小波分析在土石壩位移混合模型中的應用

王 卓

(山西省水利水電勘測設計研究院，山西 太原 030024)

工程應用較廣的大壩安全監控數學模型首推應用數理統計分析方法建立的大壩安全監控回歸模型，數理統計方法不能對大壩的影響因子做出合理的物理解釋[1]?；旌夏Ｐ徒橛诮y計模型和確定性模型之間，既具備統計性質，又可以反映大壩的物理力學工作狀態[4]?；旌夏Ｐ徒Ｊ軙r域限制較小，外延功能較強，擬合精度、預測精度較高，而且，模型水壓因子的物理意義明確，時效位移分量的斂散性容易判別，對大壩運行監控的針對性較強，容易做到心中有數[2]。

1 有限元模型

本文使用了MIDAS/GTS巖土與隧道分析軟件中的鄧肯-張E-B模型對某瀝青混凝土心墻堆石壩進行了三維有限元建模。在進行有限元計算時，認為瀝青混凝土心墻與壩體堆石同步填筑上升，荷載采用逐級施加方式[3]。加荷過程中，模擬第一次蓄水，壩體施工到2605.00m高程處時，分2級蓄水到2600.00m高程停止蓄水，繼續填筑壩體直到壩頂。壩體填筑完成后，分2級蓄水到正常蓄水位2650.00m高程。在蓄水到正常蓄水位以后，庫水位分7級消落到死水位2600.00m高程，以建立壩體位移與庫水位的關系?？紤]模型中儀器埋設位置應與實際吻合，整個模型自由剖分，采用四面體單元，網格節點總數為：31938個，單元總數為：158729個，包括壩體、地基和周圍山體，其中地基和周圍山體50206個，壩體108523個。

2 小波分解

2.1 小波分解基本原理[5- 7]

(1)

則稱Ψ(t)為一基本小波或母小波。將母函數Ψ(t)經伸縮和平移后，就可得到一個小波序列。對于連續的情況，小波序列為：

(2)

式中，a—伸縮因子；b—平移因子。

對于離散的情況，小波序列為：

Ψj，k(t)=2-j/2Ψ(2-jt-k)j，k∈Z

(3)

對于任意函數f(t)∈L2(R)的連續小波變換為：

(4)

其逆變換為：

(5)

根據多分辨分析理論，如果二進制離散小波函數族{Ψj，k(t)，j，k∈Z}構成L2(R)中的標準正交基，對于時變信號f(t)∈L2(R)有如下的正交小波分解：

(6)

式中，N—分解層數；dj，k—小波分解系數；cj，k—尺度分解系數。

2.2 大壩安全監測數據時效分量提取

就大壩的變形監測數據而言，大壩位移監測數值包含兩個部分：一是彈性位移，另外一個是隨時間和荷載而變的非線性位移，俗稱時效。它包括壩體混凝土和基巖的徐變以及壩基的裂隙、節理和其它軟弱構造等在水壓力作用下發生的壓縮和塑性變形。時效分量[8]的變化規律一定程度上反映了大壩的運行性態。一般正常運行的大壩，在蓄水初期時效變化較大，運行多年后趨于穩定。如果時效分量突然變大或變化急劇時，這就是大壩或壩基病態工作的征兆。所以，研究時效分量的提取并對其進行分析，在大壩安全監測資料分析中有重要的作用。

目前通常采用的確定時效分量的方法是，事先選定好與時間有關的因子，對變形監測數據進行回歸分析，進而求得時效分量。這種事先擬定時效因子構造形式的方法帶有一定的人為影響，有時不一定準確。另外，當水位、溫度等因子與時效密切相關時，這種相關性對回歸分析產生較大的影響，也會影響時效分量的提取效果。針對這些問題，本文結合小波分析，對大壩安全監測數據的時效分量進行提取研究。時效分量變化的部分通常表現為長周期、低頻率的變化。利用小波分析提取時效分量，首先是對大壩監測信號進行小波分解，濾除隨機的高頻變化成分和隨庫水位、氣溫而周期變化的成分，剩下的低頻部分就可代表大壩監測數據系列的發展趨勢(時效)。

3 位移混合模型基本原理

大壩變形統計回歸數學模型中，效應量可分解為變形水壓位移分量、變形溫度位移分量、變形時效位移分量。

3.1 水壓位移分量

水壓分量δH(t)是在水壓荷載作用下，由于壩體、壩基和庫區巖石產生變形而引起效應量的彈性或可恢復變化部分。這種關系可用一元多項式來描述，即：

(7)

式中，H(t)—觀測日水位；H0—基準水位；ai—回歸系數。

根據有限元計算結果，利用式(7)，采用最小二乘估計法得到式中各項系數，建立水壓位移分量確定性模型。

3.2 溫度位移分量

本文溫度位移分量用統計回歸求得，模型因子考慮氣溫的滯后效應，溫度位移分量模型具體形式如下：

(8)

式中，Ti(t)—i=1、2、3、4、5分別是觀測日當天氣溫，觀測日前7、15、30、60d的平均日氣溫；bi—回歸系數。

3.3 時效位移分量

大壩安全監測的信號通常會受到噪聲的污染，其中的噪聲主要是由于隨機因素及觀測誤差的原因而產生的[9]。為了從信號中提取出表征被檢測對象特征的有用信息，提高模型的擬合精度和預報性能，有必要對信號進行降噪處理。

