水下隧道，由于處于高水壓且水源充足，其滲水問題遠比陸地隧道嚴重，且滲流對水下隧道的設計和建設影響較大。對于水下非圓形隧道，其隧道周邊的滲流場會受到隧道形狀影響。在隧道形狀研究方面，范廣勤等[1]應用六角形去逼近天幕線拱形直墻洞室，適用性較差；呂愛鐘等[2?3]采用最優化技術確定任意截面形狀巷道的映射函數，同時給出非圓整體式支護保角映射成圓環域，克服了以往按單連通域方法計算雙連通域問題的缺陷；陸文超等[4]在Verruijt[5]成果的基礎上，利用復變函數法研究了地面荷載下淺埋隧道圍巖的應力問題。在隧道滲流場研究方面，Harr等[6?8]根據鏡像法獲得隧道周圍地層的孔隙水壓力分布；Joo等[9]研究了襯砌外水頭和隧道涌水量的關系；王秀英等[10]獲得山區高水位隧道注漿圈外水頭的表達式；Tani[11]提出了基于Mobius變換和傅里葉級數的滲流方程；Kolymbas等[12?13]用保角變換獲得不同邊界條件對應的解析解；HUANGFU等[14]研究一種圓形水下隧道在恒定水頭和隧道周邊恒定水壓邊界條件下的穩定滲流場的解析解，并用FLAC3D進行了驗證。綜上所述，對于隧道滲流場的研究，大部分學者側重于對圓形隧道的分析，對于許多有工程意義的孔口問題，不能像圓孔那樣僅由有限項組成的準確的映射函數，本文運用最優化技術復合形法，經過多次保角變換，基于HUANGFU等[14]研究擴展，在像平面中根據達西定律，求解拉普拉斯方程得出水下任意孔形隧道穩定滲流的近似解，并用FLAC3D驗證解的正確性。

1 基本假設

為了求解這個問題，做出如下假設：1) 地表水平，隧道橫截面為橢圓形，位于含水層中；2) 滲流為無旋穩定；3) 流體不可壓縮；4) 隧道周邊地層為各向同性的多孔連續介質。建立模型如圖1所示。隧道中心距地面的深度用表示，橢圓隧道長軸和短軸分別用和表示，地面以上的水深為h。

2 保角變換

根據達西定律和質量守恒定律，隧道周邊二維穩定滲流遵循拉普拉斯方程：

其中：

圖1 水下隧道的幾何模型

Fig. 1 Model of seepage around underwater tunnel

保角變換的變換函數一般分為解析法和數值方法。對于解析法，變換函數只有在極少數的情況下能用初等函數表示，所以很多情況下只能指出變換函數的存在，而不能完全解出變換函數，由于在實際工程問題的復雜性，很多情況下必須利用數值方法求解滿足給定條件下的保角變換問題。由于本文討論的是半空間下橢圓孔問題，其變換函數不能直接用初等函數表示，所以只能用數值方法構造一個函數來逼近變換函數。根據對稱性，取一半結構分析，將原平面(平面)滲流區域映射到像平面(平面)的矩形區域分3步，變換模型如圖2所示，其中相鄰的連線表示各個平面內所對應的邊界，P，P分別指邊和邊的勢函數，但是其中(b)變換到(c)時利用了數值保角變換，變換函數存在一定的誤差。

2.1 第1次變換

Verruijt[5]運用分式線性變換，把原平面含圓形孔洞的半平面體映射成像平面單位圓環域，對于任意孔形的半平面只能將外表面也就是地表邊界變換成單位圓，隧道邊界變換為一個非圓圖形。分式線性變換公式如下；

式中：z=x+iy，為滲流區域中的點集；d為隧道中心的在y方向的高度的一半；h為隧道高度中心距地面的深度。通過輸入隧道邊界點位，可以明確的觀察到變換后內邊界非圓圖形，如圖2(a)和2(b)。

2.2 第2次變換

式中：為正實數；C一般為復數，因為對稱性，所以C必為實數。

目標函數取：

2.3 第3次變換

將半圓環區域單葉保形變換為矩形區域，如圖2(c)~2(d)，變換函數為

通過3次保角變換，可以將半無限空間下橢圓孔問題近似轉化為矩形問題。

由于第2部數值保角變換函數精度隨著C值個數的增加，不過也導致式(4)的逆函數非常復雜，但是保角變換函數是單葉函數，即不同域中的點一一對應，所以通過式(3)和式(4)得：

