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六談轉化與化歸

2019-03-27 06:01:46侯宇虹
數理化解題研究 2019年7期
關鍵詞:數學

崔 文 侯宇虹

(1.山東省文登第一中學 264400;2.山東省文登南海高級中學 264400)

數學核心素養提升的主要表現是能夠對復雜問題進行轉化,化抽象為具體,復雜為簡單.縱觀高考題目,常見的轉化方法有以下幾種類型.

一、直接轉化法

把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.

例1 在△ABC中.sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是( ).

答案C

點評本題主要考查解三角形,突出“邊角互化”這一轉化思想的應用.

二、換元法

運用“換元”把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題.

點評我們使用換元法時,要遵循有利于運算、有利于標準化的原則,換元后要注重新變量范圍的選取,一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍,不能縮小也不能擴大.

三、數形結合法

研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系,通過互相變換獲得轉化途徑.

例3 已知a,b是平面內兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是( ).

答案C.

解析因為(a-c)·(b-c)=0,所以(a-c)⊥(b-c).

點評通過“以形助數,以數解形”,使復雜問題簡單化,抽象問題形象化,有助于把握數學問題的本質.

四、構造法

用構造法解題的關鍵是由條件和結論的特殊性構造出數學模型,從而簡化推導與運算過程.

解析如圖,以DA,AB,BC為棱長構造正方體,設正方體的外接球球O的半徑為R,則正方體的體對角線長即為球O的直徑,所以

點評本題巧妙地構造出正方體,而球的直徑恰好為正方體的體對角線,問題很容易得到解決.

五、特殊化方法

把原問題的形式向特殊化形式轉化,并證明特殊化后的問題,結論適合原問題.

點評有些題目看起來較為抽象,貌似不易解決,但結合具體數學情境,聯系相知,建立模型,把一般問題特殊化,以啟迪解題思路,尋找解決問題的突破口.

六、補集法(正難則反)

若問題從正面入手難以解決,可將問題的結果看作集合A,而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U,通過解決全集U及補集∪A獲得原問題的解決.

解析g′(x)=3x2+(m+4)x-2.若g(x)在區間(t,3)上總為單調函數,則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立,或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立.(正反轉化)

點評由于不為單調函數有多種情況,先求出其反面,體現“正難則反”的原則.一般地,題目若出現多種成立的情形,則不成立的情形相對很少,從后面考慮較簡單,因此,間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中.

總之,轉化與化歸思想在高中數學中占有十分重要的地位,數學問題的解決,總離不開轉化與化歸,它即是一種數學思想又是一種數學能力,高考對這種思想方法的考查所占比重很大,是歷年高考考查的重點.

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