六談轉化與化歸

崔 文 侯宇虹

(1.山東省文登第一中學 264400;2.山東省文登南海高級中學 264400)

數學核心素養提升的主要表現是能夠對復雜問題進行轉化，化抽象為具體，復雜為簡單.縱觀高考題目，常見的轉化方法有以下幾種類型.

一、直接轉化法

把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.

例1 在△ABC中．sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是( ).

答案C

點評本題主要考查解三角形，突出“邊角互化”這一轉化思想的應用.

二、換元法

運用“換元”把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題.

點評我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大.

三、數形結合法

研究原問題中數量關系(解析式)與空間形式(圖形)關系，通過互相變換獲得轉化途徑.

例3 已知a，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( ).

答案C.

解析因為(a-c)·(b-c)=0，所以(a-c)⊥(b-c)．

點評通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題形象化，有助于把握數學問題的本質．

四、構造法

用構造法解題的關鍵是由條件和結論的特殊性構造出數學模型，從而簡化推導與運算過程．

解析如圖，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以

點評本題巧妙地構造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決．

五、特殊化方法

把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的問題，結論適合原問題.

點評有些題目看起來較為抽象，貌似不易解決，但結合具體數學情境，聯系相知，建立模型，把一般問題特殊化，以啟迪解題思路，尋找解決問題的突破口.

六、補集法(正難則反)

若問題從正面入手難以解決，可將問題的結果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集∪A獲得原問題的解決.

解析g′(x)=3x2+(m+4)x-2.若g(x)在區間(t,3)上總為單調函數，則①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．(正反轉化)

點評由于不為單調函數有多種情況，先求出其反面，體現“正難則反”的原則．一般地，題目若出現多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從后面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中．

總之，轉化與化歸思想在高中數學中占有十分重要的地位，數學問題的解決，總離不開轉化與化歸，它即是一種數學思想又是一種數學能力，高考對這種思想方法的考查所占比重很大，是歷年高考考查的重點.