式(8)為隱函數方程，可以求出平面與平面之間的關系，再將式(8)代入式(7)就可以得到平面變換為平面的變換函數，即：

3 問題的求解

3.1 考慮隧道周邊恒定水頭

返回原平面(平面)：

將式(2)代入上式(12)，可得

3.2 考慮隧道周邊恒定水壓

假設滲流區域流體是不可壓縮且是各向同性，均勻的。可得：

返回原平面，上式為：

然而上述壓力解推導是在忽略重力的影響下。實際上壓力跟容重和深度有關，因此對壓力進行修正：

將式(19)代入(18)得：

4 近似解驗證

通過第1次變換，將地表映射為單位圓，內邊界為非圓圖形，變換函數如下：

第2次變換，分別在內邊界和外邊界上取一定坐標點，通過上述以勞倫級數為基礎的復合形法求出水下橢圓隧道的數值保角變換函數，此時式(4)表示如下：

當=6時：1=6.084 5

將所求變換函數返回原平面的映射圖像和原模型圖像相比較，黑線為原圖形，藍色虛線表示映射圖形，如圖3。在橢圓隧道邊界最大誤差為0.233 m，在地表邊界(沿軸方向80 m內)最大誤差為0.188 m。整體映射誤差很小，符合工程要求。

圖3 原圖形與映射圖形比較

將式(22)和(23)代入式(8)中就可以得到隱函數方程，然后可以確定通過保角變換后，原、像平面點位之間的對應關系，最后通過上節所述的方法求得隧道周邊的水壓值。

利用FLAC3D建立此算例下的隧道模型，隧道埋深20 m，為了消除邊界條件影響，故在數值模型方面，取計算寬度共160 m，計算深度為100 m。根據假設，地下水補給充足，所以數值模型邊界處水壓恒定且沿深度分布。采用單步穩定滲流模式，計算其孔隙水壓場，因為各向同性，取滲透系數=10?5m/s，孔隙率為0.5，流體體積模量為=2 GPa，流體密度為=103kg/m3，數值計算模型見 圖4。

圖4 數值模型

然后由本文所推導的近似解求得水下橢圓隧道周圍孔隙水壓分布的計算結果，并和有限差分FLAC3D計算作比較，如圖5~6所示。

圖5 比較隧道周邊水壓分布FLAD3D(左邊)與本文解(右邊)

圖6 本文解與FLAC3D解相比較

在圖5中，從2種方法得到的孔隙水壓的等壓線可知，其中越靠近隧道，兩者結果幾乎相同，但是離隧道越遠，其結果差值慢慢變大。圖6中(a)圖表示地表以下隧道中心線以上的水壓分布，即(d)中的(1-2)，除了因為數值保角變換誤差使映射橢圓邊界向上偏移0.233 m，導致近似解只能在地表下14.767 m時才能計算其壓力，在大約地表下14 m上產生的誤差最大，近似解計算值為23.49 kPa，數值解為29.34 kPa，誤差為19.9%，但是隨著高度增加，變換函數更加精確，近似解與數值解誤差大大減小，在地表以下12 m范圍內，最大孔隙水壓出現在地表，孔隙水壓值為302.25 kPa，與數值計算值300 kPa，誤差為0.75%，最大誤差為1.825%，出現在大約地表下8 m處，近似解計算值為170.07 kPa，數值解為167.03 kPa，本文解和有限差分解基本吻合。(b)圖表示隧道中心線以下的水壓分布，即(d)中的(3-4)，其中最大誤差是靠近在隧道附近，在地表以下26 m附近，近似解得36.72 kPa，數值解為39.73 kPa，誤差為7.56%，隨著深度增加，孔隙水壓基數變大，其誤差將越來越小。(c)圖表示地表以下20 m，過隧道中心水平線上的水壓分布，即(d)中的(5-6)，在距中心50 m范圍之內，最大誤差為6.37%，超過50 m外，兩者結果逐漸偏離。從整體上看，誤差都比較小，說明在隧道周圍本文解與FLAC3D解幾乎匹配，驗證本文所推導公式的正確性和可靠性。

5 結論

1) 運用勞倫級數為基礎的的復合形法求出水下橢圓隧道形狀的變換函數，由變換函數為單葉函數說明本文解收斂，當變換函數足夠精確時，此時推導的解可以視為解析解。

2) 推導了水下橢圓隧道滲流場的近似解析解，并利用解出的隧道周圍水壓分布與FLAC3D解相比較，匹配度很高，證明本文解的正確性。所以在給定的假設條件下，本文解對于水下任意孔形隧道初步設計預測隧道周邊水壓分布具有一定意義。

[1] 范廣勤, 湯澄波. 應用三個絕對收斂級數相乘法解非圓形洞室的外域映射函數[J]. 巖石力學與工程學報, 1993, 12(3): 255?255. FAN Guangqin, TANG Chengbo. Determination of the mapping function for the exterior domain of a non-circular opening by means of the multiplication of three absolutely convergent series[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 1993, 12(3): 255?255.

