布爾混沌系統的物理隨機性分析

龔利爽，侯二林，劉海芳，李凱凱，王云才

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布爾混沌系統的物理隨機性分析

龔利爽1,2，侯二林1,2，劉海芳1,2，李凱凱1,2，王云才1,2

（1. 太原理工大學物理與光電工程學院，山西 太原 030024；2. 新型傳感器與智能控制教育部和山西省重點實驗室，山西 太原 030024）

為了分析布爾混沌系統的物理隨機性，構建了基于自治布爾網絡的電路混沌模型，建立了包含相位噪聲特性的數學方程，研究了相位噪聲對布爾混沌熵增長時間（記憶時間）的影響。研究結果表明，在相位噪聲的影響下，布爾混沌輸出將在有限的記憶時間（數十納秒）后達到無法預測，且相位噪聲越強，布爾混沌平均記憶時間越短。這證明了相位噪聲是布爾混沌物理隨機性的來源，且布爾混沌可以作為性能良好的真隨機數物理熵源。

自治布爾網絡；布爾混沌；相位噪聲；物理隨機性

1 引言

真隨機數是確保信息加密安全的關鍵[1]。傳統的真隨機數發生器（TRNG, the random number generator）主要利用熱噪聲、量子噪聲、振蕩器抖動、電子器件的亞穩態等不可預測的物理隨機過程（物理熵源）來產生真隨機數[1-6]。但是，受限于物理熵源帶寬，上述真隨機數發生器的速率普遍為數十兆比特每秒，難以適用于高速信息的加密需求。在安全通信領域，香農（Shannon）提出的“一次一密”被證明是一種絕對安全的保密通信機制，而該機制實現的前提之一是需要有大量實時產生的加密密鑰（真隨機數），且這些密鑰加密不能重復使用，因此，高速真隨機數發生器的研究成為解決安全通信問題的關鍵技術之一[4, 7]。

近年來，隨著寬帶混沌技術的出現，基于電路混沌的隨機數發生器逐漸成為研究熱點[8]。2006年，Pareschi等[9]利用馬爾可夫混沌映射作為物理熵源，實現了40 Mbit/s的隨機數發生器；2010年，該課題組進一步修正混沌映射，實現了100 Mbit/s的混沌隨機數發生器[10]；2013年，Rosin等[11]利用布爾混沌作為物理熵源，完成了12.8 Gbit/s的隨機數發生器的研制；2015年，Park等[12]研制了基于布爾混沌的隨機數發生器芯片，速率可達300 Mbit/s。混沌隨機數發生器的迅速發展使其有望解決“一次一密”高速保密通信中海量真隨機數的實時產生難題。

然而，目前的混沌高速隨機數發生器的研究仍面臨一個“原則性”問題，即確定性的非線性系統中能否真正產生不可預測的“真隨機數”，對此多數研究文獻缺乏相關理論分析與證明[13]。為了更好地將電路混沌隨機數發生器應用于保密通信中，本文以布爾混沌系統為例，仿真研究了該系統產生的混沌序列在有相位噪聲和無相位噪聲條件下隨機特性（不可預測性）的變化，研究了不同強度相位噪聲對布爾混沌熵增長時間（記憶時間）的影響。研究發現，在相位噪聲強度下，布爾混沌序列由可預測逐步轉變為不可預測，且相位噪聲越強，布爾混沌平均記憶時間越短，在相位噪聲強度達到時延的1%~5%時，布爾混沌輸出將在有限的記憶時間（數十納秒）后變得無法預測，該研究結果為基于布爾混沌物理熵源的真隨機數發生器提供了理論依據，對其他混沌真隨機數發生器研究也提供了有益的借鑒。

2 布爾混沌模型

圖1是研究所用的三節點自治布爾網絡結構，圖中“”代表XNOR邏輯門，“○”代表XOR邏輯門。該網絡共包含3個節點，分別是一個執行異或非（XNOR）運算的節點和2個執行異或（XOR）運算的節點。每個節點分別和相鄰的2個節點連接，構成一個雙向反饋的環形自治布爾網絡。τ（=1, 2, 3,=1, 2, 3）是節點到節點的傳輸時延，通過控制自治布爾網絡相鄰節點的傳輸時延，可以使網絡輸出混沌信號。XOR邏輯門和XNOR邏輯門的輸入輸出真值如表1所示。

