自行車(chē)穩(wěn)定前進(jìn)時(shí)的某種表觀幾何現(xiàn)象

(上海市位育中學(xué)，上海 200231)

1 引言

兩輪自行車(chē)一直被認(rèn)為是一個(gè)很神奇的東西,依靠與地面的兩點(diǎn)接觸,竟然可以穩(wěn)定運(yùn)行而不倒下,同時(shí)具有比三輪或者四輪更大的靈活性．對(duì)它的平衡原理有過(guò)很多研究,這里不再贅述．筆者在使用自行車(chē)時(shí),遇到一次龍頭突然卡住的情況,幾乎立即摔倒,由此思考:如果有平衡狀態(tài),龍頭不動(dòng)也應(yīng)當(dāng)有可能穩(wěn)定運(yùn)行一段時(shí)間,但事實(shí)上是沒(méi)有人騎車(chē)時(shí)能做到,那么會(huì)不會(huì)自行車(chē)的騎行是一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)態(tài)而非平衡態(tài)呢?

2 問(wèn)題

只有兩點(diǎn)接觸地面時(shí),除理想狀態(tài)外根本不會(huì)有平衡,現(xiàn)實(shí)中也會(huì)發(fā)現(xiàn)騎車(chē)時(shí),即使直線(xiàn)前進(jìn)車(chē)身也不可能一直保持豎直,而多多少少都有左右擺動(dòng),如圖1,沙灘上的軌跡清楚地證明了這一點(diǎn)．為什么騎車(chē)時(shí)要不斷地微微轉(zhuǎn)動(dòng)龍頭而引起車(chē)身的擺動(dòng)呢?而且看起來(lái)這種擺動(dòng)還具有一定的節(jié)奏性,比如與蹬車(chē)的周期相同．由于提出的是一種基本設(shè)想,這里將對(duì)模型盡量簡(jiǎn)化．

圖1

3 圓周運(yùn)動(dòng)和前輪微擺模型

圖1可見(jiàn)自行車(chē)是不斷地左右微拐彎前進(jìn)的,那么必須建立拐彎時(shí)的圓周運(yùn)動(dòng)模型．圖2(甲)從側(cè)面將車(chē)架簡(jiǎn)化為連接兩輪(虛線(xiàn)圓圈)圓心的長(zhǎng)為d的剛性倒T形架,而人和車(chē)的總質(zhì)心G固定在車(chē)架中央上方,距離地面為h．輪子與地面的接觸點(diǎn)為P1、P2,距離也恰好是d,P為這兩個(gè)接觸點(diǎn)的中點(diǎn),且假定車(chē)是從P2向P1方向前進(jìn)的,這種模型只能側(cè)倒．當(dāng)正常微左轉(zhuǎn)時(shí),從正后方看過(guò)去如圖2(乙),設(shè)定P點(diǎn)為整體的等效支點(diǎn),模型被進(jìn)一步簡(jiǎn)化為一個(gè)重球支在一根輕桿上,此時(shí)向左偏離豎直線(xiàn)α角,由于該角很小,質(zhì)心離地高度仍近似為h,而δP為此時(shí)質(zhì)心相對(duì)于P在水平方向的偏離量．當(dāng)采用P的圓周運(yùn)動(dòng)作為參考系研究時(shí),質(zhì)心受力如圖(地面作用力未畫(huà)出),其中F為慣性力,在該參考系中不倒即關(guān)于支點(diǎn)P力矩平衡及幾何關(guān)系得

(1)．

圖2

圖3

圖4

主導(dǎo)車(chē)行進(jìn)方向的是前輪,圖3是實(shí)拍穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)自行車(chē)前輪向左和向右微擺動(dòng)的瞬間(因車(chē)有故障而不是很對(duì)稱(chēng)),說(shuō)明前輪與車(chē)身的夾角確實(shí)存在,幾何關(guān)系則需從俯視圖建立左轉(zhuǎn)模型如圖4,虛線(xiàn)窄長(zhǎng)方框?yàn)閮奢?前輪向左微擺,將其與車(chē)架所成角度θ稱(chēng)為擺角,假定為固定轉(zhuǎn)彎過(guò)程,則車(chē)身上各點(diǎn)的軌跡應(yīng)共用相同的圓心O,相當(dāng)于一個(gè)三角板OP1P2在繞O點(diǎn)轉(zhuǎn),由兩輪運(yùn)動(dòng)方向平行于輪本身,可知兩個(gè)地面接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)半徑OP1和OP2的夾角也是θ,且θ角很小時(shí)可近似認(rèn)為

(2)

將車(chē)速v近似看作P點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)速度,其半徑為r,則前面的慣性力即為

F=mv2/r.

