擬造高中數學試題的方法與技巧

陳恒曦

(廣東省湛江市教育局教育研究室 524000)

考試隨著教育的產生而產生.考試過程的核心環節是命題，命題的關鍵是擬題，由此也體現出教師命題的理論水平以及命題的實際技巧.數學擬題是指已知條件、已知條件展開的數學邏輯敘述(推理)過程,及由此得到的結論這三個要素組成完整數學意義的陳述.隱去或部分隱去真實、確定的完整數學意義陳述的構成要素,要求應答者構造完整數學意義的陳述,這種構造過程就是擬造數學題. 本文利用具體的數學試題去說明如何改編成題和編制新題，并對通過具體的數學試題去解讀數學擬題的方法.

一、改編成題

通過改造成題(課本例題、習題、高考試題、中考試題、中高考模擬題、數學競賽題)設計數學題,就是對原有題目的條件或結論進行適當的加工與改造,在成題的基礎上制作新的數學題,這種方法通常稱為改造成題法.改造成題法是設計數學題的一種基本方法,根據成題的不同特點,改造的具體途徑也不盡相同,常用的有等價變形、橫向變形、縱向變形、正逆變形等.

1.等價變形

就是在保持成題的關系結構的基礎上,通過變換題目的條件、結論或題型擬出與原題等價的新題.

案例1 (必修1第88頁例1)求函數f(x)=lnx+2x-6的零點的個數.

解析用計算器或計算機作出x,f(x)的對應值表與圖像如下:

x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972

由上表和圖可知，f(2)<0,f(3)>0,則f(2)·f(3)<0,這說明函數f(x)在區間(2，3)內有零點．由于函數f(x)在定義域(0，+∞)內是增函數,所以它僅有一個零點．

本題為運用函數思想解決方程的求解問題，需要理解零點的概念(三種等價的解釋).函數思想豐富了求解方程的思路,體驗函數思想的作用,掌握數形結合方法.在保證原題本質不變時進行四種變換.

變式1 (2016屆寧夏銀川一中)已知函數f(x)的圖象是連續不斷的，有如下的x，f(x)的對應表則函數f(x)存在零點的區間有( ).

x123456f(x)136.1315.552-3.9210.88-52.488-232.064

A．區間[1,2]和[2,3]

B．區間[2,3]和[3,4]

C．區間[2,3]、[3,4]和[4,5]

D．區間[3,4]、[4,5]和[5,6]

變式2 (2013天津高考)函數f(x)=2x+x3-2在區間(0,1)內的零點個數是( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

變式4 (2014山東高考)已知函數f(x)=|x-2|+1，g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是( ).

變式1通過改變條件為表格；變式2改變函數解析式；變式3改變條件形式；變式4改變問題的形式，變問題為求參數的取值范圍.以上這四道改編題的本質與原題一樣，就是所說的等價變形.

2.橫向變形

一種方法是將幾個基礎題疊加在一起的方式來設計試題，簡稱疊加組合式.

問題2 已知實數x，y滿足：(x-2)2+y2=3，求y的最大值.

合成新題： 在△ABC中，a=2，b=2c，求△ABC面積的最大值.

分析問題1是一道軌跡問題(阿波羅尼斯圓)，而問題2是一道有明顯圖形背景的最值問題.合成新題則通過一個不確定的三角形提出問題，其中頂點A到B、C的距離之比為定值.從而可先用解析法研究A的軌跡，從而求出A到邊BC的距離最大 ，最終得到問題的求解.

另外一種方法，以成題為基礎,利用數學各科知識的橫向聯系構造新題.

案例3 原題：在平面內兩定點B、C的距離為a1，動點A到B、C的距離之和為2a1，求△ABC面積的最大值.

A.{Sn}為遞減數列

B.{Sn}為遞增數列

C.{S2n-1}為遞增數列，{S2n}為遞減數列

D. {S2n-1}為遞減數列，{S2n}為遞增數列

又b1+c1=2a1，

由歸納法可知bn+cn=2a1，△AnBnCn另兩邊之和為定值2a1，且其中bn,cn→a1，與原題當頂點為橢圓短軸頂點時達最大一致.bn,cn變化如數軸圖所示：

3.縱向變形

縱向變形就是遞循由特殊到一般或一般到特殊的思路.對原題作特殊化、一般化的處理,通過考查題目的特殊情形在條件、結論,方法上對原題進行推廣,由此來設計試題.