大壩安全監測的信號序列，有用的信號通常表現為低頻部分或是一些比較平穩的信號，而噪聲信號通常是表現為高頻信號，所以利用小波分析對信號進行降噪可以按如下方法處理[10]。

(1)信號的分解。選擇小波并確定小波分解的層次N，然后對信號進行N層小波分解。

(2)小波分解高頻系數的閾值量化。從第1層到第N層的每一層高頻系數選擇一個閾值進行軟閾值量化處理。

(3)小波的重構。根據小波分解的第N層的低頻系數和經過量化處理后的第1層到第N層的高頻系數，進行小波的重構。在這3個步驟中，最關鍵的就是如何選擇閾值和如何進行閾值的量化，本文采用的是最優預測變量閾值選擇：如果信噪比很小，則估計有很大的噪聲，就采取固定的閾值，閾值大小為sqrt(2*log(length(f(t))))，其中f(t)為進行分析的大壩安全監測信號；否則基于史坦的無偏似然估計原理的自適應閾值選擇2。這種閾值選擇的方法即能較好的進行降噪處理，又可以把高頻部分的弱小的有用信號保留下來。

3.4 位移混合模型的建立

效應量模型構造形式如下：

δ(t)=λ1δH(t)+δT(t)+λ2δθ(t)+c

(9)

即：

(10)

式中，λ1—水壓位移分量修正系數，λ2—時效位移分量修正系數。

欲建立以上位移混合模型，關鍵是求修正系數λ1、λ2、系數ai(i=1、2、3)、bi(i=1、2、3、4、5)以及c。系數ai已經由有限元計算求得，其他系數由最小二乘法估計。

將觀測日的水位H(t)、溫度Ti(t)以及計算得到的時效位移分量δθ(t)代入式(10)中，得到：

δ(t)=fi(λ1，bi，λ2，c)

(11)

式(11)為參數λ1、bi、λ2的形函數。

δ(t)與實測值δ0(t)的殘差平方和為：

Q=∑(δ0(t)-δ(t))2=F(λ1，bi，λ2，c)

(12)

要使Q最小，則必須滿足下列條件：

(13)

由式(13)求得系數λ1，bi，λ2，c，從而得到位移混合模型。

4 水平位移的混合數值模型及其成果分析

本文對某瀝青混凝土心墻堆石壩的TP08、TP11、TP18、TP23號測點建立了水平位移混合模型。其中TP08位于壩頂上游側0-008.5m，壩樁號為0+220m；TP11位于壩頂上游側0-003.7m，壩樁號為0+320m；TP18位于壩頂上游側0-005.2m，壩樁號為0+220m；TP23位于下游馬道2624.5m高程，壩樁號為0+220m。下面是建立的水平位移混合模型的成果。

4.1 混合數值模型

應用式(9)對上述測點的水平位移觀測資料建立混合數值模型。各測點水平位移混合數值模型的各回歸系數、時效位移收斂值、復相關系數R、標準差S及S占測值最大值比例見表1。

4.2 各分量對壩頂水平位移的影響分析

由表1可見，大壩位移計算值與水壓相關性較高，復相關系數均在0.95左右，剩余標準差較小，精度比較理想。對于本工程瀝青混凝土心墻堆石壩來說，壩體各測點順河向水平位移與水頭的一次方不相關，與水頭的二次方負相關，與水頭的三次方正相關。溫度分量與位移呈負相關，即溫度上升，壩體向上游變形；溫度下降，壩體向下游變形。通過分析用小波分析理論將所選時間段內實測值的時效位移分量提取出來的結果可知，對于本工程瀝青混凝土心墻堆石壩來說，壩體各測點時效分量均收斂。

表1 大壩水平位移混合模型系數表

注：表中R表示復相關系數，S表示剩余標準差

4.3 擬合效果分析

所建立的位移混合模型中，有3個測點的復相關系數大于90%，所有測點的剩余標準差都較小，占相應測點測值最大值的比例均小于20%。由此可見，所建立的位移混合模型擬合精度較高，滿足工程要求。根據各測點的位移混合模型方程，可求出擬合值、時效位移分量和殘差，并將其和實測值繪于同一張圖中，得到各測點的實測值、擬合值過程線，如圖1—4所示。由圖也可以看出，擬合值與實測值基本一致，殘差均小于20mm。本文選用本工程大壩前3年半的實測值來提取時效分量，因此在所選用的時間段內，時效分量呈增大趨勢。

圖1 順河向水平位移測點TP08實測值、擬合值過程線

圖2 順河向水平位移測點TP11實測值、擬合值過程線

圖3 順河向水平位移測點TP18實測值、擬合值過程線

圖4 順河向水平位移測點TP23實測值、擬合值過程線

4.4 預測精度檢驗

5 結語

本文利用有限元建模分析了大壩不同水位的水平位移，得到水平位移與水位的關系表達式，且用小波分析理論提取出了水平位移時效分量，在此基礎上建立了大壩水平位移混合模型。結果表明回歸方程擬合效果良好。

由于大壩結構、工作條件及影響因素等的復雜性，僅通過建立效應量和原因量的混合模型還是不夠的，需要通過對大壩各種資料，包括設計、施工、運行、檢查和觀測等資料，進行不同層次的分析并建立相應模型進行比較驗證。而且大壩和壩基在運行過程中隨著時間推移，條件不斷變化，尤其是采取工程措施和遭遇特殊的荷載工況時，因此，監控指標應相隔一段時間后進行校驗和修正。當測值接近或者超過歷史最大值時，必須認真分析原因，采取相應措施，確保大壩的安全。