(3)

4 支點(diǎn)移動(dòng)模型

自行車(chē)穩(wěn)定前進(jìn)時(shí)為什么要微轉(zhuǎn)彎呢?

用一根長(zhǎng)而輕的桿頂著一個(gè)重球長(zhǎng)時(shí)間不倒下是可以做到的,比如雜技頂桿,秘訣就在于支點(diǎn)的移動(dòng),也就是當(dāng)重物有些向左偏倒時(shí),快速地向左移動(dòng)支點(diǎn),在偏得更加嚴(yán)重之前,支點(diǎn)已經(jīng)到了重物左下方的位置,那么此時(shí)桿對(duì)球的作用力沿桿朝右上方,會(huì)阻止重物的繼續(xù)左移而促使重物向右偏倒,于是再將支點(diǎn)快速右移以阻止右偏的發(fā)展,以此類(lèi)推,讓重物在不斷地左偏右偏中維持了一個(gè)相對(duì)的穩(wěn)定而沒(méi)有倒下.這里僅從地面參考系說(shuō)明支點(diǎn)左右移的目的,所以不再出現(xiàn)慣性力的考慮．而此情景正是圖2(乙)視角所看到的自行車(chē)身的簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng),所以自行車(chē)的穩(wěn)定亦來(lái)自支點(diǎn)(等效)的移動(dòng),而且這種移動(dòng)絕對(duì)不是打滑,而是在移動(dòng)中需要怎樣的作用力,地面能就給予怎樣的力,就像頂桿時(shí)用手控制桿子的底端一樣,此即支點(diǎn)具有合理加速度的原因．

圖5

自行車(chē)與地面的接觸點(diǎn)(相當(dāng)于頂桿中的支點(diǎn))不能平白無(wú)故地側(cè)移,否則就是打滑,因此這種支點(diǎn)的左右移動(dòng)便由轉(zhuǎn)彎來(lái)實(shí)現(xiàn)．現(xiàn)在把車(chē)輪略去,俯視圖進(jìn)一步簡(jiǎn)化為圖5,虛線(xiàn)曲線(xiàn)PP′P″為大致的P點(diǎn)軌跡,那么前進(jìn)方向基本為AB箭頭方向,在一段時(shí)間內(nèi),假定前輪保持著θ擺角(其實(shí)這個(gè)過(guò)程中擺角是變化的,為了簡(jiǎn)化計(jì)算認(rèn)定θ不變)使等效支點(diǎn)P移動(dòng)到P′處,半徑OP轉(zhuǎn)過(guò)角度φ,且恰使圖2(乙)中P點(diǎn)偏離質(zhì)心從最右到最左,故有P點(diǎn)的側(cè)移量為2δP,滿(mǎn)足2δP=r(1-cosφ)=2rsin2(φ/2)．而當(dāng)θ角很小時(shí),φ也很小,近似有sin(φ/2) ≈φ/2,故2δP≈2r(φ/2)2=rφ2/2．

同時(shí),把左右腳各蹬一下認(rèn)為是穩(wěn)定騎車(chē)時(shí)的周期T,也就是車(chē)身擺動(dòng)周期,不難理解P到P′的過(guò)程就是T/2,則有φ=vT/2r,即T/2經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)除以半徑,代入上式消去φ有

(4)

回到前面,由(1)、(3)、(4)式消去δP可得

(5)