電路中的邏輯器件響應并非無限快，無法響應變化速度無限快的信號，即低通濾波效應，考慮低通濾波效應的自治布爾網絡方程如式(1)所示。

表1 XOR和XNOR邏輯門的輸入輸出值

其中，⊕是XOR運算符，x∈=[0,1],=1, 2, 3。每個布爾變量的值都依賴于運行時刻、傳輸時延及相鄰布爾節點上一時刻的邏輯值，其中

其中，“1”和“0”分別表示布爾網絡的高電平和低電平，th為布爾網絡輸出為“0”或“1”的閾值，本文取閾值th=0.5。

當傳輸時延τ≠τ時，自治布爾網絡XNOR節點可以輸出復雜信號。圖2(a)和圖2(b)是自治布爾網絡輸出信號的時序波形和頻譜圖，圖2(c)是根據Ghil、Bockman和Zhang等[14-16]提出的計算分段線性微分方程的動力系統的方法得出的網絡輸出時序的Lyapunov指數。圖2結果表明，當傳輸時延τ≠τ時，自治布爾網絡可以輸出帶寬達362 MHz的復雜信號，網絡輸出時序的最大Lyapunov指數為0.41 ns?1，代表此布爾網絡動力系統是混沌系統。

除低通濾波效應外，自治布爾網絡電路系統中還存在幅值噪聲和相位噪聲[17-18]，這2種噪聲會對傳輸時延和網絡輸出的幅值產生影響。考慮到自治布爾網絡的幅值限制機理，本文僅分析相位噪聲對布爾混沌的影響，建立相位噪聲的自治布爾網絡模型，如式(3)所示。

其中，τRij為相位噪聲引起的時延抖動。實際電路中熱噪聲引起的時延抖動服從高斯分布[17]。

3 相位噪聲對布爾混沌系統隨機性影響

3.1 相位噪聲對混沌動態的影響

基于上述布爾混沌模型，分析了無相位噪聲和有相位噪聲這2種情況下布爾混沌系統的輸出特性。圖3為理想的布爾混沌系統（即系統中沒有噪聲）XNOR節點的輸出結果；圖4為在=0時刻引入相位噪聲后，布爾混沌系統XNOR節點的輸出結果，其中相位抖動為時延的0.2%。由圖3可知，無噪聲時布爾混沌系統在重啟2次的情況下輸出的時序相同，這意味著在理想情況下，布爾混沌輸出是可以預測的。圖4顯示，布爾混沌系統在最初一段時間內，重啟2次情況下輸出時序基本相同；但由于相位噪聲的影響，一段時間后，2條布爾混沌輸出時序軌跡開始分離。在圖4中，2條軌跡開始分離的時間是35~40 ns。

圖4 引入相位噪聲后布爾混沌系統XNOR節點的輸出結果

進一步分析相同相位噪聲強度的混沌自治布爾網絡輸出的變化，相位噪聲強度相同是指相位抖動的標準差相同。圖5是布爾混沌電路系統在初始值為0、相位噪聲強度相同時系統運行1 000次，系統在0 ns、10 ns、25 ns和95 ns時輸出幅值的概率密度直方圖。由圖5(a)可知，在=0時刻（剛加入相位噪聲時），布爾混沌運行1 000次的輸出電壓幅值都相同，此時輸出某一電壓幅值的概率為1，意味著此時布爾混沌的輸出是可以預測的。隨著相位噪聲在布爾網絡中作用時間的增加，布爾混沌系統的輸出開始出現不確定值，且隨著時間的增加，不確定性逐漸增大，如圖5(b)~圖5(d)所示。

3.2 相位噪聲對混沌輸出不可預測性的影響

Shannon熵是對序列隨機性的一種有效統計度量，它從概率角度評價輸出比特獨立性和不確定性[19]。通過計算不同相位噪聲強度下布爾混沌輸出布爾值在時刻的Shannon熵，本文分析了相位噪聲對布爾混沌輸出不可預測性的影響。

圖5 有相位噪聲時混沌布爾網絡XNOR節點不同時刻的輸出概率直方圖

Shannon熵公式如式(4)所示。

其中，P()是自治布爾網絡添加不同相位噪聲序列時，自治布爾網絡混沌電路系統在時刻輸出0或者1的概率。由式(4)可得，當P()=0.5時，所對應時刻的自治布爾網絡輸出布爾序列的熵最大（即熵等于1）。這意味著，此時布爾網絡的輸出不可預測。

圖6為相同噪聲布爾混沌系統多次運行后每一時刻的熵值隨時間的變化曲線。這里，圖6(a)和圖6(b)系統初值分別為0和0.15，并各運行1 000次。由圖6可知，加入相位噪聲后，布爾混沌的熵值從0增長為1，表明相位噪聲使布爾混沌輸出由可預測逐漸轉變為不可預測。定義熵值從0增長為1的時間為混沌記憶時間。對比圖6(a)和圖6(b)可知，布爾混沌記憶時間與自治布爾網絡初始值有關。

圖6 添加相位噪聲后混沌布爾網絡熵值隨時間的變化

進一步分析相同噪聲強度、不同網絡初值的布爾混沌熵隨時間變化的平均值。圖7是5種相位噪聲強度的布爾混沌熵值隨時間變化的平均結果。圖7中，5種相位噪聲強度分別為時延的0.1%、0.2%、0.3%、0.4%和0.5%，每種相位噪聲強度的布爾混沌初值隨機變化1 000次。由圖7可知，相同相位噪聲強度的布爾混沌熵值隨時間的平均變化基本為一條平滑的曲線；不同相位噪聲強度的布爾混沌熵值到達1.0的時間不同。圖8是相位噪聲強度分別為0.1%、0.2%、0.3%、0.4%和0.5%時對應的布爾混沌平均記憶時間結果，它表明相位噪聲越強，布爾混沌記憶時間越短，布爾混沌能更快地達到不可預測。

4 結束語

本文通過研究相位噪聲對布爾混沌輸出的不可預測性影響分析了布爾混沌系統的物理隨機性，具體研究了相同噪聲布爾混沌系統多次運行后每一時刻的熵值隨時間的變化。研究結果表明，電路中存在的固有相位噪聲使布爾混沌輸出變得不可預測。然后分析了布爾混沌記憶時間和相位噪聲強度的關系。由結果可知，相位噪聲強度為時延的0.1%~0.5%時，布爾混沌輸出將在有限的記憶時間后（數十納秒）達到不可預測。相位噪聲越強，布爾混沌輸出的平均記憶時間越短。本文的研究結果表明相位噪聲是混沌布爾網絡的物理隨機性的原因。該研究結果為基于布爾混沌物理熵源的真隨機數發生器提供了理論依據，對其他混沌真隨機數發生器研究也提供了有益的借鑒。

圖7 不同相位噪聲強度下布爾混沌熵值隨時間的變化

圖8 布爾混沌平均記憶時間和相位噪聲強度的關系

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Physical random analysis of Boolean chaos

GONG Lishuang1,2, HOU Erlin1,2, LIU Haifang1,2, LI Kaikai1,2, WANG Yuncai1,2

1. College of Physics and Optoelectronics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China 2. Key Laboratory of Advanced Transducers and Intelligent Control System, Ministry of Education, Taiyuan 030024, China

To analyze the physical randomness of Boolean chaos, the model for chaotic circuit system based on autonomous Boolean networkwas established. In addition, the equations of the Boolean network with phase noise were deduced. By considering the phase noise, the time for the growth of entropy for an ensemble of trajectories, called the memory time, was analyzed. It was demonstrated that Boolean chaos would be unpredictable after tens of nanoseconds, and less average memory time was required as the phase noise strength increased. It is shown that Boolean chaos has physical randomness because of phase noise and it also lays the theoretical foundation for the entropy source of true random number generator based on chaotic Boolean network.

autonomous Boolean network, Boolean chaos, phase noise, physical random

TN91

A

10.11959/j.issn.1000?436x.2019048

2018?05?25；

2018?08?01

王云才，wangyc@tyut.edu.cn

國家自然科學基金資助項目（No.61731014）

The National Natural Science Foundation of China (No.61731014）

龔利爽（1991? ），女，河南漯河人，太原理工大學博士生，主要研究方向為混沌理論與混沌密碼。

侯二林（1992? ），男，河南漯河人，太原理工大學碩士生，主要研究方向為物理隨機數發生器技術。

劉海芳（1989? ），女，山西晉中人，太原理工大學博士生，主要研究方向為混沌理論與混沌密碼。

李凱凱（1994? ），男，山西晉城人，太原理工大學碩士生，主要研究方向為物理隨機數發生器技術。

王云才（1965? ），男，山西運城人，博士，太原理工大學教授、博士生導師，主要研究方向為混沌信號的產生與應用。