基于apFFT的I/Q通道幅相誤差校正算法

杜夢園，趙宏鐘，贠齡童

(1.航天工程大學 研究生管理大隊，北京101416； 2.航天工程大學 電子與光學工程系，北京101416)

0 引言

對于I/Q正交采樣技術，目前多采用直接中頻數字采樣，然后在數字域進行正交數字濾波實現校正，鏡像抑制度可以達到60 dB以上。然而這種方法需要對雷達接收信號進行高速、高精度地采樣，對于寬帶雷達信號而言，勢必增加了A/D采樣的難度和成本。因此，在很多寬帶雷達系統中依然采用模擬正交混頻來獲取I/Q信號，但是由于模擬電路的固有特性，這種方法一般存在較大的I/Q正交性幅相誤差，導致鏡像抑制度不能滿足要求，必須對此校正。文獻[1]采用正負調頻率的線性調頻信號作為定標信號，并做DTFT反解出雷達系統傳遞函數，以此構建接收信號的校正函數，并進行誤差校正。文獻[2]將模擬I/Q解調信號作為2個隨機過程，通過推導I/Q信號支路的二階統計量，估計出相對的幅相誤差，并由此設計了一個幅相誤差校正網絡，得到了較好的校正結果。文獻[3]對模擬I/Q采樣信號進行頻譜分析，分別估計頻譜中主頻與鏡頻的實部與虛部的比值，求出I/Q支路的幅相誤差校正系數，但由于主頻和鏡頻分量的譜估計存在誤差，尤其是鏡頻分量受噪聲影響很大，誤差補償精度不高。文獻[4]基于統計平均的思想，利用統計量——期望、方差，依次估計并補償直流偏置誤差、幅度誤差和相位誤差，由于該法是將3個誤差量成“遞進式”的補償，因此，前一個誤差估計精度會影響下一個誤差估計精度。文獻[5]提出一種自適應算法可以分離由I/Q通道誤差引入的鏡像分量，但是該算法運算量大、迭代次數多，在許多場合的實際應用上受到諸多限制。文獻[6]將Q路基帶信號分為2路，并分別乘以不同的校正因子后該方法可將相位誤差校正到0. 5°以下，幅度誤差校正到0. 05 dB以下。

本文通過對I/Q正交性幅相誤差建模，利用矩陣束算法，由N點數據前向外推N-1得到2N-1點數據，作為apFFT的輸入，求I/Q兩路信號的初相位之差即為相位誤差，而求傳統FFT譜峰之比即為幅度誤差。最后通過仿真驗證了矩陣束前向外推的可靠性及幅相誤差的估計精度。

1 信號觀測模型

幅相誤差校正是雷達系統中經常需要解決的問題，其中很重要的一種就是I/Q通道幅相誤差，該誤差是由于模擬正交解調器存在解調誤差，導致I/Q兩路信號的相位不是嚴格地相等，幅度也存在一定的偏差。這種幅相誤差的存在導致I/Q路合成的解析信號存在一個鏡頻，存在諸多誤差和問題。模擬I/Q解調示意圖如圖1所示。

圖1 模擬I/Q解調原理

圖1中，由于采用模擬I/Q解調處理，存在I/Q正交性幅相誤差。假設存在幅相誤差的I/Q兩路信號Dechirp后的觀測模型如式(1)和式(2)所示，其中K1和β分別為I/Q兩路的正交性幅相誤差。

I(t)=A1cos(-2πKtτ)，

(1)

Q(t)=K1·A1·sin(-2πKtτ+β)。(2)

需要說明的是，當I/Q通道存在幅相誤差時，則輸出解析信號的頻譜除了主信號，還存在一個鏡頻分量。評價I/Q正交性幅相誤差補償效果一般由鏡像抑制度來衡量，其定義為鏡頻譜與主頻譜幅度之比的對數，如式(3)所示[7]：

(3)

而求出該誤差后可利用式(4)補償[4]：

(4)

2 校正原理

2. 1 通道誤差建模

校正過程如圖2所示，以實部為參考校正虛部，只需求出K1和β用式(4)補償即可。由矩陣束前向外推得到apFFT輸入所需的-(N-1)～N-1的采樣序列，則apFFT即可直接求出采樣0點的精準相位β，由實部、虛部的傳統FFT譜峰之比即可得到K1。

圖2 I/Q正交性幅相誤差校正原理

假設LFM回波經Dechirp處理后，存在幅相誤差的I/Q兩路信號通過各個多通道后的實部、虛部如式(5)和式(6)所示，a1，a2是通道中的直流偏差，由于校正幅度誤差只需校正K1即可。因此，假設A1=1，β是相位誤差。在實際操作中需要求出實部虛部的幅度相位，再分別求比值與差值，本文限于篇幅，以實部為參考，配準虛部，直接推導虛部的初相位并求實部虛部的幅度比。

Xre(t)=cos(-2πKtτ)+a1，

(5)

Xim(t)=K1·sin(-2πKtτ+β)+a2。

(6)

對式(5)和式(6)需要先去直流，由駐定相位原理可知，采用式(7)和式(8)去直流：

(7)

(8)