取h=1 m得到T=1.278 s,是個(gè)合理的蹬車(chē)周期(真實(shí)過(guò)程中θ會(huì)變小,轉(zhuǎn)彎效果削弱,完成2δP需要更長(zhǎng)的時(shí)間,而恰好真實(shí)的舒適周期在1.5～2 s),合適的慣性力體現(xiàn)圓周運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,因此可把(5)式看動(dòng)力學(xué)方面人感覺(jué)較穩(wěn)定的質(zhì)心高度和蹬車(chē)周期的關(guān)系式．所以加速時(shí)(即減小T),往往采取更低重心的姿勢(shì)(即減小h)會(huì)更舒服．

換一個(gè)思路,由(2)、(4)式消保留δP消去r得

(6)

將(5)式代入有

(7)

取h=1 m,d=1.2 m,v=5 m/s,δP=0.04 m這些現(xiàn)實(shí)中比較合理的數(shù)據(jù),得到θ≈1.08°,這個(gè)夾角計(jì)算值符合實(shí)際情況,在很穩(wěn)地騎車(chē)時(shí),前輪與車(chē)身的夾角極值就是兩度左右．圖3的左右偏角加權(quán)平均較大是因?yàn)閱问烛T車(chē)且龍頭不靈活,所以不是很穩(wěn)．

是否能根據(jù)(6)、(7)式判定,車(chē)速越快時(shí)對(duì)應(yīng)的θ一定越小呢?其實(shí)車(chē)速與周期成反比,可以令v=k/T,k為廠(chǎng)家設(shè)定的系數(shù),則(6)式成為

(8)

上面數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)k=6.39．(7)、(8)兩式表面存在矛盾,一個(gè)與車(chē)速有關(guān)而另一個(gè)無(wú)關(guān),但仔細(xì)思考(7)式的來(lái)源(5)式,表征的是圓周運(yùn)動(dòng),在起步階段,車(chē)速過(guò)慢,車(chē)身不倒很大程度上取決于圓周運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定,所以(7)式起到?jīng)Q定性作用,因此確實(shí)一開(kāi)始的前輪擺角是很大的.這也是個(gè)不太穩(wěn)定的過(guò)程,近似也不能很好地成立,所以這里并未過(guò)多研究．

正常騎行時(shí)速度足夠且軌跡較直,圓周運(yùn)動(dòng)不太明顯,而支點(diǎn)移動(dòng)的硬性標(biāo)準(zhǔn)指向(8)式,且各種近似得到很好地滿(mǎn)足,所以如果δP比較恒定時(shí),騎得稍快或稍慢一些前輪的擺角是差不多的.且根據(jù)前面的論述,車(chē)速稍大時(shí)通常會(huì)稍微降低重心,減小h,所以(7)式也能指向擺角變化不大的結(jié)論,并不與(8)式矛盾．

當(dāng)騎得很快時(shí),又會(huì)發(fā)現(xiàn)前輪擺角θ是個(gè)更加小的值,幾乎與車(chē)身一起動(dòng),而且感覺(jué)挺穩(wěn),想摔倒都不可能,但這時(shí)的蹬車(chē)周期T變得比正常小不少,會(huì)與(5)式偏差太多，因?yàn)閔不可能大幅度減小,怎么理解這樣的穩(wěn)定呢?事實(shí)上在蹬車(chē)周期太小(比如小于1 s)時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)車(chē)身的擺動(dòng)周期自然地變成蹬車(chē)周期的兩倍(2 s左右),即擺到左邊蹬兩腳,擺到右邊再蹬兩腳,不再是一邊各蹬一腳,而我們要用來(lái)推導(dǎo)(4)-(6)式的正是車(chē)身擺動(dòng)周期,2 s左右的周期與(5)式相差不大,而最后(8)式中相當(dāng)于k變?yōu)樵瓉?lái)2倍,即分母會(huì)乘以4,側(cè)移量δP雖然也變大但沒(méi)有大到4倍,結(jié)果是車(chē)身擺動(dòng)幅度變大、節(jié)奏變慢,但前輪擺角卻更小．這種情況不作過(guò)多展開(kāi)．

