一道物理極值問題引發(fā)的思考

張書瑋

(內(nèi)蒙古包頭市第一中學(xué) 014040)

一、題目與參考答案

題目如圖1所示，一根長為l的均勻細(xì)桿可以繞通過其一端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿最初處在水平位置. 桿上距O為a處放有一小物體(可視為質(zhì)點(diǎn))，桿與其上小物體最初均處于靜止?fàn)顟B(tài)，若此桿突然以勻角速度ω繞O軸運(yùn)動(dòng). 問：當(dāng)ω取什么值時(shí)小物體與桿可能相碰?

參考答案:

當(dāng)ω較小時(shí)物體正好撞晨桿的邊緣，轉(zhuǎn)過小半圓周，

當(dāng)ω較大時(shí)物體也撞晨邊緣，轉(zhuǎn)過大半圓周，

二、參考答案的反思

本題答案直接選用特定位置計(jì)算極值：物體與桿在桿端相遇. 本題中，需要滿足什么條件才能使桿長對結(jié)論沒有影響，從而可以選用桿端相碰作為特值來求解答案呢？我們在此作一討論：

當(dāng)ω取較小值時(shí)，即桿轉(zhuǎn)動(dòng)小圈時(shí)碰撞的情形. 設(shè)桿上距O為a處放有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，桿以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，物體與桿在桿的某位置(點(diǎn)C)相碰，所需時(shí)間為t，t時(shí)刻內(nèi)物體下落高度為h.

若此函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即滿足物體下落時(shí)間越長，桿與物體碰撞所需角速度越大時(shí)，桿長對結(jié)果必?zé)o影響，則特值法可用，物體與桿在桿端碰撞時(shí)可解極值.

于是我們繼續(xù)進(jìn)行下一步分析：桿長對結(jié)果是否產(chǎn)生影響，如何影響？當(dāng)函數(shù)值ω在(0，ω)這一區(qū)間進(jìn)行取值時(shí)，將對應(yīng)兩個(gè)自變量t. 即假設(shè)碰撞后桿與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)皆不改變，當(dāng)0<ω<ω0時(shí)，桿可與物體碰撞兩次.

此時(shí)我們對第二次碰撞進(jìn)行分析，桿與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)均改變，則不可能達(dá)到t2時(shí)刻進(jìn)行第二次相碰，即不能在桿端相碰.由此得出，此時(shí)桿長l與下落時(shí)間t形成了相互制約關(guān)系，從而影響對ω極值進(jìn)行討論. 桿長對所求量ω產(chǎn)生影響，則不能使用特值，即桿端碰撞取ω極值這一情況進(jìn)行計(jì)算.

對桿長l與時(shí)間t的制約關(guān)系進(jìn)行討論.

設(shè)桿長l0，物體下落時(shí)間為t0，下落高度h0，桿以角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與物體恰在桿端相碰.①當(dāng)l>l0時(shí)，如圖3為幾何關(guān)系示意圖，點(diǎn)M、B、C、D分別為物體初始時(shí)刻位置、ta時(shí)刻位置、t0時(shí)刻位置與tb時(shí)刻位置，點(diǎn)A、A1、A2、A3分別為桿端初始時(shí)刻位置、ta時(shí)刻位置、t0時(shí)刻位置與tb時(shí)刻位置，點(diǎn)D與A3重合. 設(shè)|MB|=ha,|MD|=hb,|MC|=h0.

要使物體與桿在桿端相碰，物體下落時(shí)間tb必然大于桿長為l0時(shí)桿端相碰(點(diǎn)C)的用時(shí)t0，即此時(shí)用桿端相碰特值所求ωA實(shí)則對應(yīng)ta、tb兩值(圖4)，下落高度分別為ha、hb. 即假設(shè)碰撞不改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，物體可與桿兩次相遇(點(diǎn)B、點(diǎn)A′)，且桿端相碰情形中，物體下落高度為hb，下落時(shí)間tb，是第二次碰撞.

而第一次碰撞后，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必然改變，即物體與桿必在ωA相對應(yīng)的ta(0l0)，當(dāng)ω取ω0，物體可與桿在距O點(diǎn)l0處相碰，ω0為ω可取到的最大值，而與桿長無關(guān).

②當(dāng)ω較小時(shí)，桿轉(zhuǎn)過小半圓周與物體發(fā)生碰撞.

三、討論過程反思

特值法可以用來排除錯(cuò)誤答案，直接用于解題則可能因?yàn)槠浒闆r不完整而導(dǎo)致結(jié)論產(chǎn)生偏差. 如本題當(dāng)中，特值法忽略了桿長對結(jié)論的影響，雖思路及運(yùn)算簡便，但思維與邏輯不夠嚴(yán)謹(jǐn). 我們在解決習(xí)題時(shí)，應(yīng)養(yǎng)成多角度思考、不放過任何一種可能性，最終排除多余項(xiàng)，從而得出正確結(jié)論的良好習(xí)慣，這樣才能培養(yǎng)思維的全面性與嚴(yán)謹(jǐn)性.

在對本題的討論中，我與導(dǎo)師進(jìn)行多次交流，將假設(shè)出的情況分別進(jìn)行討論驗(yàn)證，對多余限制條件一一排除，最終整合出較完整的結(jié)果，受益良多.