案例4 (人教版高中數學新教材必修2(A版)P133頁第4題)如圖，圓x2+y2=8內有一點P0(-1,2)，AB為過點P0且傾斜角為α的弦．

(1)當α=135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P0平分時，寫出直線AB的方程．

改編2：當135°≤α≤150°時，求弦長AB的取值范圍；

改編4：直線x-2y+5=0與圓心在原點的圓O相交于A、B兩點，點P0(-1,2)平分弦AB，求圓O的方程；

案例5 (人教版高中數學新教材選修1-1(A版)P110頁第7題)已知函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，求c的值．

改編1：求函數f(x)=x(x-6)2的極大值和極小值；

改編2：已知函數f(x)=x(x-6)2在x=a處有極大值，求a的值．

改編3：已知函數f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值，證明：方程f(x)=6有三個解．

4.正逆變形

正逆變形,指的是將題目中的條件與結論的位置相互變換,由此來編制出新的數學題.

(1)將成題改造成給出結論,探求條件的題型

參考答案：A.

(2)將條件、結論完整的題目改造成給出條件,結論讓學生猜想并進行證明的題型.

案例7 (2017年高考理數全國Ⅰ卷第12題)幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件.為激發學習數學興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數N：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪.那么該款軟件的激活碼是( ).

A．440 B．330 C．220 D．110

參考答案：A

改編成已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推；整數N滿足如下條件：N>100且該數列的前N項和為2的整數冪；試證明：N的最小值是440.

二、編制新題

1.利用實際問題擬造新題

通過建立數學模型,將實際問題抽象出新的數學問題.這類題的結構為:實際問題情境,數學模型化,解數學模型,從而解答這個實際問題.其目的是為了測量學生靈活運用所學數學知識分析和解決問題的能力,而解答這類題的關鍵,是從所學的數學知識中選取合適的數學知識,將實際問題數學化，因此,解答這類題對于培養學生的創新思維和實踐能力很有實際意義.擬造這類題時,應先選定日常生活中的事實作為背景,然后用合適的數學語言來表述它.

2.利用基本量法擬造新題

在一個系統中,如果任意一個量都可由幾個量導出,而這幾個量又不能相互導出,則稱這幾個量為該系統的基本量.利用基本量法擬造數學題的思路:弄清系統的量,確定系統基本量并給予賦值,設計條件擬造題并審定計算順序,應該指出一個系統的基本量不一定相同.例如,與等差數列{an}相應的量有a1，n，an，Sn，公差d等,而a1，d,Sn和d,n，Sn分別可作為它的基本量.利用等差數列的基本量可擬造題目：在等差數列{an}中,a6+a9+a12+a15=30，求S20.

3.利用新的數學概念、運算法則擬造新題

利用新規定的概念、法則等擬造數學題的主要步驟為:首先用數學的概念、法則等閘述新概念、法則的意義,然后用新概念、法則提出數學題.

案例8 (2009年高考四川卷) 設V是已知平面M上所有向量的集合,對于映射f:V→V，a∈V，記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足:對所有a，b∈V及任意實數λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),則f稱為平面M上的線性變換,現有下列命題：

(1)設f是平面M上的線性變換,a，b∈V,則f(a+b)=f(a)+f(b)；

(2)若e是平面M上的單位向量,對a∈V,設f(a)=a+e,則f是平面M上的線性變換;

(3)對a∈V,設f(a)=-a,則f是平面M上的線性變換；

(4)設f是平面M上的線性變換，a∈V,則對任意實數k均有f(ka)=kf(a).

其中的真命題是( ).(寫出所有真命題的編號)

4.以高等數學知識為背景擬造新題

以高等數學的思想和知識為背景,把高等數學中的問題初等化,可以擬造新題.高等幾何中有一個帕斯卡定理:“二階曲線內接六角形的對邊交點共線”.在這個定理中,把二階曲線特殊化為圓,內接六角形用內接六邊形代替，相應的對邊改為對角線,則可擬造如下的題目:

已知圓的內接六邊形的六個頂點分別為A(-3,4),B(0 5),C(4,3),D(4,-3),E(-3,-4),F(-5,0),求證:AD與CF的交點、BD與CE的交點、AE與BF的交點共線.

5.不完全確定條件或結論擬造新題

許多所探討的數學題,其條件和結論都是完全確定的.但在數學教學中還經常使用結論或條件不完全確定的新題擬造方法.

案例9 (1)設△ABC的三邊a,b,c滿足an=bn=cn(n∈N,n≥2)，試判定△ABC的類型.

(2)設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a1=12,S12>0，S13<0.指出S1,S2,…,S12中,哪一個值最大,并說明理由.

由這幾個例題可以看出,擬造這類題需對所探求的條件或結論的范圍作限制,而且這個限制表現在解答過程中需要對條件或結論進行討論,這種類型的題屬于開放型的題,對培養學生的創新思維和實踐能力很有好處.