以上推斷均有實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和事實(shí),定速車(chē)在騎得很快時(shí)擺到一邊只蹬一腳會(huì)導(dǎo)致車(chē)身很劇烈的晃動(dòng),要摒除這種不穩(wěn)定性但又不想一邊蹬兩腳的話(huà),就得使用變速自行車(chē),通過(guò)k的調(diào)節(jié)形成高速下仍有合適的蹬車(chē)周期,等于(5)式中的車(chē)身擺動(dòng)周期．

5 其他分析

(1) 為什么在溜車(chē)(不蹬)時(shí)沒(méi)有太多的前輪擺動(dòng)節(jié)奏感?因?yàn)榱镘?chē)時(shí)不存在蹬車(chē)周期,整體質(zhì)心相對(duì)于等效支點(diǎn)的偏離很隨機(jī),所以人會(huì)隨機(jī)地用龍頭帶動(dòng)前輪擺動(dòng),其感覺(jué)不如騎車(chē)穩(wěn)定．同理自行車(chē)慢速比賽時(shí)也存在類(lèi)似的問(wèn)題,人和車(chē)因擾動(dòng)而導(dǎo)致的質(zhì)心與支點(diǎn)的偏離總會(huì)存在,但前進(jìn)速度很慢時(shí),想及時(shí)有效地側(cè)向移動(dòng)支點(diǎn)變得更加困難,所以很容易摔倒．

(2) 為什么成人騎童車(chē)會(huì)感覺(jué)不好?童車(chē)不是小輪自行車(chē),騎童車(chē)的成人比正常情況重心更接近地面,倒下得更快,且廠(chǎng)家設(shè)定童車(chē)有較小的車(chē)速周期比k,導(dǎo)致成人不得不更迅速地蹬車(chē),同時(shí)根據(jù)(8)式,雖然其車(chē)架d也較小,但仍可能導(dǎo)致需要更大的θ角,結(jié)果就是更快的擺動(dòng)及更大的擺角,加上伸不開(kāi)腿,所以缺乏習(xí)慣中的穩(wěn)定感,當(dāng)然,兒童是很習(xí)慣快速蹬車(chē)的．因此不論車(chē)輪大小,成人騎車(chē)較舒適時(shí)總有一個(gè)合適的座位高度及變速比(對(duì)應(yīng)k、T)．

6 深層研究

(1) 人體感官:如何形成質(zhì)心的節(jié)奏性偏離等效支點(diǎn)?見(jiàn)圖3,如果是很輕松正常地騎車(chē),我們會(huì)發(fā)現(xiàn)通常抬左膝時(shí),會(huì)自然地控制龍頭帶動(dòng)前輪向左擺動(dòng),這個(gè)動(dòng)作的起始階段可以體會(huì)到人身體重心的左移．同時(shí)此動(dòng)作右手前伸,與走路出左腳伸右手的平衡相統(tǒng)一,從自然規(guī)律上減少了人的不穩(wěn)定性．再結(jié)合圖1可知,支點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心水平位置的偏離及其變化一大部分是來(lái)自于車(chē)身的擺動(dòng),進(jìn)一步降低了人體的擺動(dòng)感．如果將這個(gè)動(dòng)作反過(guò)來(lái),硬是抬左膝且向右擺龍頭,就是同手同腳的感覺(jué),會(huì)加大擺幅,不穩(wěn)定,但在短時(shí)間加速過(guò)程可以接受這種用力方式．

(2) 車(chē)身研究與因果關(guān)系:在舒緩地騎車(chē)時(shí),前輪的擺動(dòng)來(lái)自于人體本身的節(jié)律性帶動(dòng),則車(chē)身的側(cè)傾及轉(zhuǎn)彎就是由前輪帶動(dòng)的結(jié)果．但當(dāng)車(chē)速較高時(shí),前輪的擺動(dòng)似乎并非人手控制,而是車(chē)身平面?zhèn)葍A后,帶動(dòng)前輪擺動(dòng),因果關(guān)系恰好相反,比如圖6這種危險(xiǎn)的空手騎車(chē)情況,如何理解這種擺動(dòng)機(jī)制?

