懸臂梁撓曲線微分方程的誤差分析

郭家超

摘 要：本文通過MATLAB求解除了撓曲線近似微分方程與精確微分方程，以懸臂梁的16號工字鋼為例，在鋼的強度范圍內，施加最大均勻分布載荷，使鋼產生最大變形，通過數據和圖像來說明近似微分方程與精確微分方程之間誤差大小，并對相對誤差進行了分析比較，證明了微小變形下，近似微分方程與精確微分方程所求出的梁的撓度和轉角的誤差可以忽略不計。

關鍵詞：微分方程;MATLAB;撓度;轉角;相對誤差

0 前言

工程中處理梁的變形問題一般采用彎曲變形的撓曲線微分方程，由于方程的非線性，不便直接計算。考慮到一般情況下梁的撓度遠小于跨度，轉角非常小，忽略微分方程中數量級較小的項，得到撓曲線近似微分方程。對于大多數工程實際情況，使用撓曲線近似微分方程可以得到比較精確地解，但是對于通常所說的大撓度情況，這種處理方法就會引起很大的誤差。

為了分析大撓度情況下近似微分方程與精確微分方程所引起撓度和轉角的誤差，我們要建立在兩種不同方程下，所求解的撓度與轉角的誤差在大撓度的情況下究竟有多大？其精度是否能滿足工程需要？設計人員對此類問題較為關注。因此，對此問題的研究，就顯得很有必要。

本文利用MATLAB求解了16號工字鋼在滿足強度條件下受載荷彎曲的近似微分方程和精確微分方程的撓度與轉角方程曲線，對其精確微分方程與近似微分方程之間的誤差進行了比較，并做出了相對誤差曲線來進行分析討論。最終得到在滿足強度條件下，對精度要求不是很高的工程建設中，精確微分方程與近似微分方程所求出的撓度轉角的誤差完全可以忽略不計，從而減少工程在理論分析時的計算量，減少理論分析時間，加快工程建設速度，縮短工期。

1 公式推導

已知梁彎曲的撓度w和轉角θ都是界面位置x的函數，設梁的撓曲線w=w（x），撓曲線微分方程為：

（1）

在求解撓曲線微分方程的時候，為了求解方便，在小變形的情況下，可將方程式線性化。因為在工程實際問題中，梁的撓度一般都小于跨度，因此撓曲線w=w（x）是一條非常平坦的曲線，轉角θ也是一個非常小的角度，于是公式（1）可以寫成：

由于撓曲線極其平坦，很小，所以在式（1）中與1相比可以忽略，于是有：

這就是撓曲線的近似微分方程。

然而在工程實際中，總有不能忽略轉角θ的，所以我們需要使用撓曲線的精確微分方程進行實際問題進行分析，撓曲線的精確微分方程已經給出，為：

對其左邊進行進一步化簡：

這就是轉角θ的精確微分方程。

2 誤差分析

2.1 模型假設

在這里，我們以懸臂梁、簡支梁、外伸梁這三種基本梁上探討原微分方程與近似微分方程的誤差關系。梁均為No.16工字鋼，材料為Q235鋼，梁的最大正應力為400MPa，E=200 GPa。

2.2 對外伸梁的誤差分析

考慮到梁的剛度問題，我們以梁所能承受的最大載荷作進行外力施加，梁的受力情況如圖所示（q=7062.5N/m）。

進行求解，考慮到它是一個常微分方程，很難求出其解析解，我們在這使用matlab的ode15s方程對其進行逼近求解，以圖表示，如圖2：

現通過matlab來計算撓度與轉角的近似解和精確解之間的誤差，并通過圖像來說明，如圖3：

圖3 代表的是在q的作用下懸臂梁的近似微分方程與精確微分方程所求解出來的撓度方程，從圖像中看兩條撓度曲線已經完全重合了，可見近似微分方程與精確微分方程在均勻載荷q的作用下的撓度差距不大，可以通過近似微分方程更快更簡潔的求出撓度方程。

圖4 代表的是在q的作用下懸臂梁的近似微分方程與精確微分方程所求解出來的轉角方程，從圖像中看兩條轉角方程已經完全重合了，可見近似微分方程與精確微分方程在均勻載荷q的作用下的轉角差距不大，可以通過近似微分方程更快更簡潔的求出撓度方程。

為了更加明確的反映出近似微分方程與精確微分方程計算的誤差大小，這里我們對精確微分方程與近似微分方程所求出的撓度和轉角的相對誤差進行分析，如圖5所示。

從圖5 a中可以看出轉角的相對誤差曲線成“L”形狀，在距離固定端比較近的地方撓度的相對誤差降低的非常快，且我們可以推論在無限接近固定端的地方相對誤差趨近與正無窮大，所以它是一條無限趨近于y軸的漸近線;而在逐漸遠離固定端時，相對誤差也形成一條漸近線，相對誤差減小速度很慢趨于0，且相對誤差也趨于0。

從圖5 b中可以看出轉角的相對誤差曲線成“S”形狀，在距離固定端1.5米處轉角的相對誤差增長最快，而在固定端與距離固定端3～4米處增長速度緩慢，趨于0，且相對誤差在自由端處最大。

3 結論

通過上述對16號工字鋼的精確微分方程與近似微分方程之間誤差的分析對比我們可以得到結論，在滿足強度要求這一條件下，精確微分方程與近似微分方程的撓度、轉角的誤差可以忽略不計，使用近似微分方程即可求解。所以在進行大型工程地時候可以直接通過近似微分方程直接求解梁的撓度和轉角，這樣既可以保證精度又可以減少工程計算量，縮短工期。

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