[2] 呂愛鐘, 張路青. 地下隧洞力學分析的復變函數方法[M]. 北京: 科學出版社, 2007. LU Aizhong, ZHANG Luqing. Complex variable function method for mechanics analysis of underground tunnels[M]. Beijing: Science Press, 2007.

[3] 呂愛鐘. 非圓形硐室封閉整體式支護映射函數確定的新方法[J]. 巖土工程學報, 1995, 17(4): 38?44. LU Aizhong. A new method of determination of the mapping function for a non-circle tunnel with full support [J].Geotechnical Engineering, 1995, 17(4): 38?44.

[4] 陸文超, 仲政, 王旭. 淺埋隧道圍巖應力場的解析解[J]. 力學季刊, 2003, 24(1): 50?54. LU Wenchao, ZHONG Zheng, WANG Xu. Analytical solution for stress field in surrounding rocks of shallow tunnel[J]. Chinese Quarterly of Mechanics, 2003, 24(1): 50?54.

[5] Verruijt A. A complex variable solution for a deforming circular tunnel in an elastic half-plane[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 2015, 21(2): 77?89.

[6] Harr M E. Groundwater and seepage[M]. McGraw-Hill, 1962.

[7] Fernandez G, Alvarez J T A. Seepage-induced effective stresses and water pressures around pressure tunnels[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1994, 120(1): 108? 128.

[8] LEI S. An analytical solution for steady flow into a tunnel[J]. Ground Water, 1999, 37(1): 23?26.

[9] Joo E J, Shin J H. Relationship between water pressure and inflow rate in underwater tunnels and buried pipes[J]. Geotechnique, 2014, 64(3): 226.

[10] 王秀英, 王夢恕, 張彌. 計算隧道排水量及襯砌外水壓力的一種簡化方法[J]. 北京交通大學學報, 2004, 28(1): 8?10. WANG Xiuying, WANG Mengshu, ZHANG Mi. A simple method to calculate tunnel discharge and external water pressure on lining[J]. Journal of Northern Jiaotong University, 2004, 28(1): 8?10.

[11] Tani M E. Circular tunnel in a semi-infinite aquifer[J]. Tunnelling and Underground Space Technology Incorporating Trenchless Technology Research, 2003, 18(1): 49?55.

[12] Kolymbas D, Wagner P. Groundwater ingress to tunnels– The exact analytical solution[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2007, 22(1): 23?27.

[13] Park K H, Owatsirwong A, Lee J G. Analytical solution for steady-state groundwater inflow into a drained circular tunnel in a semi-infinite aquifer: a revisit[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2008, 23(2): 206?209.

[14] HUANGFU Ming, WANG Mengshu, TAN Zongsheng. Analytical solutions for steady seepage into an underwater circular tunnel[J]. Tunnelling and Underground Space Technology, 2010, 25(4): 391?396.

[15] 劉惟信. 機械最優化設計[M]. 北京: 清華大學出版社, 1997.LIU Weixin. Mechanical optimization design[M].Beijing: Tsinghua University Press, 1997.

Approximate analytical solutions for steady seepage into an underwater elliptical tunnel

HE Zhijun1, MO Haiqiang2, ZOU Jinfeng2, LI Chao2

(1. School of Traffic and Transportation Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Based on the numerical conformal mapping of complex variable methods and the optimization techniques, the approximate analytical solutions were derived for two-dimensional, steady ground water flow into a horizontal elliptical tunnel in a fully saturated, homogeneous, isotropic, and semi-infinite aquifer. Under the conditions of constant hydraulic head and constant water pressure boundary surrounding the underwater tunnel, the distribution of hydraulic head and the pore water pressure around the tunnel can be calculated by the approximate analytical solutions. Moreover, a comparison of the approximate solutions and the finite difference FLAC3Dwas made for calculating the pore water pressure around the tunnel under constant water pressure boundary. The result shows that the solutions match well for points around the tunnel and it appears to be useful for a preliminary design of underwater tunnels to predict the water pressure distribution around the tunnel.

numerical conformal mapping; optimization techniques; steady seepage; elliptical tunnel; the approximate analytical solutions; underwater tunnel

U45

A

1672 ? 7029(2019)09? 2265 ? 07

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.09.018

2018?11?17

國家重大專項項目(2017YFB1201204)

鄒金鋒(1978?)，男，河南新縣人，教授，從事巖土與地下工程研究；E?mail：zoujinfeng_csu@163.com

(編輯 涂鵬)