將去直流后的式(6)離散化寫為：

(9)

2. 2 apFFT及校正原理

圖3 apFFT原理

(10)

由于DFT具有線性性質，則式(10)對i求和的平均即為全相位的輸出：

(11)

(12)

(13)

(14)

由式(13)可見，求譜峰處的相位即可求得采樣0點相位，即初相位。

(15)

由以往研究以及式(14)可見，apFFT譜值是傳統FFT的平方，具有抑制頻譜泄露的效果，且具有相位不變性，具有較傳統FFT更好的性質[ 12]。而幅度誤差本文利用對實部、虛部傳統FFT譜峰之比求解。這是由于本文apFFT的輸入數據是前向外推所得，是對數據預測得到的估計值，為減小誤差，故如此求解。

2. 3 矩陣束外推

矩陣束方法被廣泛地應用于衰減指數和(Damped Exponential，DE)模型參數估計中[13-15]，下面給出矩陣束前向外推方法。本文采用的線性調頻波可等效為DE模型，式(9)可變形為：

n=0，1，…，N-1。

(16)

(17)

(18)

式(17)和式(18)中，

(19)

(20)

式中，w=0，1，…，M0-1。

而2個hankel矩陣H1和H2又可表示為：

(21)

式(21)中，

(22)

(23)

D=diag(d1，d2，…dQ)；P=diag(p1，p2，…pQ)；diag表示對角陣；d1，d2，…dQ和p1，p2，…pQ是幅度和極點。

由式(21)觀察可知：

H2-λH1=PLD(P-λIQ)PR，

(24)

式中，IQ為Q×Q的單位陣；H2-λH1稱為矩陣束，可見該矩陣束的廣義特征值就是DE模型的極點[18-19]。

(25)

(26)

(27)

(28)

對式(27)和式(28)求矩陣束的特征值即為DE模型極點。將DE模型寫為矩陣形式

(29)

易見是一個線性最小二乘問題，則幅度系數的估計值為：

(30)

而由式(16)可見DE模型的幅度極點都是常數，即-(N-1)～N-1的序列的幅度極點都分別相同，因此可直接用式(31)前向外推：

n′=-(N-1)，-N+2，…，N-1。

(31)

3 仿真驗證及結果分析

假設雷達帶寬為200 MHz，脈寬為2 ms，采樣率為256 kHz，在如式(5)和式(6)模型下，觀測的散射中心徑向距離為110 m，I/Q通道相位誤差為-π/3，幅度誤差為0. 3。首先考察利用矩陣束前向外推的效果，設置如式(9)所示(已去直流)，但采樣點為-(N-1)～N-1的序列作為理論數據，截取0～N-1點序列作為矩陣束前向外推的輸入。用外推數據與理論數據的相關系數評價二者的擬合度。在-10～20 dB信噪比下，每隔2 dB做100次蒙特卡洛試驗所得結果如圖4所示。

圖4 外推數據與理論數據的相關系數

由以往研究可知，相關系數為0. 5～0. 8表明顯著相關，0. 8～1表明高度相關[20]。由圖4可知大約3 dB和-4 dB左右信噪比相關系數分別達到了0. 8和0. 5，具有一定的可靠性。而-10～-6 dB信噪比時由于外推數據與理論數據差距較大，仿真時顯示NaN，未能在圖4中畫出。

得到前向外推數據后，按照上述方法求解I/Q正交性幅相誤差。在信噪比為-10～20 dB的條件下，每隔2 dB做1 000次蒙特卡洛試驗，觀察算法的精度和穩健性。如圖5(a)所示幅度誤差很小，在每個信噪比下都在10-3數量級，相位誤差在-2 dB以上信噪比時趨于穩定于1°以下，精度很高，而在低信噪比時相位誤差較大，這是由于上述外推誤差造成的，而幅度誤差由傳統FFT求得，因此影響不大。從鏡像抑制度上看，信噪比3 dB左右時，鏡像抑制度已經達到60 dB，滿足大多數應用場合。

圖5 幅相的絕對誤差隨信噪比的變化

圖6 鏡像抑制度隨信噪比的變化

為了進一步說明本文方法(記為A方法)的優越性，與文獻[2]方法(記為B方法)做了對比，在同等條件下的100次蒙特卡洛試驗結果如圖7所示。可見A方法幅度誤差較B方法小。在-10～-6 dB信噪比時，A方法相位誤差較B方法大，這是由于此時前向外推誤差較大，對初相位求解影響較大。但是在-6 dB以上信噪比時，前向外推數據與理論數據擬合度高，A方法相位誤差較B方法小。總之，在-6 dB以上信噪比，A方法優于B方法。

圖7 兩種方法的對比

4 結束語

本文將矩陣束前向外推與apFFT相結合，用apFFT和傳統FFT分別求I/Q通道相位、幅度誤差，取得了令人滿意的效果。仿真結果表明，在3 dB以上信噪比時，矩陣束前向外推數據與理論數據擬合度很高，且I/Q正交性幅相誤差估計精度很高，在3 dB左右信噪比時，鏡像抑制度達到了60 dB。本文對apFFT的應用有一定的啟示，下一步將側重研究在工程中的應用。