聚焦高考題中以抽象函數(shù)為載體的常考題型

張桂華

(云南省紅河州蒙自市第一高級(jí)中學(xué) 661199)

一、求定義域

A．[0,1] B．[0,1) C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)

解因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇0,2]，所以對(duì)g(x)，0≤2x≤2但x≠1，故x∈[0,1)，選B.

評(píng)注抽象函數(shù)定義域的求法：(1)若已知y=f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b解出.(2)若已知y=f[g(x)] 的定義域[a,b]，則y=f(x)的定義域即為g(x)的值域.事實(shí)上只要緊抓住“地位相同論觀點(diǎn)”，即等的取值范圍一致，就是抓住了解題的大方向.

二、求值域

評(píng)注解答以抽象函數(shù)為載體的問(wèn)題時(shí)，常常需要對(duì)某些變量進(jìn)行合理的賦值，這也是把一般轉(zhuǎn)化為特殊的必要手段.

三、求函數(shù)值

評(píng)注以抽象函數(shù)為載體的求值問(wèn)題的常見(jiàn)形式是給出函數(shù)滿足的特殊條件，然后指定求出某處的函數(shù)值或某抽象代數(shù)式的值.解決這類問(wèn)題時(shí)只能借助特殊的推理方法，比如不斷賦值，逐級(jí)遞推，夾逼思想等.

四、判斷奇偶性

例5 (2008年重慶)若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說(shuō)法一定正確的是( ).

A．f(x)為奇函數(shù) B．f(x)為偶函數(shù)

C．f(x)+1為奇函數(shù) D．f(x)+1為偶函數(shù)

解令x=0，得f(0)=2f(0)+1，f(0)=-1，所以f(x-x)=f(x)+f(-x)+1=-1，f(x)+f(-x)+1+1=0,即f(x)+1=-[f(-x)+1]，所以f(x)+1為奇函數(shù),選C.

例6 (2009年全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則( ).

A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(x)+1為奇函數(shù) D.f(x)+1為偶函數(shù)

解∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),∴函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,0)，及點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱，函數(shù)f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函數(shù).∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函數(shù).故選D.

評(píng)注(1)奇偶性是函數(shù)最重要的性質(zhì)，其定義域與圖象均反映了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧性，它既是函數(shù)概念的拓展與深化，又為后續(xù)學(xué)習(xí)研究其他函數(shù)奠定了必要的基礎(chǔ)，以抽象函數(shù)為載體來(lái)設(shè)計(jì)題目考查奇偶性，有利于促使學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的深化理解.對(duì)于抽象函數(shù)奇偶性的判斷仍然要緊扣奇偶性的定義.(2)抽象函數(shù)的對(duì)稱軸常根據(jù)給出的函數(shù)式子求出，常見(jiàn)有以下情形①若函數(shù)滿足f(a+x)=f(a-x)，則該函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱②若函數(shù)滿足f(2a-x)=f(x)，則該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

五、求解析式

A.f(x)=3xB.f(x)=sinx

C.f(x)=log2xD.f(x)=tanx

評(píng)注有的以抽象函數(shù)為載體的題目，雖以隱而不露的抽象面目示人，但抽象特征的背后往往隱藏著某種形象具體的函數(shù)，可通過(guò)具體的函數(shù)的性質(zhì)特征或變量替換、取特殊值、聯(lián)立方程消元和等價(jià)轉(zhuǎn)化、遞推歸納等策略找出該函數(shù)的解析式.

六、 研究單調(diào)性

例8 (2009年山東)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( ).

A.f(-25)

B.f(80)

C.f(11)

D.f(-25)

解因?yàn)閒(x)滿足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-8)=f(x)，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).又因?yàn)閒(x)在R上是奇函數(shù)，則f(0)=0,得f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1)=-f(1).而由f(x-4)=-f(x)得f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).又因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以f(1)>f(0)=0，所以-f(1)<0,即f(-25)

評(píng)注(1)對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，以抽象函數(shù)為載體而設(shè)計(jì)的考查單調(diào)性的題目既有利于促使學(xué)生深刻地理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，也有利甄別學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性之內(nèi)涵的掌握程度.

七、研究周期性

例9 (2018年全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?-,+)的奇函數(shù)，滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ).

A.-50 B.0 C.2 D.50

解因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，且f(1-x)=f(1+x)，所以f(1+x)=-f(x-1),∴f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1),∴T=4.因而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2).因?yàn)閒(3)=-f(1),f(4)=-f(2),所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∵f(2)=f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,從而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)=2,選C.

評(píng)注(1)函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題時(shí)常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．

(2)對(duì)于抽象函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)，一般可以考慮周期性，若周期存在，則遵循“活用抽象式、巧妙作替代”的原則求出它的周期，然后結(jié)合題設(shè)中的其他條件，使問(wèn)題得以解決.

(3)一般地，定義在R上的函數(shù)f(x)具有以下條件之一時(shí)，可以考慮探求其周期性：

①函數(shù)f(x)的圖象有一條對(duì)稱軸且f(x)具有奇偶性；②函數(shù)f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸.