巧用放縮法 破解導(dǎo)數(shù)題

朱小扣

(安徽省無(wú)為縣牛埠中學(xué) 238351)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容和考點(diǎn)，筆者發(fā)現(xiàn)利用課本上的兩個(gè)常用不等式，進(jìn)行放縮，可以迅速破解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.本文通過(guò)探討其在五類導(dǎo)數(shù)題中的應(yīng)用，以期對(duì)同學(xué)們備戰(zhàn)高考有所幫助.現(xiàn)分析如下，供大家參考.

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

兩個(gè)常用的放縮不等式

(1)指數(shù)放縮：ex≥x+1，x∈R，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

(2)對(duì)數(shù)放縮：lnx≤x-1，x∈(0,+)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.

二、命題規(guī)律揭示

1.判斷導(dǎo)數(shù)的恒正或恒負(fù)

例1 當(dāng)x>1時(shí)，ex≥x2+bx+1恒成立，則b的取值范圍是____.

所以h(x)在(1,+)單調(diào)遞增，故h(x)>h(1)=e-2 ，所以b≤e-2.

點(diǎn)評(píng)本題解答過(guò)程中，通過(guò)常用不等式可以迅速判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，省去了大量的繁瑣討論,使問(wèn)題順利求解.

2.結(jié)合變量分離 求參數(shù)的范圍

解析(1)當(dāng)x=0時(shí)，0≥0，a∈R.

綜合(1)(2)得a≤1.(用洛必達(dá)法檢驗(yàn)也可得到a≤1)

故選A.

例3 (2016年廣東預(yù)賽)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2,當(dāng)x≥0時(shí)單調(diào)遞增，則a的取值范圍為.

點(diǎn)評(píng)本題解答過(guò)程中，結(jié)合使用了分離參數(shù)的思想方法，通過(guò)兩個(gè)常用放縮不等式，可以秒殺此類題.因此利用放縮不等式是求參數(shù)的范圍問(wèn)題的一大利器.

3.利用橋梁 構(gòu)造兩個(gè)不等式

證明(1)過(guò)程略.

由ex>x+1(x≠1)且以x-1換x得：ex-1>x

綜上，原不等式得證.

點(diǎn)評(píng)本題兩個(gè)常用不等式為命題背景，通過(guò)構(gòu)造橋梁及兩次證明，考查了同學(xué)們對(duì)兩個(gè)常用不等式掌握能力及對(duì)兩個(gè)常用不等式的深度理解.

4.推廣常用放縮不等式

例5 (2018年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試)已知f(x)=ax+lnx+1.

(1)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)對(duì)任意的x>0,f(x)≤xe2x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析(1)當(dāng)a<-1時(shí)，函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)a=-1或a≥0時(shí)，函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)-1

所以a的取值范圍是(-,2]

(1)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)證明：f(x)>1.

解析(1)曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=e(x-1)+2(過(guò)程略).

故只需證：exlnx+2>1.

令h(x)=exlnx+2(x>0)，則h′(x)=e(lnx+1)

三、常用不等式的延拓

從兩個(gè)常用不等式出發(fā)，可以延拓得到了另外五個(gè)高考中多次運(yùn)用的重要公式，過(guò)程如下：

除此之外還要掌握如下不等式(可以用求導(dǎo)來(lái)證明，過(guò)程略)：

總結(jié)以上列舉了利用常用不等式，放縮解決導(dǎo)數(shù)題的類型，并推廣了常用不等式.在近幾年的各類考試中，以常用不等式為背景的試題屢見不鮮，且常考常新，應(yīng)引起足夠的重視. 與此同時(shí)在解決類似的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)多角度，多思維的去考慮.方法和技巧也不能生搬硬套，必須自己嘗試、自己領(lǐng)悟，在解題中達(dá)到自身水平的提高.