一道試題解法賞析

余永波

(云南省綏江縣第一中學 657700)

一道好的試題總會留下很大的拓展空間,讓你產生無盡的遐想,細細品來,讓人回味無窮,因而成為學生學習數學的航標.命題者在命制試題時,都會對曾經出現過的“好題”密切關注, 這類“好題”涉及高中數學主干知識的每個角落,同時蘊藏著豐富的思想方法.

題目若正數a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是____.

從不同的角度、用不同的方法去解決同一個問題,要求考生善于觀察與分析,緊扣條件和問題的結構特征,通過多種視角探尋解題方法,選擇最優解法,從而提高解題能力和學習效率.

解法3 由題可知ab-3=a+b>0,即ab>3.而(a+b)2≥4ab,即(ab-3)2≥4ab.變形得(ab)2-10ab+9≥0,得ab≥9或ab≤1(舍).而ab>3,故ab≥9.

啟迪與反思通過多種視角運用基本不等式及其變形公式巧妙地將“相等”關系轉化為“不等”關系,是解此類問題的常規解法,變形過程中不可忽視變量的范圍.上述幾種解法中等號成立的條件都是a=b=3.

啟迪與反思對分式型函數,可利用分離常數法和結構變換法,再結合函數單調性或基本不等式求函數最值.

由于b+1>0和(b-1)2>0,所以當b>3時,f′(b)>0,即f(b)為增函數；當1

啟迪與反思:導數法是求函數最值的一種普遍性很強的方法,但它未必是求最值的最優方法.

啟迪與反思此法的精髓是方程思想,即通過換元,構造出一元二次方程,利用根與系數的關系將兩個變量的問題轉化成一個變量的問題.一般遇到“a+b”和“ab”,可將a、b視為一元二次方程的兩根.

在高三復習過程中,同學們要牢固掌握基礎知識,注重知識的滲透,靈活運用數學思想方法.對于 “好題”,要多咀嚼、要多回味、磨滲悟透,以求“一葉知秋”,以達“一雨普滋,千山秀色”之效.