圖6

圖7

仔細(xì)觀察當(dāng)今絕大多數(shù)自行車(chē)前叉都是向前下方控制前輪,不是豎直向下,這個(gè)設(shè)計(jì)在車(chē)身平面傾斜時(shí),會(huì)對(duì)前輪產(chǎn)生一定的力矩效果．如圖7(甲)所示,車(chē)輪半徑為R,EF代表前叉,車(chē)身豎直時(shí)它與豎直線(xiàn)夾角為γ,而圖7(乙)是從車(chē)正后方看過(guò)去的視角,車(chē)身平面偏離豎直面α夾角,這時(shí)若以EF為轉(zhuǎn)軸,沿前叉從F向E看過(guò)去,地面的支持力N將產(chǎn)生逆時(shí)針力矩(立體關(guān)系此處未畫(huà)出),滿(mǎn)足(用N垂直于輪平面的分量乘以關(guān)于轉(zhuǎn)軸EF的力臂)

MN=NsinαRsinγ.

(9)

現(xiàn)實(shí)中自行車(chē)停放時(shí)車(chē)身向左傾,這個(gè)力矩會(huì)立即使前輪左擺,正好符合前面左轉(zhuǎn)彎模型的要求,即車(chē)本體結(jié)構(gòu)也可以貢獻(xiàn)出正確的前輪微擺動(dòng)效果．輪子的重力及前叉的作用力對(duì)EF軸無(wú)力臂,而此時(shí)是前輪剛偏,車(chē)的圓周運(yùn)動(dòng)不明顯,所以也忽略了地面給予摩擦力的側(cè)向分量．所以前叉設(shè)計(jì)天然地符合了前輪微擺的方向性要求,同時(shí)增大跨度,提高了車(chē)身前后方向的穩(wěn)定性,并可以容納更大的前輪,方便提高車(chē)速,可謂一舉多得．

N作為地面的支持力其實(shí)僅與人、車(chē)的重量有關(guān),可認(rèn)為與廠(chǎng)家設(shè)計(jì)的γ一樣是定值．單獨(dú)看R越大時(shí),一般可以使(9)式的力矩增大．其實(shí)這個(gè)力矩本身很小,但是考慮到θ和周期的量級(jí),只需讓前輪帶龍頭有很小的角加速度就可以了,所以還是合理的．但是更需要應(yīng)對(duì)的是地面和龍頭軸等方面產(chǎn)生的阻力,如果這個(gè)阻力很大,那么我們需要更大的車(chē)身傾角α來(lái)提高力矩效果,這就很容易摔倒了;如果這個(gè)阻力是定值,那么對(duì)于小半徑的輪子也是需要更大的車(chē)身傾斜度來(lái)達(dá)成足夠的力矩,以促成前輪的擺動(dòng),所以騎小輪車(chē)不用手扶也是容易摔倒,而且小輪車(chē)的前輪受龍頭慣性的制約程度較高,更容易出現(xiàn)前輪擺到一邊就擺不回來(lái)的情況,所以騎小輪車(chē)的人很少是雙手放空的．當(dāng)然輪的尺寸很大時(shí),根據(jù)人體有限的尺度,順利擺動(dòng)車(chē)身將變得很困難,所以也是不利于空手騎的．

7 角動(dòng)量相關(guān)的研究

圖8

我們不妨多研究一下車(chē)輪角動(dòng)量受力矩影響的效果．將圖7(甲)的前叉簡(jiǎn)化為完全豎直,此時(shí)車(chē)身(車(chē)輪平面)再怎么傾斜支持力都不會(huì)產(chǎn)生關(guān)于軸EF的力矩,不用手扶是否就無(wú)法使前輪以左轉(zhuǎn)替代倒下了?在圖7(乙)中選取過(guò)E點(diǎn)且垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸,N產(chǎn)生了一個(gè)向紙面外的力矩MN′=NRsinα,而此時(shí)前輪的角動(dòng)量L0為向左略偏下,從FE看過(guò)去簡(jiǎn)化俯視如圖8,該力矩將促使L0轉(zhuǎn)向,導(dǎo)致前輪左轉(zhuǎn)．現(xiàn)在略去龍頭等其他結(jié)構(gòu),假定只有前輪,在恰當(dāng)?shù)闹芷赥下,圖8所示從中線(xiàn)左擺到最大的θ角 時(shí)間為T(mén)/4,則MN′T/4=ΔL0;小角度近似下ΔL0≈L0θ,輪子的質(zhì)量m0集中在邊緣均勻分布時(shí)有L0=m0vR,綜合可得v=NTsinα/(4m0θ),再根據(jù)v=k/T和(10)式,可得

(10)

保守假設(shè)k=6.39,h=1 m,δP=0.04 m(其實(shí)因?yàn)椴环€(wěn)可能更大),θ=2°(已經(jīng)夠大),N=250 N(龍頭阻力相當(dāng)于削弱轉(zhuǎn)向效果,故簡(jiǎn)單等效為取偏小的N),m0=2.5 kg,空手下形成恰當(dāng)擺動(dòng)且不倒需要的車(chē)速為v=13.53 m/s,與現(xiàn)實(shí)相差甚遠(yuǎn),所以不大可能有人放空前輪騎豎直前叉的自行車(chē),當(dāng)然現(xiàn)在也基本找不到這樣的自行車(chē)．注意,這個(gè)模型跟一個(gè)輪子或一個(gè)硬幣自己滾動(dòng)是有區(qū)別的,比如地面支持力不隨輪大小而改變(主要取決于人和車(chē)身的重力)．如果是一個(gè)輪子自己滾動(dòng),那么(10)式中N=m0g會(huì)消掉分母的m0項(xiàng),但這種情況下,T、h、θ、R等參量之間的關(guān)系也不再是自行車(chē)機(jī)制,(10)式也就不成立了,更深入精確地判斷有待廣大同仁進(jìn)一步研究．

8 辯證與結(jié)論

輪子的大小和質(zhì)量會(huì)影響角動(dòng)量大小,有很大輪子的古董自行車(chē)和很小輪子的現(xiàn)代折疊車(chē)都可以穩(wěn)定騎行,甚至沒(méi)有輪子的雪地自行車(chē)也可以穩(wěn)定滑行,所以用角動(dòng)量相關(guān)的因素去解釋穩(wěn)定性就過(guò)于牽強(qiáng)了．圓周運(yùn)動(dòng)只是研究穩(wěn)定因素的手段,我們可以假設(shè)在一艘慢速運(yùn)動(dòng)的航母上(相當(dāng)于傳送帶)騎自行車(chē),相對(duì)速度與航母速度大小相同,且方向相反,而那么從地面參考系看來(lái)自行車(chē)是不前進(jìn)的,不存在轉(zhuǎn)彎方面的圓周運(yùn)動(dòng),但仍能穩(wěn)定騎．不倒的實(shí)質(zhì)應(yīng)具有普遍性,如雜技中的頂桿運(yùn)動(dòng),或者單腳冰刀前進(jìn)等,都是利用支點(diǎn)的及時(shí)有效的移動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定,這就是為什么騎自行車(chē)無(wú)法以0的速度在路面上不倒,但卻可以穩(wěn)定在鋼絲上,因?yàn)殇摻z是可以隨著人體左右擺動(dòng)的,進(jìn)而支點(diǎn)隨之移動(dòng)．如果以存在加速度的支點(diǎn)為參考系,人的感官平衡從力學(xué)上講就是慣性力與重力的力矩平衡,所以不管有沒(méi)有自行車(chē)前進(jìn)中的圓周運(yùn)動(dòng),都可以分析慣性力．這里的前輪微擺模型主要分析了等效支點(diǎn)的位置變化和蹬車(chē)周期等物理量之間的關(guān)系,得到了相對(duì)合理的前輪微擺偏向角θ的關(guān)系式并在現(xiàn)實(shí)中加以驗(yàn)證,說(shuō)明了支點(diǎn)移動(dòng)維穩(wěn)模型的正確性和普遍性,也算是從某個(gè)方面展現(xiàn)了自行車(chē)穩(wěn)定前進(jìn)的一種機(jī)制．